[精品]2018年高考数学文科考点过关习题第三章三角函数解三角形与平面向量23和答案

考点测试 23 正弦定理和余弦定理 一、基础小题 1.在△ABC 中,C=60°,AB= 3,BC= 2,那么 A 等于( A.135° B.105° C.45° D.75° 答案 解析 = C 由正弦定理知 ) BC AB 2 3 = ,即 = ,所以 sinA sinA sinC sinA sin60° 2 ,又由题知 0°<A<120°,所以 A=45°,故选 C. 2 2.在△ABC 中,“sinA<sinB”是“A<B”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 解析 C 根据正弦定理,“sinA<sinB”等价于“a<b”,根据“大 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 边对大角”,得“a<b”等价于“A<B”. 3. 在△ABC 中, 根据下列条件解三角形, 其中有两个解的是( ) A.b=10,A=45°,C=60° B.a=6,c=5,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=7,b=5,A=60° 答案 解析 C 由条件解三角形, 其中有两解的是已知两边及其一边的对 角.C 中,sinB= 两个解,选 C. bsinA 16×sin45° 4 2 = = <1,b>a,B>A,角 B 有 a 14 7 4.在△ABC 中,AB=2 3,AC=2,C= A.2 答案 解析 B B.4 C. 11+ 3 π ,则 BC=( 3 D. 11- 3 ) 设 BC=x, 由余弦定理, AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cosC, 1 得 12=4+x2-2×2×x× ,x2-2x-8=0,x=4 或 x=-2(舍去). 2 5. 在△ABC 中, 若 sin2A+sin2B<sin2C, 则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 答案 C 2 2 2 ) a2+b2-c2 解析 由正弦定理得 a +b <c ,所以 cosC= <0,所以 2ab C 是钝角,故△ABC 是钝角三角形. 6.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A=60°, a= 3,b+c=3,则△ABC 的面积为( A. 3 3 B. 2 4 C. 3 D.2 ) 答案 解析 A 由余弦定理可得 a2= b2+ c2- 2bccosA= (b+c)2-2bc- 1 2 2bccosA,∴代入已知可得 3=9-3bc,从而解得 bc=2,∴S△ABC= bcsinA= ×2× 1 2 3 3 = ,故选 A. 2 2 7. 如图,在△ABC 中,∠B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5, AC=7,DC=3,则 AB 的长为( ) A. 3 2 5 3 B. 2 D.5 6 C 在△ADC 中,∵AD=5,AC=7,DC=3, 5 6 C. 2 答案 解析 AD2+DC2-AC2 1 ∴ cos ∠ ADC = =- ,∴∠ ADC =120°,∠ ADB = 2AD·DC 2 60°,在△ABD 中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理 AB AD 5 6 = ,得 AB= . sin∠ADB sinB 2 8.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 acosC+ 3 c=b,则 A=________. 2 答案 π 6 a2+b2-c2 3 解析 由余弦定理得 cosC= ,将其代入 acosC+ c 2ab 2 a2+b2-c2 3 =b 中得,a× + c=b,化简整理得 b2+c2-a2= 3bc, 2ab 2 b2+c2-a2 3 π 于是 cosA= = ,所以 A= . 2bc 2 6 二、高考小题 9.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= 5,c 2 =2,cosA= ,则 b=( 3 A. 2 B. 3 答案 解析 D 由余弦定理,得 5=22+b2-2×2bcosA, ) C.2 D.3 2 ∵cosA= , 3 ? ? 1 ∴3b2-8b-3=0,∴b=3?b=- 舍去?.故选 D. 3 ? ? 10.△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.已知 b=c, a2=2b2(1-sinA),则 A=( 3π A. 4 答案 π B. 3 C π C. 4 π D. 6 ) b2+c2-a2 2b2-a2 解析 在△ABC 中,由 b=c,得 cosA= = ,又 2bc 2b2 a2=2b2(1-sinA),所以 cosA=sinA,即 tanA=1,又知 A∈(0,π), 所以 A= π ,故选 C. 4 11.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c =2 3,cosA= 3 且 b<c,则 b=( 2 D. 3 ) A.3 B.2 2 C.2 答案 解析 C 由余弦定理 b2+c2-2bccosA=a2,得 b2-6b+8=0,解得 b=2 或 b=4,∵b<c=2 3,∴b=2.选 C. 2π b 12.在△ABC 中,∠A= ,a= 3c,则 =________. 3 c 答案 解析 1 在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccosA, 2π 将∠A= ,a= 3c 代入, 3 ? 1? 可得( 3c)2=b2+c2-2bc·?- ?, ? 2? 整理得 2c2=b2+bc. ∵c≠0,∴等式两边同时除以 c2, ?b? b b2 bc 得 2= 2+ 2 ,即 2=? ?2+ . c c ?c? c 令 t= (t>0),有 2=t2+t,即 t2+t-2=0, 解得 t=1 或 t=-2(舍去),故 =1. 13.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2, 1 cosC=- ,3sinA=2sinB,则 c=________. 4 b c

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