【数学】2.5.1《圆锥曲线的统一定义1》课件(苏教版选修2-1)


复习回顾
1、 椭圆的定义:

平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|)的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 2 、双曲线的定义:

平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义:

平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离)

平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.

探究与思考:
若PF/d≠1呢?

在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样 一个式子:

a ? cx ? a ( x ? c) ? y
2 2

2

将其变形为:

你能解释这个式子的几何意义吗?

c a 线 l:x? 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:

例1.已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2

( x ? c) 2 ? y 2 a2 ?x c

c ? a

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x ? y ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.

c a 线 l:x? 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 a c 轨迹.
解:由题意可得:

变题:已知点 P(x,y) 到定点 F(c,0) 的距离与它到定直 2

( x ? c )2 ? y 2 a2 ?x c

c ? a

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 x y 2 2 2 令c -a =b ,则上式化为: ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.

圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上)
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.

其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,

定直线l就是该圆锥曲线的准线.

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
l1 d1 y l2

2

2

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
l1

y

l2 M2 P

M1

P
O

d2

M2 x F1

d2

F1

.

.

F2

.
M1

O

.

F2 P′

x

d1

a 准线: x ? ? c

2

PF1 PF2 ? ?e 定义式: d1 d2

标准方程
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

图形

焦点坐标

准线方程
a2 x?? c a2 y?? c a2 x?? c

( ? c, 0) (0, ? c) ( ? c, 0)

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0)
x2 y 2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

(0, ? c)

a2 y?? c

图形

标准方程 焦点坐标 准线方程

l l

l l

p x?? ( p ? 0) 2 2 p p y ? ?2 px ( ? ,0) x ? ( p ? 0) 2 2 x 2 ? 2 py p p y?? ( 0, ) ( p ? 0) 2 2
y 2 ? 2 px

p ( ,0 ) 2

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

p (0, ? ) 2

p y? 2

例2.求下列曲线的焦点坐标、离心率及准 线方程:

(1)4 x + y = 16
x2 y 2 (2) =1 25 9

2

2

(3) x = - 16 y
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.

2

轨迹方程的思考:
例3.已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线

l : x ? 5的距离的比是常数

5 ,求P的轨迹方程. 5

思考(1):已知点P到定点F(2,0)的距离与它到定直线

1 l : x = 的距离的比是常数 2 ,求P的轨迹方程. 2
(2)到点A(1,1)和到直线x+2y-3=0距离相 等的点的轨迹方程为 。

x2 y2 ? ?1 例4已知双曲线 64 36

上一点P到左焦点的距离为14,求P点到右准线

的距离.

法一:由已知可得a=8,b=6,c=10.

因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点,
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离

为d,则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16,
所以|PF2|=30,又由双曲线第二定义可得
| PF2 | ?e d

1 所以d= |PF2|=24 e

例4已知双曲线

x2 y2 ? ?1 上一点P到左焦点 64 36

的距离为14,求P点到右准线的距离.

2a 2 分析 : 两准线间距离为 c
法二 : 设点P到左准线的距离为d 14 c 5 a ? 8, b ? 6, c ? 10,? ? e ? ? d a 4 4 56 2a 2 2 ? 64 64 ? d ? 14 ? ? 又 ? ? 5 5 c 10 5 2a 2 56 64 ? P到右准线的距离为 ?d ? ? ? 24 c 5 5

例5 若点A 的坐标为(3,2),F 为抛 2 物线 y ? 2 x 的焦点,点M 在抛物线上 移动时,求|MA|+|MF |的最小值,并求 y 这时M 的坐标.
l

d
N

M o F x

A

?

1 2

1.已知A(-1,1),B(1,0),点P在椭圆

x y ? ? 1 上运动,求|PA|+2|PB|的 4 3
2 2

最小值。
P

A

·
O

C ·

· B

2. 已知P为双曲线 右支上 的一个动点,F为双曲线的右焦点,若 (3,1) ,则 2 | PA | ? 3 | PF | 点A的坐标为 的 最小值是__
y

x2 ? y2 ? 1 3

D

P A

O F

x


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