2013届高三数学一轮复习单元训练 三角恒等变换

黑龙江省 2013 届高三数学一轮复习单元训练:三角恒等变换
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若α 满足条件 sin2α <0,cosα -sinα >0,则α 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 2.已知角θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直 线 y=2x 上,则 cos2 θ =( ) 4 3 A.- B.- 5 5 3 4 C. D. 5 5 【答案】B 3. 设 ? ? a ? A.20 【答案】A

3? 4 sin 2 a ? sin 2a 的值为( ,sin a ? ? , 则 2 5 cos 2 a ? cos 2a
B.-20 C.4

) D.-4

4.已知函数 f(x)= 3sinω x+cosω x(ω >0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交 点的距离等于π ,则 f(x)的单调递增区间是( ) π 5π ? ? A.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 12 12 ? ? 5π 11π ? ? B.?kπ + ,kπ + ?,k∈Z 12 12 ? ? π π? ? C.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 3 6? ? π 2π ? ? D .?kπ + ,kπ + ?,k∈Z 6 3 ? ? 【答案】C 5.已知 x ? (? A
7 24

?
2
B

, 0) , cos x ?
? 7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
24 7



C

D

?

24 7

【答案】D 6.计算 1 ? 2 sin 2 22.5? 的结果等于( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B θ θ 7.设 5π <θ <6π ,cos =a,那么 sin 等于( 2 4 )

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1

A.- C.- 【答案】B

1+a 2 1+a 2 D.- 1-a 2

B.-

1-a 2

8. 已知 tanα =4,则 A.4 3 【答案】B 9.已知 sin ? ?

1+cos 2?+8sin 2 ? 的值为( sin 2? 65 B. C.4 4

) D.

2 3 3

3 ?? ? ,则 sin? ? ? ? 的值为( 2 5 ? ?



4 5 4 B. ? 5 4 C. 5 3 D. ? 5
A. ? 【答案】A 1 2π 10 .c os - 的值为( 8 2 A.1 2 2 【答案】D C. ) 1 B. 2 D. 2 4

π? 2? 11.函数 y=2cos ?x- ?-1 是( ) 4? ? A.最小正周期为π 的奇函数 B.最小正周期为π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 【答案】A π ? π? 12.函数 y=sin?x+ ?-sinx(x∈0, )的值域是( 3? 2 ? A.-2,2 3? ? 1 B.?- , ? ? 2 2? 3? ?1 D.? , ? ?2 2 ?

)

?1 ? C.? ,1? ?2 ? 【答案】B

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2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.已知 cos(α + 【答案】-

? 4 3? )= ,且α ∈( ,2π ),则 sin2α =_______. 2 5 2

24 25
0 0 0 0

14.求值: tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? _____________ 【答案】 3

? π ? ? 2π ? 15.函数 y=cos?x+ ?cos?x+ ?的最大值是______. 3? 3 ? ? ? 3 【答案】 4 16.有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:? x∈R,sin2 +cos2 = ; 2 2 2 p2:? x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; 1-cos 2x p3:? x∈0,π , =sin x; 2 π p4:sin x=cos y? x+y= . 2 其中假命题有________.(填代号) 【答案】p1,p4

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3

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) ωx 17 .已知函数 f(x)= 3sin(ω x)-2sin2 (ω >0)的最小正周期为 3π . 2 ?π 3π ? (1)当 x∈? , ?时,求函数 f(x)的最小 值; 4 ? ?2 (2)在△ABC 中,若 f(C)=1,且 2sin2B=cosB+cos(A-C),求 sinA 的值. 1-cos(ω x) 【答案】f(x)= 3sin(ω x)-2? 2 π? ? = 3sin(ω x)+cos(ω x)-1=2sin?ω x+ ?-1, 6? ? 2π 2 ?2 π ? 依题意函数 f(x)的最小正周期为 3π ,即 =3π ,解得ω = ,所以 f(x)=2sin? x+ ? 6? ω 3 ?3 -1. π 3π π 2 π 2π (1)由 ≤x≤ 得 ≤ x+ ≤ , 2 4 2 3 6 3 2 π 2π 3π 所以,当 x+ = ,即 x= 时, 3 6 3 4

f(x)最小值=2?

3 -1= 3-1. 2

?2C π ? ( 2)由 f(C)=2sin? + ?-1 及 f(C)=1, ?3 6? ?2C π ? 得 sin? + ?=1,因 为 0<C<π , ?3 6?
π 2C π 5π 2C π π π 所以 < + < ,所以 + = ,解得 C= , 6 3 6 6 3 6 2 2 π 2 在 R t△ABC 中,∵A+B= ,2sin B=cosB+cos(A-C), 2 ∴2cos A-sinA-sinA=0, -1± 5 2 ∴sin A+sinA-1=0,解得 sinA= , 2 ∵0<sinA<1,∴sinA= 18.已知 cosα = 5-1 . 2
2

1 13 ? ,cos(α -β )= ,且 0<β <α < . 7 14 2

(1)求 tan2α 的值; (2)求β . 【答案】(1)由 cosα =

1 ? ,0<α < , 7 2

得 sinα = 1 ? cos ? ? 1 ? ( ) ?
2 2

1 7

4 3 . 7

∴tanα =

sin? 4 3 7 ? ? ? 4 3, cos? 7 1

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4

于是 tan2α =

2tan? 2? 4 3 8 3 . ? ?? 2 2 1 ? tan ? 1 ? 4 3 47

?

?

? ? ,得 0<α -β < , 2 2 13 又∵cos(α -β )= , 14
(2)由 0<β <α < ∴sin(α -β )=

1 ? cos 2 (? ? ?) ? 1 ? (

13 2 3 3 ) ? . 14 14

由β =α -(α -β )得: cosβ =cos[α -(α -β )]=cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β ) =

1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? ? ,所以β = . 7 14 7 14 2 3

19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边做两个锐角 ? 、 ? ,它们的终边分别

与单位圆相交于 A、B 两点,已知 A、B 的横坐标分别为 (Ⅰ)求 tan(? ? ? ) 的值;

2 2 5 . , 10 5

(Ⅱ)求 ? ? 2? 的值.

【答案】由已知条件及三角函数的定义可知, cos ? ?

2 2 5 . , cos ? ? 10 5

因为 ? , ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

7 2 5 , sin ? ? 1 ? cos2 ? ? . 10 5

因此 tan? ?

sin ? sin ? 1 ? 7, tan ? ? ? . cos? cos ? 2
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tan? ? tan ? (Ⅰ) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan? tan ?
(Ⅱ)解法一: tan(? ? 2? ) ?

1 2 ? ?3. 1 1? 7? 2 7?

tan(? ? ? ) ? tan ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ?

?

?3?

1 2 1 2
3? . 4

1 ? (?3) ? ? ?1 .
?? ? 2? ?

解法二:因为 tan 2 ? ?

2 tan ? 4 ? , 2 1 ? tan ? 3

所以 tan ?? ? 2 ? ? ?

tan ? ? tan 2? 3? ? ?1 .?? ? 2? ? . 1 ? tan ? tan 2? 4

20.化简下列各式: cosA+cos(120°+B)+cos(120°-B) (1) ; sinB+sin(120°+A)-sin(120°-A) sinA+2sin3A+sin5A (2) . sin3A+2sin5A+sin7A cosA+2cos120°cosB 【答案】(1)原式= sinB+2cos120°sinA cosA-cosB = sinB-sinA A+B B-A 2sin sin 2 2 A+B = =tan . A+B B-A 2 2cos sin 2 2 (sinA+sin5A)+2sin3A (2)原式= (sin3A+sin7A)+2sin5A 2sin3Acos2A+2sin3A = 2sin5Acos2A+2sin5A 2sin3A(cos2A+1) sin3A = = . 2sin5A(cos2A+1) sin5A 5 sin x 2 1 21.已知 f(x)=- + ,x∈(0,π ). 2 x 2sin 2 (1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; (2)求 f(x)的最小值.

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6

5x x sin -sin 2 2 【答案】(1)f(x)= x 2sin 2 3x 2cos sinx 2 3x x = =2cos cos x 2 2 2sin 2 2 =cos2x+cosx=2cos x+cosx-1. 1 2 9 (2)∵f(x)=2(cosx+ ) - , 4 8 且-1<cosx<1. 1 9 ∴当 cosx=- 时,f(x)取最小值- . 4 8 22.已知 ? (I)

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

求 sinx-cosx 的值;

3sin 2
(II) (Ⅱ)求

x x x x ? 2sin cos ? cos 2 2 2 2 2 的值 1 tan x ? tan x

【答案 】 (1) sin x ? cos x ? ? . (2) (Ⅰ)由 sin x ? cos x ? 即

7 5

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (?

12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? 25 5 125

1 1 , 平方得sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos2 x ? , 5 25 24 49 2 sin x cos x ? ? . ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 25 25

又? ?

?

2

? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 7 5

故 sin x ? cos x ? ? . (Ⅱ)

3 sin 2

x x x x x ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2? 2 1 sin x cos x tan x ? ? tan x cos x sin x
12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? 25 5 125

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (?

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