新人教版高中数学 1.2 任意角的三角函数教案2必修四


§1.2.1 任意角的三角函数(2) 教学目标:理解并掌握有向线段的概念; 正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角 ? 的正弦、余弦、正切函数值表 示出来,即用正弦线、余 弦线、正切线表示出来. 教学重点:正弦、余弦、正切函数值的几何表示. 教学难点:正弦、余弦、正切函数值的几何表示. 教学过程: 一、问题情境 1.情境引入:我们已学过任意角三角函数,给出了任意角 ? 的正弦、余弦、正切的定义. 2.提出问题:能不能用几何元素表示三角函数值?例如,能不能用线段表示三角函数值? 二、学生 活动 学生思考,讨论,回答.讨论可能沿着下面的方向进行: 1.通过联想,可以提出 问题 1:在初中,我们知道锐角三角函数可以看成线段的比,那么,任意角的三角函数是否 可以也 看成是线段的比呢? 2.明确问题,可以提出 问题 2: 问题 1 的实际意义是什么?什么叫做三角函数?任意角的三角函数是怎样定义的? 由此可以进一步明确问题 1 的意义.具体地,以正弦函数为例,当前的问题就是怎样用 几何元素表示 sin ? ? y .(这里的 x, y 是角 ? 终边上任一点 P 的坐标) r 2.简化问题,可以提出 问题 3:能进一步简化问题吗?是否可以在角 ? 的终边上取一个特殊点 P ,使得三角函数 值的表达式更为简单? i n ?, c os ? 结论是, 当 P 点在以原点为圆心, 半径为 1 的圆 (单位圆) 上时,r ? 1 , 而s 的函数值分别为点 P 的纵坐标 y 和横坐标 x . 三、建构数学 1.有向线段 (1)提出解决问题 1 的关键就这样解决 问题 4:怎样表示点的纵,横坐标?能不能用线段表示坐标? 围绕着如下问题进行讨论: 问题 5:坐标是什么? 问题 6:能不能用线段表示坐标?能不能用线段表示数?怎样才能做到这点? 问题 7:和初中的锐角三角函数相比,我们现在面临的情况有什么不同? 通过讨论,得到以下共识:为了用线段表示数,我们需要规定线段的方向. (2)给出有向线段、有向线段的数量、有向线段的长度的概念. 下图 x 轴上, AB, BC, CB 的数量分别是多少? 。 A 。 。 。 B 。 。 C x 有向线段的数量: AB ? 2, BC ? 2, CB ? ?2 . 2.正弦线和余弦线 角 ? 的终边 y (1)问题 8:怎样用有向线段表示正弦函数值? P 围绕着问题 8,作出表示正弦值的有向线段,得到正弦线的概念. sin ? 1 (2)由学生仿照正弦线,得到余弦线. Mcos? O sin ? ? MP, cos? ? OM . 有向线段 MP, OM 分别叫做角 ? 的正弦线、余弦线. x 小 结:我们已经得到角 ? 的正弦线、余弦线、正切线,它们都是与单位圆的弦有关的线段. 3.正切线 (1)探索讨论 问题 9:能不能用有向线段表示角 ? 的正切呢? 问题 10:正切函数值是怎样定义的?怎样才能简化定义中的表达式?这个表达式和正弦函 数值的表达式有什么不同?怎样才能使表 达式的分母为 1? (2)先解决问题的一部分 当角 ? 的终边上存在横坐标为 1 的点时(这时角 ? 的终边在 y 轴的右侧),怎样用有 向线段表示正切函数值? (3)再解决剩余的问题. 当角 ? 的终边上不存在横坐标为 1 的点时(这时角 ? 的终边在 y 轴的左侧),怎样用 有向线段表示正切函数值? 通过讨论,得 到下面的结论. (4)正切线 正切线一般可按如下方 法作出:如下图所示,过点 A(1,0) 作单位圆的切线( x 轴的垂

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