高中数学第1部分第一章§44-3单位圆与诱导公式课件北师大版必修_图文

理解教材新知 第 一 章 §4 4.3 把握热点考向 考点一 考点二 考点三 应用创新演练 问题 1:点 P(x,y)关于 x 轴、y 轴、原点、直线 y=x 对称点的坐标是什么? 提示:(x,-y),(-x,y),(-x,-y),(y,x). π π 5π 问题 2:在直角坐标系中,角 的终边分别与- , , 6 6 6 7π π , 的终边有何关系? 6 3 提示:分别关于x轴、y轴、原点、直线y=x对称. π 问题 3:若把角6看作任意角 α,其终边分别与-α, π π-α,π+α,2-α 的终边还有上述对称关系吗? 提示:有. 问题4:若任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P(x, y),-α的终边与单位圆交点坐标是什么? 提示:(x,-y). 问题 5:角 α 与-α 的正、余弦函数有何关系? 提示:sin α=y,cos α=x;sin(-α)=-y,cos(-α)=x. 有sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α. 问题 6:类似地,你能否推导出角 α 与 π-α,π+α, π π +α, -α 之间的函数关系吗? 2 2 提示:能. 对任意角α,下列关系式成立 sin(2kπ+α)= sin α (k∈Z) sin(-α)= -sin α cos(2kπ+α)=cos α (k∈Z) cos(-α)= cos α sin(2π-α)= -sin α sin(π-α)= sin α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)=-cos α sin(π+α)= -sin α π sin( +α)= cos α 2 π sin( -α)= cos α 2 cos(π+α)= -cos α π cos( +α)= -sin α 2 π cos( -α)= sin α 2 以上公式叫作正弦、余弦函数的诱导公式. 1.诱导公式的实质是将任意角的三角函数值化为 锐角的三角函数值的过程,即负→正→[0,2π)→锐角. 2.对于±α的诱导公式要注意函数名称的变化即 正弦变余弦、余弦变正弦. [例 1] 求下列三角函数值. (1)cos 945° ; 35 (2)sin π; 6 3π π (3)cos( + ); 2 3 100 (4)sin(- π). 3 [思路点拨] 按“负角化正角,大角化小角”这一程序 选择公式. [ 精解详析 ] (1)cos 945° = cos(2×360° + 225° ) = cos 2 225° =cos(180° +45° )=-cos 45° =- . 2 35 11 11 π (2)sin π=sin(4π+ π)=sin π=sin(2π- ) 6 6 6 6 π 1 =-sin =- . 6 2 3π π π π π π (3)cos( + )=cos(π+ + )=-cos( + ) 2 3 2 3 2 3 π 3 =-(-sin )= . 3 2 100 4π 4π (4)sin(- π)=-sin(32π+ )=-sin 3 3 3 π π 3 =-sin( +π)=sin = . 3 3 2 [一点通] 利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数的基本步骤为: 任意负角的 利用-α的 任意正角的 利用2kπ±α ――――→ ―――――→ 三角函数 诱导公式 三角函数 的诱导公式 0到2π的角 利用π±α ――――→ 锐角三角函数 的三角函数 的诱导公式 可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值. 17 1.sin(- π)=________. 3 17 17 5π 解析:sin(- π)=-sin( π)=-sin(4π+ ) 3 3 3 5π π =-sin =-sin(2π- ) 3 3 π 3 =sin = . 3 2 3 答案: 2 2.计算:-sin(-840°)+cos(-1 050°). 解:原式=sin 840°+cos 1 050° =sin(2×360°+120°)+cos(3×360°- 30°) =sin 120°+cos(-30°) =sin(180°-60°)+cos 30° 3 =sin 60° + 2 3 3 = + 2 2 = 3. [例 2] 已知 ?π ? sin?6+α?= ? ? ?π ? 3 ,求 cos?3-α?的值. 3 ? ? [思路点拨] [精解详析] 把已知和所求式利用诱导公式进行转化. ?π ?π ?? ?π ? ?π ? ? ? cos?3-α?=cos?2-?6 +α??=sin?6+α?= ? ?? ? ? ? ? ? 3 . 3 [一点通] 解决给值求值问题,要先分析“已知角”(给 出三角函数值的角)和“被求角”(需求三角函数值的角)之间 的关系,设法用“已知角”表示“被求角”,然后再选择公式 化简求值. 1 π 3.已知 sin(-x)= ,则 cos( +x)=______________,sin(π 3 2 -x)=________. 1 1 解析:∵sin(-x)= ,∴sin x=- , 3 3 π 1 ∴cos( +x)=-sin x= . 2 3 1 sin(π-x)=sin x=- . 3 1 - 3 1 答案: 3 1 5 4.已知 sin(π+α)=- ,求 sin(5π-α),cos( π+α)的值. 3 2 1 1 解:∵sin(π+α)=- ,∴-sin α=- . 3 3 1 即 sin α= . 3 ∴sin(5π-α)=sin(4π+π-α)=sin(π-α) 1 =sin α= . 3 5 1 1 cos( π+α)=cos(2π+ π+α)=cos( π+α) 2 2 2 1 =-sin α=- . 3 [例 3] (12 分)化简: 3π cos?3π+α?cos? +α?si

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