高中数学第1部分第一章§44-3单位圆与诱导公式课件北师大版必修_图文

理解教材新知 第 一 章 §4 4.3 把握热点考向
考点一 考点二 考点三

应用创新演练

问题 1:点 P(x,y)关于 x 轴、y 轴、原点、直线 y=x 对称点的坐标是什么?

提示:(x,-y),(-x,y),(-x,-y),(y,x). π π 5π 问题 2:在直角坐标系中,角 的终边分别与- , , 6 6 6
7π π , 的终边有何关系? 6 3

提示:分别关于x轴、y轴、原点、直线y=x对称.

π 问题 3:若把角6看作任意角 α,其终边分别与-α, π π-α,π+α,2-α 的终边还有上述对称关系吗?

提示:有.

问题4:若任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P(x,
y),-α的终边与单位圆交点坐标是什么? 提示:(x,-y).

问题 5:角 α 与-α 的正、余弦函数有何关系?

提示:sin α=y,cos α=x;sin(-α)=-y,cos(-α)=x. 有sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
问题 6:类似地,你能否推导出角 α 与 π-α,π+α, π π +α, -α 之间的函数关系吗? 2 2

提示:能.

对任意角α,下列关系式成立 sin(2kπ+α)= sin α (k∈Z) sin(-α)= -sin α cos(2kπ+α)=cos α (k∈Z) cos(-α)= cos α

sin(2π-α)= -sin α sin(π-α)= sin α

cos(2π-α)=cos α
cos(π-α)=-cos α

sin(π+α)= -sin α π sin( +α)= cos α 2 π sin( -α)= cos α 2

cos(π+α)= -cos α π cos( +α)= -sin α 2 π cos( -α)= sin α 2

以上公式叫作正弦、余弦函数的诱导公式.

1.诱导公式的实质是将任意角的三角函数值化为 锐角的三角函数值的过程,即负→正→[0,2π)→锐角. 2.对于±α的诱导公式要注意函数名称的变化即 正弦变余弦、余弦变正弦.

[例 1]

求下列三角函数值.

(1)cos 945° ; 35 (2)sin π; 6 3π π (3)cos( + ); 2 3 100 (4)sin(- π). 3 [思路点拨] 按“负角化正角,大角化小角”这一程序

选择公式.

[ 精解详析 ]

(1)cos 945° = cos(2×360° + 225° ) = cos

2 225° =cos(180° +45° )=-cos 45° =- . 2 35 11 11 π (2)sin π=sin(4π+ π)=sin π=sin(2π- ) 6 6 6 6 π 1 =-sin =- . 6 2 3π π π π π π (3)cos( + )=cos(π+ + )=-cos( + ) 2 3 2 3 2 3 π 3 =-(-sin )= . 3 2

100 4π 4π (4)sin(- π)=-sin(32π+ )=-sin 3 3 3 π π 3 =-sin( +π)=sin = . 3 3 2

[一点通]

利用诱导公式,把任意角的三角函数转化为

锐角三角函数的基本步骤为: 任意负角的 利用-α的 任意正角的 利用2kπ±α ――――→ ―――――→ 三角函数 诱导公式 三角函数 的诱导公式 0到2π的角 利用π±α ――――→ 锐角三角函数 的三角函数 的诱导公式 可简记为:负化正,大化小,化成锐角再求值.

17 1.sin(- π)=________. 3

17 17 5π 解析:sin(- π)=-sin( π)=-sin(4π+ ) 3 3 3 5π π =-sin =-sin(2π- ) 3 3 π 3 =sin = . 3 2

3 答案: 2

2.计算:-sin(-840°)+cos(-1 050°). 解:原式=sin 840°+cos 1 050° =sin(2×360°+120°)+cos(3×360°- 30°) =sin 120°+cos(-30°)

=sin(180°-60°)+cos 30°

3 =sin 60° + 2 3 3 = + 2 2 = 3.

[例 2]

已知

?π ? sin?6+α?= ? ?

?π ? 3 ,求 cos?3-α?的值. 3 ? ?

[思路点拨]
[精解详析]

把已知和所求式利用诱导公式进行转化.
?π ?π ?? ?π ? ?π ? ? ? cos?3-α?=cos?2-?6 +α??=sin?6+α?= ? ?? ? ? ? ? ?

3 . 3

[一点通]

解决给值求值问题,要先分析“已知角”(给

出三角函数值的角)和“被求角”(需求三角函数值的角)之间
的关系,设法用“已知角”表示“被求角”,然后再选择公式 化简求值.

1 π 3.已知 sin(-x)= ,则 cos( +x)=______________,sin(π 3 2 -x)=________.

1 1 解析:∵sin(-x)= ,∴sin x=- , 3 3 π 1 ∴cos( +x)=-sin x= . 2 3 1 sin(π-x)=sin x=- . 3
1 - 3

1 答案: 3

1 5 4.已知 sin(π+α)=- ,求 sin(5π-α),cos( π+α)的值. 3 2

1 1 解:∵sin(π+α)=- ,∴-sin α=- . 3 3 1 即 sin α= . 3 ∴sin(5π-α)=sin(4π+π-α)=sin(π-α) 1 =sin α= . 3 5 1 1 cos( π+α)=cos(2π+ π+α)=cos( π+α) 2 2 2 1 =-sin α=- . 3

[例 3]

(12 分)化简:

3π cos?3π+α?cos? +α?sin?-α? 2 . sin?-π+α?sin?3π-α?cos?-π-α?

[思路点拨]

利用诱导公式将各个三角函数分别化简.

[精解详析]

原式=

π cos?π+α?cos?π+2+α??-sinα? ? [-sin?π-α?]sin?π-α?cos[-?π+α?] π ?-cos α?[-cos?2+α?]?-sin α? = ? ?-sin α?sin α?-cos α? ?-cos α?[-?-sin α?]?-sin α? = -sin αsin α?-cos α? sin α =sin α=1.?

(4 分)

(8 分)

(12 分)

[一点通]

三角函数式的化简方法:利用诱导公式

将各个三角函数转化为α的三角函数,再化简.

5.化简 π π π sin?2+α?cos?2-α? sin?π-α?cos?2+α? (1) + ; cos?π+α? sin?π+α? cos?α-π? π π (2) · sin(α-2)cos(2+α). sin?π-α?

?-sin α? cos α· sin α sin α· 解:(1)原式= + -cos α -sin α =(-sin α)+sin α=0. cos [-?π-α?] π (2)原式= · sin [-( -α)](-sin α) sin α 2 cos?π-α? π = · [-sin( -α)](-sin α) sin α 2 -cos α = · (-cos α)(-sin α) sin α =-cos 2α.

π 6.化简 sin(nπ+α)+cos(nπ+ +α),n∈Z. 2 解:当 n 为偶数时,

π 原式=sin α+cos( +α)=sin α-sin α=0; 2 当 n 为奇数时,
π 原式=sin(π+α)+cos(π+ +α) 2 π =-sin α-cos( +α) 2 =-sin α+sin α=0. π ∴sin(nπ+α)+cos(nπ+ +α)=0. 2

1.诱导公式的选择方法:先将-α 化为正角,再用 2kπ π +α(k∈Z)把角化为[0,2π)内的角,再用 π±α, +α,2π-α 化 2 π π 为锐角的三角函数,还可继续用 -α 化为[0, )内的角的三 2 4 角函数.由此看,利用诱导公式能将任意角的三角函数化为 锐角(或更小角)的三角函数,这也正是:诱导公式真是好,负 化正后大化小.

2.解决给式求值问题的常见思路有:若条件简单, 结论复杂,可从化简结论入手,用上条件;若条件复条, 结论简单,可从化简条件入手,转化出结论的形式;若 条件、结论都比较复杂,可同时化简它们,直到找出它 们间的联系为止.无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标, 根据需要变形.


相关文档

1.4.3单位圆与诱导公式(一) 课件高中数学必修4(北师大版)
1.4.3单位圆与诱导公式 课件高中数学必修4(北师大版)
1-4-3 单位圆与诱导公式 课件高中数学必修4(北师大版)
高中数学北师大版必修4配套课件:1-4.3 《单位圆与诱导公式》
1.4.3单位圆与诱导公式(二) 课件高中数学必修4(北师大版)
高中数学(北师大版)必修四课件:1-4-3(2)单位圆与诱导公式(二)
高中数学 1.4.3 单位圆与诱导公式(二)课件1(新版)北师大版必修4
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式素材北师大版必修4课件
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式教案北师大版必修4课件
2015高中数学 1.4.3单位圆与诱导公式(1) 课件(北师大版必修4)
电脑版