2018年高考数学(文)二轮复习教师用书:第1部分 重点强化专题 专题3 突破点8 独立性检验与回归分析

突破点 8 独立性检验与回归分析 [核心知识提炼] 提炼 1 变量的相关性 (1)正相关:在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域. (2)负相关:在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域. (3)相关系数 r:当 r>0 时,两变量正相关;当 r<0 时,两变量负相关;当|r|≤1 且|r|越接近于 1,相关程度越高,当|r|≤1 且|r|越接近于 0,相关程度越低. 提炼 2 线性回归方程 -- ?xiyi-n x y n ^ ^ ^ ^ 方程y=bx+a称为线性回归方程,其中b= i=1 i=1 ?xi2-n x 2 n ^ - ^- ,a= y -b x .回归直线 恒过样本中心( x , y ). 提炼 3 独立性检验 (1)确定分类变量,获取样本频数,得到 2×2 列联表. n?ad-bc?2 (2)求观测值:k= . ?a+b??c+d??a+c??b+d? (3)根据临界值表,作出正确判断.如果 k≥kα,就推断“X 与 Y 有关系”,这种 推断犯错误的概率不超过 α, 否则就认为在犯错误的概率不超过 α 的前提下不能 推断“X 与 Y 有关系”. [高考真题回访] 回访 1 变量的相关性 1.(2015· 全国卷Ⅱ)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位: 万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( ) 图 81 A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 D [对于 A 选项,由图知从 2007 年到 2008 年二氧化硫排放量下降得最多,故 A 正确.对于 B 选项,由图知,由 2006 年到 2007 年矩形高度明显下降,因此 B 正确.对于 C 选项,由图知从 2006 年以后除 2011 年稍有上升外,其余年份 都是逐年下降的,所以 C 正确.由图知 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年 份负相关,故选 D.] 2.(2012· 全国卷)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?, 1 xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y=2x+1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( A.-1 1 C.2 ) B.0 D.1 ^ D [样本点都在直线上时,其数据的估计值与真实值是相等的,即 yi=yi,代入 ^ ? ?yi-yi?2 n n i=1 相关系数公式 r= 1- =1.] 2 i=1 ? ?yi- y ? 3.(2017· 全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔 30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一 天内依次抽取的 16 个零件的尺寸: 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (1)求(xi,i)(i=1,2,?,16)的相关系数 r,并回答是否可以认为这一天生产的零 件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的 尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小). (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在( x -3s, x +3s)之外的零件,就认为 这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进 行检查. (ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查? (ⅱ)在( x -3s, x +3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产 线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到 0.01) 附:样本(xi,yi)(i=1,2,?,n)的相关系数 r= [解] (1)由样本数据得(xi,i)(i=1,2,?,16)的相关系数 16 i=1 16 i=1 ∑ ?xi- x ??i-8.5? 16 i=1 r= ≈ ?i-8.5?2 ∑ ?xi- x ?2 ∑ -2.78 ≈-0.18. 0.212× 16×18.439 2分 由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统 地变大或变小. 4分 (2)(ⅰ)由于 x =9.97, s≈0.212, 因此由样本数据可以看出抽取的第 13 个零件的 尺寸在( x -3s, x +3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查. 6分 (ⅱ)剔除离群值,即第 13 个数据,剩下数据的平均数为 1 15(16×9.97-9.22)=10.02, 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 10.02. 16 i=1 8分 10 分 ∑xi2≈16×0.2122+16×9.972≈1 591.134, 剔除第 13 个数据,剩下数据的样本方差为 1 2 2 15(1 591.134-9.22 -15×10.02 )≈0.008, 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 0.008≈0.09. 分 回访 2 独立性检验 12 4.(2017· 全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收 获时各随机抽取了 100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布 直方图如下: 图 82 (1)记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”,估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方 法有关

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