四川省成都外国语学校2017届高三上学期9月月考试题数学(文)Word版含答案

成都外国语学校高 2014 级 9 月月考试题
文科数学

命题人:李斌

审题人:王福孔

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合 A ? {x | ?3 ? x ? 3}, B ? {x | y ? lg(x ?1)} ,则集合 A B 为( )C

A. [0, 3)

B. [?1, 3)

C. (?1,3)

D. (?3, ?1]

【答案】C【解析】因 B ? {x | x ? ?1},故 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3},应选 C.

考点:集合的交集运算.

2.已知复数 z 的实部为 ?1,虚部为 2,则 5i =( )A z

A. 2 ? i

B. 2 ? i

C. ?2 ? i

D. ?2 ? i

【答案】A

z

?

?1 ?

2i

,

5i z

?

5i ?1 ?

2i

?

5i ??1? 2i? ??1? 2i???1?

2i ?

?

10 ? 5i 5

?

2

?i

3.下列说法正确的是( )A
A. a ? R ,“ 1 ? 1”是“ a ?1”的必要不充分条件 a
B.“ p ? q 为真命题”是“ p ? q 为真命题”的必要不充分条件

C.命题“ ?x ? R ,使得 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”

D.命题 p :“ ?x ? R , sin x ? cos x ? 2 ”,则 ?p 是真命题

【解析】对于 A,由于当 a ?1时一定有 1 ? 1,所以“ 1 ? 1”是“ a ?1”的必要条件,又因为

a

a

1 ? 1时不能推出 a ?1,如 a ? ?1,所以所以“ 1 ? 1”是“ a ?1”的不充分条件,综上可知

a

a

“ 1 ? 1”是“ a ?1”的必要不充分条件,故可知选 A. a

考点:充分条件必要条件与命题的否定.

4.若函数

f

(x)

?

(?? ?

1 4

)x ,

x

? ?? 1,0?

??4x , x ? ?0,1?



f

?1 ??3

f

? ??

log4

1 ?? 3 ????

?



)D

1
A.

B. 3

1
C.

D. 4

3

4

【解析】因为

f

(x)

?

(?? ?

1 4

)x ,

x

?

??

1,0?,因为

log4

??4x , x ? ?0,1?

1 3

???1, 0?

,所以 f(log4

1) 3

?

(

1

)log4

1 3

4

?

3



?

1 3

f(log

4

1) 3

? 1,

f

(1)

?

41

?

4

,所以

f

?1 ??3

f

? ??

log4

1 ?? 3 ????

?

4,答案为

D.

考点:分段函数的应用.

5.已知 y ? log a (2 ? ax) 在?0,1? 上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( )B

A. ?0,1?

B. ?1,2?

C. ?0, 2?

D. ?2, ??)

? ? 【解析】由题已知 a ? 0,t ? 2 ? ax 为减函数,又 y ? loga?2?ax? 在 0,1 为减函数,则可得:,.

?a ??2

? ?

1 a

?

0

,解得

a

的取值范围是(1,2)

考点:复合函数的单调性.

6.函数 f (x) ? ex ? x 在区间[?1,1] 上的值域为( )A

A.[1, e ?1]

B.[1 ?1, e ?1] e

C.[1 ?1,2] e

D.[0, e ?1]

【解析】 f '(x) ? ex ?1, f '(0) ? 0 ,当 x ?[?1,0) 时, f '(x) ? 0 , f (x) 递减,当 x ?(0,1]

时, f '(x) ? 0 , f (x) 递增, f (0) ? e0 ? 0 ? 1 , f (?1) ? 1 ?1 , f (1) ? e ?1 ? 1 ?1,所以

e

e

f (x) 值域为[1, e ?1].故选 A.

考点:用导数求函数的值域.

7.执行如图的程序框图,若程序运行中输出的一组数是 ? x, ?12? ,则

x 的值为( )B A. 27 C. 243
【解析】

B. 81 D. 729

考点:算法流程图的识读理解和运用.

8.将函数

f

(x)

?

? 3sin(4x ?

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2

倍,再向右平移 ?



6

6

单位长度,得到函数 y ? g(x) 的图象,则 y ? g(x) 图象的一条对称轴是( )C

A. x ? ? 12

B. x ? ? 6

C. x ? ? 3

D. x ? 2? 3

【解析】将函数 f (x) ? 3sin(4x ? ? ) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 6

y

?

3sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

的图象,再向右平移

? 6

个单位长度,得到函数

y

?

3sin

???2

? ??

x

?

? 6

? ??

?

? 6

? ??

?

3sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

,即

y

?

g(

x)

的图象,而

g

? ??

? 3

? ??

?

3 ,则

y

?

g(

x)

图象的一条对称轴是

x ? ? ,故选 C. 3
考点:三角函数的图象和性质及其变换.

9.若

x

?

?? ?? 4

,

5? 12

? ??

,则

f

?

x?

?

2

cos

x

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

的最大值为(

sin 2x

)A

A.1

B.2

C.3

D.4

【答案】A【解析】试题分析:

f ?x? ?

2

cos

x

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

cos

x(sin

x

?

cos

x)

?

sin

x

?

cos

x

?

1

?1,

sin 2x

2sin x cos x

2sin x 2 tan x 2

x

?

?? ?? 4

,

5? 12

? ??

,∴1

?

tan

x

?

2

?

3 ,?2 ?

3

?

1 tan

x

? 1,?当

1 tan

x

=1 时, fmax

?

x?

?1

.

故选 A. 考点:三角函数的最值.

10.齐王与田忌赛马, 田忌的上等马优于齐王的中等马, 劣于齐王的上等马, 田忌的中等马优 于齐

王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马, 现从双方的马匹中随机 选一匹进行

一场比赛, 则田忌马获胜的概率为( )A

A. 1 3

B. 1 4

C. 1 5

D. 1 6
【解析】

古典概型的计算公式及运用.

考点:

【易错点晴】概率是高中数学中的重要内容,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本

题时要充分利用题设中提供的有关信息,充分借助题设中提供有效信息,运用列举法列举出赛

马所有可能 Aa, Ab, Ac, Ba, Bb, Bc,Ca,Cb,Cc ,共九种可能,依据题设其中 Ab, Ac, Bc 是胜局

共三种可能,然后运用古典概型的概率公式求出田忌胜的概率是 P ? 3 ? 1 .列举法也就简单枚 93
举法一直是中学数学中重要而简单的数学方法之一,考查基础知识基本方法是高考的要求,这
需扎实掌握并引起足够的重视.

11. 函数 f (x) 的定义域是 R , f (0) ? 2 ,对任意 x ? R , f (x) ? f ' (x) ? 1 ,则不等式

ex f (x) ? ex ?1

的解集为( )A

A.{x | x ? 0}

B.{x | x ? 0}

C.{x | x ? ?1或x ? 1}

D.{x | x ? ?1或0 ? x ? 1}

【解析】令函数

F(x) ? ex f (x) ? ex ?1

,



F / (x) ? e x f (x) ? e x f / (x) ? e x ? e x [ f (x) ? f / (x) ?1] ? 0 ,故函数 F (x) ? e x f (x) ? e x ?1

是单调递增函数,且 F(0) ? 2 ?1?1 ? 0 ,所以不等式 ex f (x) ? ex ? 1等价于 F(x) ? F(0) ,故 x ? 0,应选 A.
考点:导数的有关知识及综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要 内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先构造出函数
F(x) ? ex f (x) ? ex ?1,再运用求导法则求函数 F(x) ? ex f (x) ? ex ?1的导数,判断该函数

的单调性为增函数,将不等式 ex f (x) ? ex ?1等价转化为 F(x) ? F(0) .最后借助函数的单调性

从而使得问题获解,本题具有一定的难度,难点在于如何构造函数 y ? f (x) 的解析表达式,这里

题设中的条件起到了的重要作用.

12. 已知函数 f (x) ? x2 ? x | x ? a | ?3a, a ? 3 .若函数 f (x) 恰有两个不同的零点 x1, x2 ,则

| 1 ? 1 | 的取值范围是( )C x1 x2

A. (1,??)

B. (1 ,??) 3

C. (1 ,1] 3

D. (1 , 1] 23

考点:分段函数,函数的零点.

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,满分 20 分.)

13. 已知 cos(5? ? ? ) ? 1 ,且 ? ? ? ? ? ? ? ,则 cos( ? ? ? ) ? _______________.

12

3

2

12

22 【答案】 ? 3

【解析】 cos( ?

?? ) ? cos(? ? (5? ? ? )) ? sin(5? ? ? ) ? ? 2

2
.

12

2 12

12

3

14.已知函数 f (x) ? ln( 1? 9x2 ? 3x) ?1 ,则 f (lg 2) ? f (lg 1) ? _______. 2
【答案】2
? ? ? ? 【解析】 f ?? x?? f ?x? ? ln 1? 9x2 ? 3x ? ln 1? 9x2 ? 3x ? 2 ? ln1? 2 ? 2 ,

f ?lg 2? ? f ??lg 1 ?? ? f ?lg 2? ? f ?? lg 2? ? 2
? 2?
考点:函数的性质

15.

?



线

l





数方

程是

?? x ?

?

2t 2

( 其 中 t 为 参 数 ), 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为

? ??

y

?

2t?4 2

2

? ? 2 cos(? ? ? ) ,过直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值是_________________. 4

【答案】 2 6

【解析】 ? ? 2 cos? ? 2 sin? ,? ? 2 ? 2? cos? ? 2? sin? ,

?圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,

即 (x ? 2 )2 ? ( y ? 2 )2 ? 1, ?圆心直角坐标为 ( 2 , ? 2 ) .

2

2

22

?直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 ,

2 ? 2 ?4 2

22

圆心 C 到直线 l 距离是

? 5,

2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ?12 ? 2 6 . 16. 设函数 f (x) ? kx2 ? 2x( k 为实常数)为奇函数,函数 g(x) ? a f (x) ?1(a ? 0且a ? 1) .当

a ? 2 时, g(x) ? t2 ? 2mt ? 1对所有的 x ?[?1,1] 及 m ?[?1,1] 恒成立,则实数 t 的取值范
围________.
【答案】 t ?(??,?2] {0} [2,??)

【 解 析 】 由 f (?x) ? ? f (x) 得 kx2 ? 2x ? ?kx2 ? 2x , ∴ k ? 0 .∵ g(x) ? a f (x) ?1 ? a2x ?1 ? (a2 )x ?1 ① 当 a2 ? 1 , 即 a ?1 时 , g( x) ? (a2 x)? 1在 [?1, 2] 上 为 增 函 数 , ? g(x) 最 大 值 为 g( 2 )? a4 ? 1.

②当 a2 ? 1,即 0 ? a ? 1时,∴ g(x) ? (a2 )x 在[?1, 2] 上为减函数,

?a4 ?1, a ? 1



g(x)

最大值为

g(?1)

?

1 a2

?1 .∴

g ( x)max

?

? ?1 ?? a2

?1,

0

?

a

?1

由(2)得 g(x) 在 x ?[?1,1] 上的最大值为 g(1) ? ( 2)2 ?1 ? 1 ,

∴1 ? t2 ? 2mt ? 1即 t2 ? 2mt ? 0 在[?1,1] 上恒成立分

令 h(m) ? ?2mt ? t2 ,

?

??h(?1) ? ??h(1) ?

? t2 t2 ?

? 2t 2t ?

? 0, 0,

?t ? ?2或t ? 0, 即 ??t ? 0或t ? 2.

所以 t ?(??,?2] {0} [2,??) .

考点:(1)函数的奇函数.(2)指数函数的性质.(3)恒成立问题及函数思想.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,单调性,考查不等式恒成立问题.解决不等式恒成立

问题关键是进行问题的转化,象本题不等式 g(x) ? t2 ? 2mt ? 1对所有的 x ?[?1,1] 恒成立,

则有 (g(x))max ? t2 ? 2mt ? 1 ,这样我们只要求得 g(x) 的最大值,不等式就可消去变量 x , 同样新不等式对 m ?[?1,1] 恒成立,也可象刚才一样转化为求函数最值,也可转化为关于 m 的

一次函数问题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.)

17.(本小题满分

10

分)计算:(Ⅰ)

log5

25

?

lg

1 100

?

ln

e ? 2log2 3 ;

(Ⅱ)

1
已知 a2

?1
?a 2

?

3

?

a

?

R

?

,求值:

a2 a

? a?2 ?1 ? a?1 ?1

【答案】(Ⅰ) 7 ; (Ⅱ)6. 2
【解析】(Ⅰ)原式= 2 ? (?2) ? 1 ? 3 ? 7 ; 22

(Ⅱ)

1
a2

?1
?a 2

? 3,?a

? a?1

?

7,? a 2

?

a ?2

?

47, ? a2 ? a?2 ?1 a ? a?1 ?1

?

47 ?1 7 ?1

?

6

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? cos( π ? x) cos( π ? x) ? sin x cos x ? 1

3

3

4

(1)化简 f (x) 的解析式,并写出 f (x) 的最小正周期;(2)求当 x ?[0, ? ] 时,求函数 f ? x?
2

的值域。

【答案】(Ⅰ) f (x) ? cos( π ? x) cos( π ? x) ? 1 sin 2x ? 1

3

3

2

4

? (1 cos x ? 3 sin x)(1 cos x ? 3 sin x) ? 1 sin 2x ? 1

2

2

2

2

2

4

? 1 cos2 x ? 3 sin2 x ? 1 sin 2x ? 1 ? 1? cos 2x ? 3 ? 3cos 2x ? 1 sin 2x ? 1

4

4

2

4

8

8

2

4

? 1 (cos 2x ? sin 2x) ? 2

2 2

cos

? ??

2

x

?

? 4

? ??

函数 f (x) 的最小正周期为 T ? ? ,

(II)由 x ?[0, ? ] ,得 2x ? ? ?[? , 5? ] , cos(2x ? ? ) ?[?1, 2 ]

2

4 44

4

2

所以当 x ?[0, ? ] 时,求函数 f ? x? 的值域为[? 2 , 1]

2

22

19.(本小题满分

12

分)已知函数

f

(x)

?

ln

x

?

x2

?

2x

?1
.

2

(1)求函数 f ? x? 的单调递增区间;(2)证明:当 x ?1 时, f ? x? ? x ?1.

【答案】(1)

? ???

0,

1? 2

5

? ??? ;(2)证明见解析.

【解析】(1) f ? x? 的定义域为 ?0, ??? , f '? x? ? 1 ? x ?1 ? ?x2 ? x ?1, 令 f '? x? ? 0 ,得

x

x

?x ? 0 ???x2 ?

x ?1?

,解得 0 0

?

x

?

1? 2

5

,所以函数

f

?

x?

的单调递增区间是

? ???

0,

1? 2

5

? ??? .

(2)令 g ? x? ? f ? x? ?? x?1? , x??1, ??? ,则 g '? x? ? 1? x2 ? 0 在 ?1, ??? 上恒成立, 所以
x

g ? x? 在 ?1, ???上单调递减,所以当 x ?1时, g ? x? ? g ?1? ? 0 , 即当 x ?1时, f ? x? ? x ?1.

20.(本小题满分 12 分)周立波主持的《壹周·立波秀》节目以其独特的视角和犀利的语言,

给观众留下了深刻的印象.央视鸡年春晚组为了了解观众对《壹周·立波秀》节目的喜爱程度,

随机调查了观看了该节目的 140 名观众,得到如下 2×2 的列联表:(单位:名)

(Ⅰ)从这 60 名男观众中按对《壹周·立波秀》节目是否喜爱采取分层抽样,抽取一个容量 为6
的样本,问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名? (Ⅱ)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与喜爱

《壹 周·立波秀》节目有关.(精确到 0.001)
(Ⅲ)从(Ⅰ)中的 6 名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱《壹 周·立
波秀》节目的概率. 附:临界值表

p(k 2 ? k0 ) 0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k0

2.705

3.841

5.024

6.635

7.879

参考公式:

K

2

?

?a

?

n?ad ? bc?2 b??c ? d ??a ? c??b

?

d

?



n

?

a

?

b

?

c

?

d

.

【答案】(Ⅰ) 4,2 ;(Ⅱ)不能在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为观众性别与喜爱《壹

周·立波秀》节目有关;(Ⅲ) 0.4 .
【解析】

试题分析:(Ⅰ)借助题设条件运用比例关系求解;(Ⅱ)借助题设条件运用卡方系数进行推证;

(Ⅲ)运用列举法和古典概型的计算公式求解.

试题解析:

(Ⅰ)抽样比为

6

?

1

,则样本中喜爱的观众有

1
40×

=4

名;不喜爱的观众有

6﹣4=2

60 10

10

名. …………………3 分

(Ⅱ)假设观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目无关,由已知数据可求得:

k2

?

140? (60 ? 20 ? 40 ? 20)2 80? 60?100? 40

?

224 192

? 1.167 ? 5.024

所以不能在犯错误的概率不超过 0.025的前提下认为观众性别与喜爱《壹周·立波秀》节目有
关……8 分 (Ⅲ)设喜爱《壹周·立波秀》节目的 4 名男性观众为 a,b,c,d, 不喜爱《壹周·立波秀》节目的 2 名男性观众为 1,2; 则基本事件分别为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,1),(a,2),(b,c),(b,d),(b,1), (b,2),(c,d),(c,1),(c,2),(d, 1),(d,2),(1,2). 其中选到的两名观众都喜爱《壹周·立波秀》节目的事件有 6 个,

故其概率为 P(A)= 6 ? 0.4 …………… 12 分 15
考点: 2? 2 列联表、古典概型的概率等有关知识的综合运用.

21.(本小题满分

12

分)在

?ABC中,已知

A

?

? 4

, cos

B

?

25 5

.

(I)求 cosC 的值;(Ⅱ)若 BC ? 2 5, D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

【答案】解:(Ⅰ)? cos B ? 2 5 且 B ? (0,? ) ,∴ sin B ? 1? cos 2 B ? 5

5

5

cos C ? cos(? ? A ? B) ? cos(3? ? B) 4

? cos 3? cos B ? sin 3? sin B ? ? 2 ? 2 5 ? 2 ? 5 ? ? 10

4

4

2 5 25

10

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin C ? 1? cos 2 C ? 1? (? 10 ) 2 ? 3 10

10

10

由正弦定理得 BC ? AB ,即 2 5 ? AB ,解得 AB ? 6 sin A sin C 2 3 10
2 10
在 ?BCD 中, CD2 ? (2 5)2 ? 32 ? 2 ? 3? 2 5 ? 2 5 ? 5 ,
5

所以 CD ? 5

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x ln x ? mx2 ,( m 为常数).

(Ⅰ)当 m ? 0时,求函数 f (x) 的单调区间;

(Ⅱ)若 x2 ? x ? 1对任意 x ?[ e, e2 ] 恒成立,求实数 m 的取值范围; f (x)

(Ⅲ)若

x1,

x2

?(1 e

,1)



x1

?

x2

? 1 ,求证:

x1x2

?

( x1

?

x2 )4

.

【答案】(Ⅰ)单调递增区间为 (1 , ??) ,单调递减区间为 (0, 1) ;(Ⅱ)

e

e

3e 2e

?1?

m

?

2 e2

;(Ⅲ)

证明见解析.

【解析】

(Ⅱ) 已知 x ?[ e, e2 ] ,于是 x2 ? x ? 1变形为 x ?1 ? 1,

f (x)

ln x ? mx

从而 1 ? 1 ,即 0 ? ln x ? mx ? x ?1,整理得 ln x ? x ?1 ? m ? ln x .

ln x ? mx x ?1

x

x

令 g(x) ? ln x ? x ?1 ,则 g' (x) ? ? ln x ? 0 ,即 g(x) 在[ e, e2 ] 上是减函数,

x

x2

∴ g(x)max ? g(

e)

?

3e 2e

?1,令 h(x)

?

ln x x

,则 h' (x)

?

1? ln x2

x



当 e ? x ? e 时, h' (x) ? 0 , 即此时 h(x) 单调递增;

当 e ? x ? e2 时, h' (x) ? 0 , 即此时 h(x) 单调递减,

而 h(

e)

?

1 2e

?

h(e2 )

?

2 e2

,∴ h(x)min

?

2 e2

,∴

3e 2e

?1?

m

?

2 e2

.

考点:导数的有关知识的综合运用. 【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参
数 m 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分

析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数 f (x) 单调区间问题,求解时直接对函数

f (x) ? x ln x ? mx2 求导,求出了函数 f (x) ? x ln x ? mx2 的单调区间;第二问运用则借助不等

式恒成立将其巧妙变形为

1

? 1 ,将不等式问题进一步逐步转化为

ln x ? mx x ?1

ln x ? x ?1 ? x

m?

ln x x

,然后通过构造函数

g?(x) ?

(x ? k)e2k ex

? (x ? k)ex

,再运用导数知识求得

两函数的最值使得问题获解;第三问借助第一问中结论将欲证的不等式进行分析转化,然后借

助基本不等式分析推证,从而使得不等式简捷巧妙获证.本题具有一定的难度和区分度,是一道

难得的好题.


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