直线和平面垂直的性质定理

直线和平面垂直的性质定理 课时) (1 课时) 三维目标: 三维目标: 知识与技能
1、 2、 3、 掌握直线与平面垂直的性质。 掌握直线与平面垂直的性质。 能运用性质定理解决一些简单问题。 能运用性质定理解决一些简单问题。 了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。 了解垂直的判定定理与性质定理间的相互联系。

李忠志

过程与方法
培养学生的直观能力,让学生在观察物体模型的基础上, 培养学生的直观能力,让学生在观察物体模型的基础上,进行 操作确认, 获得对性质定理正确性的认识, 通过探索发现线面垂直的 操作确认, 获得对性质定理正确性的认识, 性质定理,培养学生的空间想象能力、发散思维和类比的能力。 性质定理,培养学生的空间想象能力、发散思维和类比的能力。

情感、 情感、态度与价值观
通过实物模型或学生自己制作模型进行操作演示, 通过实物模型或学生自己制作模型进行操作演示,让学生参与 到教学活动中来,激发学生的学习欲望和探究精神。 到教学活动中来,激发学生的学习欲望和探究精神。 教学重点 教学重点 直线与平面垂直的性质。 直线与平面垂直的性质。 教学难点 性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。 性质定理的探求及证明中反证法的学习和掌握。

教学过程
一、问题引入: 问题引入: 垂直于同一条直线的两条直线是否平行?为什么? 问 1:垂直于同一条直线的两条直线是否平行?为什么? 平行于同一条直线的两条直线是否平行?为什么? 问 2:平行于同一条直线的两条直线是否平行?为什么?

平行于同一平面的两条直线是否平行?为什么? 问 3:平行于同一平面的两条直线是否平行?为什么? 问 4:垂直于同一平面的两条直线是否平行?为什么? 垂直于同一平面的两条直线是否平行?为什么? 问 5 :若 a ⊥ α , b α ,则 a ⊥ b 吗? 问 6:若 a∥b , a ⊥ α ,则 b ⊥ α 吗? 的逆命题成立吗? 问 7:问 5 的逆命题成立吗?即 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a∥b 吗?

二、推进新课: 推进新课:
直线和平面垂直的性质定理: 直线和平面垂直的性质定理:如果两条 直线同垂直于一个平面, 直线同垂直于一个平面 , 那麽这两条直线平 行。 已知:如图, 已知:如图, a ⊥ α , b ⊥ α 求证: 求证: a // b

O

证明: 反证法) (反证法 相交或异面; 证明: 反证法)假定 b 不平行于 a ,则 b 与 a 相交或异面; ( 相交, (1)若 a 与 b 相交,设 a I b = A , ) ∵ a ⊥ α,b ⊥ α 垂直, ∴过点 A 有两条直线与平面 α 垂直, 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾, 此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾, 不相交; ∴ a 与 b 不相交; 异面, (2)若 a 与 b 异面,设 b I α = O ,过 O 作 b′ // a , ) ∵a ⊥α ∴ b′ ⊥ α 又 ∵ b ⊥ α 且 b I b′ = O ,

∴过点 O 有直线 b′ 和 b 垂直于 α 与过一点有且只有一条直线一已知平 面垂直矛盾, 面垂直矛盾, 不异面,综上假设不成立, ∴ b 与 a 不异面,综上假设不成立, ∴ a // b .

三、讲解范例: 讲解范例: 求证: 例 1 已知直线 l ⊥ 平面 α ,垂足为 A ,直线 AP ⊥ l ,求证: AP 在 平面 α 内
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确定的平面为 证明: 证明:设 AP 与 l 确定的平面为 β , 如果 AP 不在 α 内,则可设 α I β = AM , ∵ l ⊥ α ,∴ l ⊥ AM ,又∵ AP ⊥ l , 于是在平面 β 内过点 A 有两条直线垂直于 l ,
α
A

β
l P M

这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, 这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, 所以 AP 一定在平面 α 内 例2
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平行, 已知一条直线 l 和一个平面 α 平行,求证直线 l 上各点到平
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面 α 的距离相等

证明:过直线 l 上任意两点 A、B 分别引 证明: 平面 α 的垂线 AA′, BB ′ ,垂足分别为 A′, B ′ ∵ AA′ ⊥ α , BB ′ ⊥ α ∴ AA′ // BB ′
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A
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B β

设 经 过 直 线 AA′, BB ′ 的 平 面 为 β ,
β I α = A′B ′
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α

∵ l // α ∴ AA′ = BB ′


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l // A′B ′

∴四边形 AA′B′B 为平行四边形

上任意的两点, 由 A、B 是直线 l 上任意的两点,可知直线 l 上各点到这个平面距离相 等
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如何定义点到平面的距离?直线和平面的距离? 问 8:如何定义点到平面的距离?直线和平面的距离? 点到平面的距离的定义: 点到平面的距离的定义: 从平面外一点引一个平面的垂线, 从平面外一点引一个平面的垂线, 这个点和

垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 直线和平面的距离的定义: 直线和平面的距离的定义: 一条直线和一个平面平行, 一条直线和一个平面平行, 这条直线上任 意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离. 意一点到平面的距离,叫做这条直线和平面的距离. 已知: 是两条异面直线, 例 3.已知:a,b 是两条异面直线,a⊥α,b⊥β,α∩β= l ,AB 公垂线, 是 a,b 公垂线,交 a 于 A,交 b 于 B 求证:AB∥ 求证:AB∥ l 证明方法一: 利用线面垂直的性质 证明方法一: (利用线面垂直的性质 ( 定理) 定理) 过 A 作 b′ ∥b,则 a, b′ 可确定一平 面γ 是异面垂线的公垂线, ∵AB 是异面垂线的公垂线, 即 AB⊥a,AB⊥b AB⊥ AB⊥ ∴A B ⊥ b ′ ∴AB⊥γ AB⊥ ∵a⊥α,b⊥β,α∩β= l ∴ l ⊥a , l ⊥b ∴ l ⊥ b′

α

B

β

γ

A

∴ l ⊥γ ∴AB∥ l AB∥ 证明方法二: 利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行) ( 证明方法二: 利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行)
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的公垂线, 作平面γ ∵AB 是异面直线 a,b 的公垂线,过 AB 与 a 作平面γ,γ∩α=m ∵a⊥α ∴a⊥m
l bg n

AB,AB 又 a⊥AB,ABγ

γ
m

B

a

α

A

β

∴m∥AB 又过 AB 作平面 g,g∩β=n ∩β=n 同理: 同理:n∥AB ∴m∥n,于是有 m∥β 又α∩β= l ∴AB∥ l AB∥ 求点 A 到下列平面的 例 4. . 在棱长为 a 正方体 ABCD A1 B1C1D1 中, 距离: 距离: (1)平面 A1B1C1D1 BD( (2)平面 A1BCD1 (3)平面 A1BD(4)平面 B1CD1 ∴m ∥ l

结论与规律: 的距离。 结论与规律:若 a∥α ,则 a 上各点到 α 的距离等于 a 到 α 的距离。 1、与空间四边形四顶点距离相等的平面有 、 与正方体八顶点距离相等的平面有 四、课堂小结: 课堂小结: 1、归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容个是什么? 纳一下本节学习了什么性质定理,其内容个是什么? 2、类比两个性质定理,你发现他们之间有何联系? 类比两个性质定理,你发现他们之间有何联系? 五、布置作业: 布置作业: 教材习题 2.3A 组 5,教材习题 2.3B 组 3. , 六、课后反思: 课后反思: 本节课主要是让学生在观察物体模型的基础上, 本节课主要是让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确 让学生在观察物体模型的基础上 获得对性质定理正确性的认识, 通过探索发现线面垂直的性质定 认, 获得对性质定理正确性的认识, 通过探索发现线面垂直的性质定 学生主动性很强和老师配合的也很好, 能积极的思考老师提出的 理, 学生主动性很强和老师配合的也很好, 教学任务。 教学任务。 个。 个。


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