金堂中学2015届下期数学周练8

金堂中学高 2015 届下期数学周练试题 8
一、 选择题: 本大题共 10 小题每小题 5 分, 共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
x 1.设全集 U ? R, 集合A ? x | log 2 ? 2 , B ? ? x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0? , 则(CU B)

?

?

A ?(

)

A . (??, ?1]

B.

(??, ?1] ? (0,3)

C.

[0,3)

D. (0,3)

2.已知向量 a ? 1, 3 , b ? ? 3, m ? ,若向量 a 与 b 的夹角为 A. 2 3 B.

?

?

? ,则实数 m 的值为( ) 2
D. ? 3

3

C. 0

3.若 a ? b ? c, c ? d ? 0 ,则一定有( ) A.

a b ? ?0 c d

B.

a b ? ?0 c d

C.

a b ? d c
) D. 16

D.

a b ? d c

4.在正项等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? a9 ? 16 ,则 lg2 a5 ? ( A.2 B. 4 C. 8

5.函数 y ? x2 ? bx ? c( x ?[0, ?)) 是单调函数的充要条件是( ) A. b ? 0 B. b?0 C. b?0 D. b ? 0

6.角 ? 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? ? ( ) A. ?

4 5

B.

2 3

C.

?

3 5

D.

3 4 c ? 0 有一个 2

2 2 7. ?ABC 中三个内角为 A、B、C,若关于 x 的方程 x ? x cos A cos B ? cos

根为 1,则 ?ABC 一定是( ). 8.函数 y ?

xa x (a>1)的图像的大致形状是( ). x

y 1 x -1
A
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y 1 x

y 1 x -1 -1

y 1 x -1
C D
-1-

B

?( x ? a ) 2 , x ? 0 ? 9.设 f ( x) ? ? , 若 f (0) 是 f ( x) 的最小值,则 a 的取值范围是( ). 1 ? x? ,x ?0 x ?
A.

[?1, 2]
2

B . [?1, 0]

C . [1, 2]

D. [0, 2]

10.方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 的图像与函数 y ? 标,若方程 x ? ax ? 4 ? 0 各个实根 x1 , x2 ,..., xk (k ? 4) 所对应的点 ( xi ,
4

1 的图像交点的横坐 x

1 )(i ? 1, 2, ???, k ) 均在 xi

直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是( ). A . (??, ?3) B . (?3,3) C . (3, ?) D. (??, ?3) ? (3, ?)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答卷中的横线上. 2x3,x<0, ? ? ? ?π ?? 11. 已知函数 f(x)=? π 则 f?f? 4 ??=_______ . ? ?-tanx,0≤x< 2 , x 12.曲线 y ? 在点 ?1, ?1? 处的切线与轴 x 的交点的坐标为 . x?2 1 4 13.设 a,b,c 都是正数,且满足 ? ? 1 则使 a+b>c 恒成立的 c 的取值范围是 . a b
? x ?1 1 ? 14.设不等式组 ? x ? y ? 3 其中 a ? 0 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 ,则 a= 2 ? y ? a ( x ? 3) ?
15.下列说法: ① x 为实数, ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,则 f ( x) ? x ? ? x? 在 R 上是周期函数; ②函数 y ? e
x ?1

.

的图像关于轴 y 对称;

2 ③函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? 4 ,若 f (lg

1 ) ? 2013 ,则 f (lg 2014) ? ?2013 ; 2014

④若等差数列 ?an ? 满足 a8 ? a9 ? a10 ? 0, a8 ? a11 ? 0 ,则当 n ? 9 时 ?an ? 的前 n 项和最大; 其中真命题的序号是 .

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三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 75 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.

?? ? 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? ? x ? ? ?? ? 0 ? 图像的两相邻对称 6? ?
轴间的距离为

? . 2
? ?? 上的最大值. ? 2? ?

(1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x ) 在 ? 0,

17. (本小题满分 12 分) (理)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择,为增加趣 味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去 参加乙游戏. (1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率; (2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率; (3)用 X,Y 分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数,记 ξ =|X-Y|,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望 Eξ . (文)品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中 随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 频率 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c

(1)若所抽取的 20 件日用品中, 等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, 求 a, b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取 出的可能性相同) ,写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

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18. (本小题满分 12 分) (理) 梯形 ABCD 中,AD // BC ,BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 ,AB ? BC , 如图, 把 ?ABD 沿 BD 翻折,使得平面 ABD ? 平面 BCD . (Ⅰ )求证: CD ? AB ; (Ⅱ )在线段 BC 上是否存在点 N ,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 ?若存在,求出

BN 的值;若不存在,请说明理由. BC

A

D

A D

A D C B C

B

C B

ABC , (文)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AAC 1 1C ? 底面

AA1 ? AC ? AC ? 2 , AB ? BC , AB ? BC , O 为 AC 中点. 1 ⑴ 证明: AO ? 平面 ABC ; 1 1 VABC ? A1B1C1 ,求 A1E 的长度. ⑵ 若 E 是线段 A 1B 上一点,且满足 VE ? BCC1 ? 12

19 (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n , 满足点 (n, sn ) 在函数 f ( x) ? x2 ? 8x 图 像上, ?bn ? 为等比数列,且 b1 ? a5 , b2 ? a3 ? ?1 (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? anbn ,求数列的前项 n 和 Tn .

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20.已知椭圆 G :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且右顶点为 A(2, 0) . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)过点 P ? 0,2? 的直线 l 与椭圆 G 交于 A, B 两点,当以线段 AB 为直径的圆经过坐标原 点时,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 k ( x) ? ? ln x ? (1)当 ? ? 1 时,求函数的 k ( x) 极值;

1 1 ? 1, f ( x) ? x ? , F ( x) ? k ( x) ? f ( x) x x

(2)设 F ( x) ? k ( x) ? f ( x) ,若 F ( x) ? 0 恒成立,求实数 ? 的值; (3) (理)求证:

Tn ?1 ? n ? 1 ? Tn . e

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【解析】【解析】 方程的根显然 x≠0,原方程等价于 x3+a=4 /x , 原方程的实根是曲线 y=x3+a 与曲线 y=4/ x 的交点的横坐标, 而曲线 y=x3+a 是由曲线 y=x3 向上或向下平移|a|个单位而得到的, 若交点(xi,4 、xi )(i=1,2,k)均在直线 y=x 的同侧, 因直线 y=x 与 y=4 x 交点为:(-2,-2),(2,2); 所以结合图象可得 a>0 x3+a>-2 x<-2 a<0 x3+a<2 x>2 , 或

解得 a>6 或 a<-6. 故答案为:a>6 或 a<-6.

解析】本题综合考查了反比例函数,反比例函数与一次函数图象的交点问题,数形结合是数 学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.

因为方程的根显然 x≠0,原方程等价于 x +a=
3

原方程的实根是曲线 y=x +a 与曲线 y=
3

的交点的横坐标, 而曲线 y=x +a 是由曲线 y=x 向上或
3 3

向下平移|a|个单位而得到的,若交点(x ,
i

)(i=1,2,k)均在直线 y=x 的同侧,因直线

y=x 与 y=
3

交点为:(-2,-2),(2,2);所以结合图象可得 a>0, x +a>-2,x<-2,或
3

a<0, x +a<2,x>2,解得 a>6 或 a<-6.故答案为:a>6 或 a<-6。

解决该试题的关键是将原方程等价于 x +a=
3

,分别作出左右两边函数的图象:分 a>0 与 a

<0 讨论,可得答案。 一、选择题 1.D;2.D;3.D;4.A;5.A;6.C;7.B;8.B;9.D;10.D 二、填空题 11.-2 12.(

1 3 ,0) ; 13.(0,9) ;14. ; 15.①④; 2 4

16.解: (1) f ( x) ? sin wx ? cos( wx ?
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?

6

)
-6-

3 1 cos wx ? sin wx ) 2 2 3 1 ? sin wx ? cos wx ? sin 2 wx 2 2 3 1 cos2wx ? sin 2wx ? ? 4 4 4 1 ? 1 ? sin( 2 wx ? ) ? …………………………………………5 分 2 6 4 ? 因为 f ( x) 图像的两相邻对称轴间的距离为 . 2 2? ? ? ,所以 w ? 1 ………………………………………7 分 则 f ( x) 的周期 T ? 2w 1 ? 1 (2)由(1)知 f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? ; 2 6 4 ? ? ? 7? ; ………………………………………9 分 因为 0 ? x ? , 所以 ? 2 x ? ? 2 6 6 6 ? 1 ? ? ? 则当 2 x ? ? , 即 x ? 时, f ( x) 在 [0, ] 上有最大值 f ( x ) ma x ? 。 ……………12 6 2 6 2 4 ? sin wx ? (
分 17. 解 :

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P(ξ =2)=P(A1)+P(A3)= ,P(ξ =4)=P(A0)+P(A4)= .所以 ξ 的分布列是
ξ 0 8 27 2 40 81 4 17 81

40 81

17 81

P

8 40 17 148 随机变量 ξ 的数学期望 Eξ=0×27+ 2×81+4×81= 81 18.解: (Ⅰ )证明:因为 AD // BC , BC ? 2 AD ? 2 AB ? 2 2 , AB ? BC 所以 AD ? AB ?

2 , BD ? AB2 ? AD2 ? 2 ,

?DBC ? ?ADB ? 45 , CD ? 22 ? 2 2
所以

?

?

2

? 2 ? 2 ? 2 2 cos 45 ? 2
??

BD2 ? AC 2 ? BC 2 ,所以 C D? B D .
平面 BCD ? BD

又平面 ABD ? 平面 BCD ,平面 ABD 所以 CD ? 平面 ABD

平面 ABD ,所以 CD ? AB

(Ⅱ ) 因为 CD ? 平面 ABD , 所以 CD ? BD . 以点 D 为原点,DB 所在的直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴,过点 D 作垂直平面 BCD 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,z

如图.由已知,得 A(1, 0,1) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , D(0,0,0) . 所以 CD ? (0, ?2,0) , AD ? (?1,0, ?1) . 设平面 ACD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 CD ? n ? 0, AD ? n ? 0
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A D

x B

-8-

C

y

所以 ?

??2 y ? 0, 令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? ?1, 0, ?1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 ? ?? x ? z ? 0.

假设存在点 N ,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 设 BN ? ? BC,0 ? ? ? 1 ,则 N ? 2 ? 2?,2?,0? , AN ? ?1 ? 2? , 2? , ?1? · · · · · · · · · · · · · · · ·9 ?

所以 sin 60 ?

AN ? n AN ? n

,即

1 ? 2? ? 1

?1 ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ?1?
2 2

2

? 2

?

3 ,· · · · · · · · · · · · · · · · ·??? 2

2 可得 8? ? 2? ? 1 ? 0 ,解得 ? ?

1 1 或 ? ? ? (舍去)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 ? 4 2

综上所述,在线段 BC 上存在点 N ,使得 AN 与平面 ACD 所成角为 60 , 此时

BN 1 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 ? BC 4 【试题解析】解:(1) ? AA ? AC ? 2 ,且 O 为 AC 中点, 1 ? AC 1

? AO ? AC ,又? 侧面 AAC ? 面A1 AC , 1 1 1C ? 底面 ABC ,交线为 AC , AO 1 ? 平面 ABC . ? AO (6 分) 1 1 1 1 3 (2) VE ? BCC1 ? VABC ? A1B1C1 ? VA1 ? BCC1 , 因 此 BE ? BA1 , 即 A1 E ? A1 B , 又 在 12 4 4 4
中, AO Rt?AOB ? OB , AO ? 3 , BO ? 1 可得 A1B ? 2 ,则 A1E 的长度为 3 . 1 1 1

2

19(1)∵点(n,sn)在函数 f(x)=x -8x 的图像上

2

∴Sn=n -8n

2

当 n=1 时,a1=s1=-7, 当 n≥2 时,an=sn-sn-1=2n-9,而 a1=-7 满足上式, ∴an=2n-9 ………………………………………………………………………..3 分 ∵数列{bn}为等比数列,b1=a5=1,b2=2 ∴bn=2n-1 (2)由(1)知 an=2n-9, bn=2n-1
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

6分

Cn ? (2n ? 9) ? 2n?1
则 Tn ? (?7) ? 20 ? (?5) ? 2 ? (?3) ? 22 ? ... ? (2n ? 11 ) ? 2n ?2 ? (2n ? 9) ? 2n ?1 ① ②

2Tn ? (?7) ? 2 ? (?5) ? 2 2 ? ... ? (2n ? 13) ? 2 n?2 ? (2n ? 11) ? 2 n?1 ? (2n ? 9) ? 2 n
由①—②得,

?Tn ? ?7 ? 2(2 ? 22 ? 23 ? ... ? 2n?1 ) ? (2n ? 9) ? 2n

? ?7 ? 2 ?

2(1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 9) ? 2n 1? 2
-9-

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? (11 ? 2n) ? 2n ?11
所以 Tn ? (2n ? 11 ) ? 2n ? 11 ……………………………….13 分

20.

所求直线 l 的方程为 y ? ?2 x ? 2 .

……………………14 分

21.解: (1)k(x)的定义域为(0,+∞)………………………………………………………….1 分

? ? ? 1,

? k / ( x) ?

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 …………………………….3 分 x x x
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当 x>1 时, k / ( x) >0,当 0<x<1 时 k / ( x) <0,得 ∴ x=1 时 k(x)取得极小值,无极大值, k(x)的极小值为 k(1)=0………………………………………………………………..5 分
/ (2)令 F(x)= ? ln x ? x ? 1,F(1)=0, F ( x ) ?

??x
x

由 F(x)≥0 恒成立,则 F(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增; 即 0<x≤1 时, F / ( x) ≤0 恒成立,得 ? ≤-1 x≥1 时, F / ( x) ≥0 恒成立,得 ? ≥-1 综上, ? ? ?1 …………………………………………………………………………..10 分 (3)由(1)得,k(x)>k(1)=0,即:当 x≠1 时, ln x >1由(2)得,x>1 时,F(x) >F(1)=0,即: ln x <x-1

1 x

n ?1 n ?1 n 1 ? ,得: ln >1 ? n n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 1 ln < -1= n n n 1 n ?1 1 ? 即得: < ln < (n ? N )…………………………………12 分 n ?1 n n n ?1 n 3 2 . ...... . ) 又∵ ln( n ? 1) ? ln( n n ?1 2 1 n ?1 n 3 2 ? ln ? .........? ln ? ln = ln n n ?1 2 1
取 x= ∴

? i ? 1 <ln(n+1)< ? i
i ?1 i ?1
1 1 1 1 ? ?........ ? ? 2 3 n n ?1

n

1

n

1

即e ∴

<n+1< e

1 1 1 1? ? ?........ ? 2 3 n

Tn ?1 ? <n+1<Tn, n ? N …………………………………………………14 分 e

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