2017届一轮复习新人教B版 集合 课件


第一节 集合

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知识点一 集合的概念及表示

1.集合与元素
(1)元素的性质: 确定性 、无序性、 互异性 ; (2)元素与集合的关系:①属于与不属于;②符号表示:∈,?. 2.集合的表示方法: 列举法 、 描述法 、Venn图示法.

3.集合的分类 (1)有限集:元素的个数是有限个;
(2)无限集:元素的个数是无限个;

(3)空集:不含有任何元素.
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4.常用数集及表示符号 名称 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R

?集合表示的两误区:描述法;图示法.
(1)[利用描述法表示集合时,要注意集合中的代表元素是什么] 已知集合A={y|y=x2},B={x|y=x2},则A∩B=________.
解析 y=x2 的定义域为 R,值域为[0,+∞),

即 A=[0,+∞),B=R,∴A∩B=[0,+∞).

答案 [0,+∞)
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(2)[用图示法表示集合时,一要作图准备,二要注意多个集合 形成的待求集合与已知集合的关系 ]设全集 U=R,A= {x|0< x<2} , B = {x|x<1} , 则 图 中 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 ________ .

解析

由题图知阴影部分表示的为 A∩?U B.

即{x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.

答案 {x|1≤x<2}
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知识点二

集合间的基本关系及运算

1.集合间的关系
自然语言 如果 A 的任意一个 元素都是集合 B 的 子 符号语言 Venn 图

元素 (若 a∈A,

集 则 a∈B) ,那么集 合 A 叫做集合 B 的 子集

A?B 或 B?A

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如果 A?B,并 真子集 且 A≠B , 那么集合 A 称为集合 B 的真子集 对于两个集合 A、B, 集合 相等 如果 A?B,同时 B?A , 那么就称集合 A 和集 合 B 相等

记为 A B 或B A

A=B

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2.集合间的基本运算
自然语言 一般地,由所有的属于集合 A且 交集 属于集合 B 的元素构成的集合, 符号语言 图形语言

A∩B=

{x|x∈A, 称为集合 A 与集合 B 的 交集 , 且 x∈B} 记作 A∩B,读作“A 交 B”

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一般地,由所有的属于集合 A 并集 或属于集合 B 的元素构成的集 合,称为集合 A 与集合 B 的并 集, 记作 A∪B, 读作“A 并 B” 设 A ? U, 由 U 中不属于 A 的所 补集 有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集,记作: ?UA(读作“A 在 U 中的补集”)

A∪B={x|x ∈A,或 x∈B}

?UA= {x|x∈U, 且 x?A}

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?解决集合问题的两个方法:列举法;图示法. (3)若集合M={2,3,4},N={0,2,3,5},则M∩N的子集

的个数为________.
解析 M∩N={2,3},子集个数为22=4个. 答案 4 (4) 已知集合 M = {x| - 1<x<3} , N = {x| - 2<x<1} ,则 M∩N =

__________.
解析 M∩N={x|-1<x<3}∩{x|-2<x<1}={x|-1<x<1}.

答案 {x|-1<x<1}
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?集合中常用的结论:集合间的基本关系;集合的基本运算.

(5)A?B, B?C?________ ; A?B?A ∩ B= ________?A ∪ B
=________;A________A. 答案 A?C A B
?

(6)A∩ ? = __________ , (?UA)∩(?UB) = __________ , (?UA)∪(?UB)=________. 答案 ? ?U(A∪B) ?U(A∩B)

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突破集合的概念及集合间基本关系的方法

?与集合元素有关问题的解题方略 (1)确定集合的代表元素 (2)看代表元素满足的条件 (3)根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数,

但要注意,检验集合中的元素是否满足互异性.

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?判断集合间关系的方法 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键

?由集合关系求参数问题的策略 首先,把集合关系转化为元素关系.其次,把元素关系转化 为参数满足的关系,常借助数轴,Venn图帮助分析.

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【例1】 (1)已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a=

________.
(2)(2016· 豫 南 九 校 模 拟 ) 设 集 合 M = {x∈Z||x - 1| < 2} , N = {y∈N|y=-x2+2x+1,x∈R},则(
A.N∈M C.N M B.M N

)

D.M=N

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[解题指导]

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解析

(1) ∵-3∈A,∴-3=a-2 或-3=2a2+5a.

3 ∴a=-1 或 a=-2. ①当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3, 与元素互异性矛盾 ,应舍去 . 3 7 3 2 ②当 a=-2时,a-2=-2,2a +5a=-3.∴a=-2满足条件 . (2) 由|x-1|<2 得-1<x<3,即 M={0,1,2}, 又 y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, 所以 N={0,1,2},有 M=N,故选 D.

3 答案 (1)-2 (2)D
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[点评]

对于某一元素属于某一集合,应分几种情况列出

方程( 组) 进行求解,要注意检验是否满足互异性 .(2) 中容
易忽略代表元素满足条件致误.

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集合的基本运算的解题方略

?集合运算解题策略 解集合运算问题4个注意点

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【例 2】 (2016· 山东枣庄月考)已知集合 A={x|y= -log2x};
? ?1?x? B=?y|y=?2? ?,则 ? ? ? ?

A∩?RB=(

)

A.{x|0<x<1} C.{x|x≥1} [解题指导]

B.{x|x≤0} D.?

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解析

由 y= -log2x得-log2x≥0,∴log2x≤0.

解得 0<x≤1,即 A={x|0<x≤1}. 由
?1?x y=?2? 得 ? ?

y>0,即 B={y|y>0}.

所以?RB={y|y≤0}, 所以 A∩?RB=?,故选 D.

答案 D [点评] 利用不等式表示的集合运算,要借助数轴正确分

析,在含有对数问题中注意真数大于0这一隐含条件.

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集合中创新问题的突破方法

?解决创新问题关键的策略方法要点 (1)正确理解题意,分析新定义的表述意义,把新定义所表达的

数学本质弄清楚,进而转化成熟知的数学情境,并能够应用到
具体的解题之中,这是解决问题的基础. (2)合理利用集合性质 .运用集合的性质 (如元素的性质、集合的 运算性质等 ) 是破解新定义型集合问题的关键 . 在解题时要善于 从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素,

但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.
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【例 3 】 (2016· 广西南宁调研 ) 对于集合 A , B ,我们将 {(a ,

b)|a∈A,b∈B}记作A?B.例如:A={1,2},B={3,4},则
A?B={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. (1)已知A?B={(1,2),(2,2)},则集合A=________,B= ________; (2)若A中有3个元素,B中有4个元素,则A?B共含有________

个元素.

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[解题指导]

解析 (1)由A?B={(a,b)|a∈A,b∈B}的定义可知 A={1,2},B={2}.

(2)设A={a1,a2,a3},B={b1,b2,b3,b4},则在B中与
ai(i=1,2,3)组合的元素均有4个,故共有3×4=12(个)元素. 答案 (1){1,2} {2} [ 点评 ] (2)12

正确理解新定义是解题关键, (1) 问易出现 B = {1 ,

2},A={2}的错误.
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?突破集合中元素的互异性易错易误问题 【示例】 设集合A={1,3,x},B={1,x2-x+1},求A∪B. 解 由集合A中元素的互异性知x≠1且x≠3,由集合B中元素 的互异性知x≠0且x≠1,则:若x2-x+1=3,即x=-1或x

= 2 ,则 A∪B = {1 , 3 , x} ;若x2 -x + 1= x ,即 x = 1,与集
合中元素的互异性矛盾.综上,当x=-1时,A∪B={1,3, - 1} ;当 x = 2 时, A ∪ B = {1 , 3 , 2} ;当 x≠- 1 且 x≠2 且 x≠1且x≠3且x≠0时,A∪B={1,3,x,x2-x+1}.

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[易错防范]

本题不能简单地认为 A∪B={1,3,x,x2-x+1},

当集合中元素含有参数时,应根据集合中元素的互异性,对参数

的取值范围进行讨论.
[指点迷津] 集合中元素的互异性对解题的影响 集合中元素的三个特征中互异性对解题的影响最大,特别是类似 示例这种带有参数的集合,实际上就隐含着对参数的一些要求.第 一,要学会利用集合中元素的互异性提取已知条件所隐含的参数

取值范围或集合元素特征,第二要注意利用集合中元素的互异性
进行分类讨论并检验.

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