山西省忻州一中临汾一中长治二中康杰中学2016届高三数学下学期第四次联考试题(A卷)文(新)

2016 届高三年级第四次四校联考 数学(文)试题
满分 150 分,考试时间为 120 分钟 一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? ? x A. (2, ??)
2 ? y2 ? x ? ?1 4 ? ? 9

? ,B ? ? x

y ? lg( x ? 3)

? ,则 A ? CU B =

B. (3, ??)

C. (2,3]

D. (??, ?3] ? ?3?

x2 y2 2. 椭圆 ,则 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2 ,点 P 是椭圆上任意一点(非左右顶点) 9 5

?PF1 F2 的周长为
A.6 B.8 C.10 D.12

3. 在复平面内与复数 z ? A. 1 ? i 4. 已知 sin 2? ?

2i 所对应的点关于实轴对称的点为 A ,则 A 对应的复数为 1? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) = 3 4
B.

A.

1 6

1 3

C.

1 2

D.

2 3

5. 函数 y ?

x ln x 的图象大致是 x

A.

B.

C.

D

6. 执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值等于

1

A.

1 2
2017

B.

1 2
2016

C.

1 2
2015

D.

1 2
2014

7. 已知 sin ? ?

3 ?? ? , 且 ? ? ? ,? ? , 函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0) 的图像的相邻两条 5 ?2 ? ? ,则 2 4 5

对称轴之间的距离等于 A. ?

??? f ? ? 的值为 ?4?
C.

3 5

B. ?

3 5

D.

4 5
2

8. 某几何体的三视图如图,该几何体表面积为 92 cm ,则 h 值 为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

?x ? y ? 2 ? 1 ? 9. 已知 O 是坐标原点,点 M 坐标为 (2,1) ,点 N ( x, y) 是平面区域 ? x ? 上的一个 2 ? ? ?y ? x
动点,则 OM ? ON 的最小值为

7 2 ??? ? ??? ? ? 10. 已知菱形 ABCD 边长为 2, ?B ? ,点 P 满足 AP ? ? AB , ? ? R .若 3 ??? ? ??? ? BD ? CP ? ?3 ,则 ? 的值为
A .3 B.2 C. D. A.

3 2

1 2

B. ?

1 2

C.

1 3

D. ?

1 3

x2 y 2 11. 已知双曲线 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若 E 上存在点 a b
a2 2? P 使 ?F1F2 P 为等腰三角形,且其顶角为 ,则 2 的值是 3 b
A.

4 3

B.

2 3 3

C.

3 4

D.

3 2
2

12. 直线 y=a 分别与曲线 y =2(x+1),y=x+ln x 交于 A,B,则|AB|的最小值为 3 2 C. 4 二、填空题(4×5=20 分, 把答案填在答题纸的相应位置上) A.3 B.2 13. 在 ?ABC 中, A ? 450 , C ? 1050 , BC ? D. 3 2

2 则 AC =





14. M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在圆周上等可能任取一点 N ,连接 MN ,则弦

MN 的长度超过 3R 的概率是





0 15. 三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 4 , ?PBA ? ?PCA ? 90 , ?ABC 是边长为 2 的等边

三角形,则三棱锥 P ? ABC 的外接球球心到平面 ABC 的距离是





16.

函 数

? l o2 xg ? x , ?0 ? f ? x? ? ? ? ? ? ?x? ? sin ? 4 x ? , 2 ? ? ?

2 1 0
, 若 存 在 实 数 x1 , x2 , x3 , x4

( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 满足 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则

x3 ? x 4 的取值范围是 x1 ? x 2



.

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把 解答写在答卷纸的相应位置上) 17.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 满足: a1 ?

1 1 , a1 , a 2 , a3 ? 成等差数列,公比 q ? (0,1) 2 8

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 18. (本小题满分 12 分) 某研究性学习小组对 4 月份昼夜温差大小与花卉种子发芽多少之间的关系研究, 记录了 4 月 1 日至 4 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天 100 颗种子浸泡后的发芽数,如下表: 日 期 温差 x (°C) 4月1日 10 4月2日 11 4月3日 13 4月4日 12 4月5日 8
3

发芽数 y (颗)

23

25

30

26

16

? ?a ?; (Ⅰ) 请根据上表中 4 月 2 日至 4 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ? y ? bx
若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为得 到的线性回归方程是可靠的,请用 4 月 1 日和 4 月 5 日数据检验你所得的线性回归方程 是否可靠? (Ⅱ)从 4 月 1 日至 4 月 5 日中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m, n ,求事件“m ,n 均 不小于 25”的概率.

? ?a ? ,其中 b ?? ? ? bx (参考公式:回归直线的方程是 y

? x y ?n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

? ? y ? bx ) ,a

2

i

? nx 2

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC, AC⊥BC, M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形. (Ⅰ)求证:平面 ABC⊥平面 APC; (Ⅱ)若 BC=1,AB=4,求三棱锥 D—PCM 的体积. 20. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过 M (3,?3), N (?2,2). 两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 . (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l // MN ,且 l 与圆 C 交于点 A,B,且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,求 直线 l 的方程. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

1? a 2 x ? ax ? ln x(a ? R ). 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若对任意 a ? (3, 4) 及任意 x1 , x2 ? [1, 2] , 恒有

(a 2 ? 1) m ? ln 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 2
4

立,求实数 m 的取值范围.

5

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的两条中线 AD 和 BE 相交于点 G,且 D,C,E,G 四点共圆. (Ⅰ)求证: ?BAD ? ?ACG ; (Ⅱ)若 GC ? 1 ,求 AB . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? , (其中 ? 为参数), ? y ? sin ?

以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为

?? ? ? sin?? ? ? ? 2 .
? 4?
(Ⅰ)求 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角; (Ⅱ)设点 P(0,2), l 和 C 交于 A,B 两点,求 PA ? PB .

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?2a. (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?6 ? x ? 4},求实数 a 的值; (Ⅱ)在(I)的条件下,若不等式 f ( x) ? (k ?1) x ? 5 的解集非空,求实数 k 的取值范围.
2

2 01 6 届 高 三 年 级 第 四 次 四 校 联 考 数学(文 A 卷)答案 一、选择题 DCBAB CBACA BD

二、填空题 13. 1 14.

1 3

15.

2 6 3

16. (20,32)
6

三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)设等比数列 ?a n ?公比为 q , a1 ?

1 2

1 1 ? a1 , a2 , a3 ? 成等差数列,? 2a2 ? a1 ? a3 ? ,---------------2 分 8 8 1 3 即得 4q 2 ? 8q ? 3 ? 0 ,解得 q ? 或 q ? , ------------------4 分 2 2
1 1 ?1? 又? q ? (0,1) ,? q ? ,? an ? ? ? ? 2 2 ?2? n (Ⅱ)根据题意得 bn ? nan = n , 2
n ?1

?

1 ----------------6 分 2n

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ??? ? n , ① 2 2 2 2 1 1 2 3 n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 , ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 1 n 作差得 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ? n ?1 = 2 ? (2 ? n)( ) ---------------10 分 2 2 2 2 2 2 2 1 ---------------------12 分 S n = 2 ? (n ? 2)( ) n 2 Sn ?
18. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) x ?
3

1 1 (11 ? 13 ? 12) ? 12 , y ? (25 ? 30 ? 26) ? 27 , 3x y ? 972 . 3 3
3 i ?1

? X iYi ? 11? 25 ? 13 ? 30 ? 12 ? 26 ? 977 , ? X i2 ? 112 ? 132 ? 122 ? 434 ,
i ?1

3x ? 432 .
?? 由公式,求得 b

2

? x y ? n? x ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

?

2

i

? nx 2

977 ? 972 5 , a ? ? y ? bx ? 27 ? 5 ? 12 ? ?3 . ? 2 434 ? 432 2

?? 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y

5 x ? 3 .--------------------------------5 分 2

5 ? ? ? 10 ? 3 ? 22 ,|22-23|<2; 当 x=10 时, y 2 5 ? ? ? 8 ? 3 ? 17 ,|17-16|<2. 当 x=8 时, y 2
7

所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的. -------------------------------7 分 (Ⅱ)m, n 的所有取值情况有: (23,25), (23,30), (23,26), (23,16), (25,30), (25,26), (25,16),(30,26),(30,16),(26,16),即基本事件总数为 10. 设“m , n 均不小于 25”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件为(25,30), (25,26), (30,26). 所以 P ( A) ?

3 3 ,故事件 A 的概率为 .------------------------------------12 分 10 10

19. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)? ?PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点? MD ? PB ,? AP ? PB 又? AP ? PC, PB ? PC ? P ? AP ? 面PBC -------------------------3 分

? BC ? 面PBC

? AP ? BC

又? BC ? AC, AC ? AP ? A ? BC ? 面APC

? BC ? 面ABC ? 平面 ABC⊥平面 APC -------------------------6 分
( Ⅱ ) 由 (1) 题 意 可 知 ,

AP ? 面PBC , PA ? 2 3,? MD ? 3 ,-------------------------8 分

S ?PCD ?

1 1 3 -------------------------10 分 ? ( ?1? 3) ? 2 2 4

? VD? PCM ? VM ? PCD ? ? 3 ?
20. (本小题满分 12 分)

1 3

3 1 ? -------12 分 4 4

解析: (Ⅰ)线段 MN 的垂直平分线的方程是 y+

1 1 =x- 即 y=x-1 2 2
8

? 所以圆心 C(a,a-1)

-------------------------------3 分

又由在 y 轴上截得的线段长为 4 3 知(a-3) +(a +2) =12+a 得:a=1 故圆 C 的方程为(x-1) +y =13 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=-x+m A(x1,m-x1),B(x2,m-x2) ?
2 2 2 2 2

-----------------------6 分

? y ? ? x ? m,
2

得 2x 2 - ?2 ? 2m?x ? m 2 ? 12 ? 0. ?? x ? 1? ? y ? 13

? ? 0 ? m 2 ? 2m ? 25 ? 0
∴x1+x2=1+m,x1x2=
m 2 ? 12 ----------------------------8 分 2

则由题意可知 OA⊥OB,即 kOA?kOB=-1 ∴

(m ? x1 ) (m ? x2 ) ? ? ?1 x1 x2
或 m=-3 经

即 m -m?(1+m)+m -12=0 验 证 符 合

2

2

∴m=4

??0

∴y=-x+4



y=-x-3------------------------------12 分 21. (本小题满分 12 分) 解析: (1) 函数的定义域为 (0, ??) .当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x, f ' ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? ,当 x x

0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0; f ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0. f ( x) 单调递增
? f ( x)极小值 =f (1) ? 1
'



无极大值.
1

(1 ? a ) x 2 ? ax ? 1 (1 ? a)( x ? a ? 1)( x ? 1) 1 ? (2) f ( x) ? (1 ? a ) x ? a ? ? x x x
当 a ? (3, 4) 时, f ( x) 在 (1, ??) 单调递减, f ( x) 在 [1, 2] 上单减,

f (1) 是 最 大 值 , f (2) 是 最 小 值 . ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (2) ?
?

a 3 ? ? ln 2 2 2

(a 2 ? 1) a 3 a ?3 m ? ln 2 ? ? ? ln 2 ,而 a ? 0 经整理得 m ? 2 , 2 2 2 a ?1 a ?3 1 1 由3 ? a ? 4得0 ? 2 ? ,所以 m ? . a ? 1 15 15
9

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做, 则按所做第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解析: (Ⅰ)连结 DE ,因为 D, C , E , G 四点共圆,则 ?ADE ? ?ACG . 又因为 AD, BE 为△ ABC 的两条中线, 所以 D, E 分别是 BC , AC 的中点,故 DE ∥ AB .--------------3 分 所以 ?BAD ? ?ADE ,从而 ?BAD ? ?ACG .-------------5 分 (Ⅱ)因为 G 为 AD 与 BE 的交点, 故 G 为△ ABC 的重心,延长 CG 交 AB 于 F ,则 F 为 AB 的中点,且 CG ? 2GF . 在△ AFC 与△ GFA 中,因为 ?FAG ? ?FCA , ?AFG ? ?CFA , 所以△ AFG ∽△ CFA ,------------------------------7 分 所以
FA FG ,即 FA2 ? FG ? FC . ? FC FA 1 1 3 1 3 AB , FG ? GC , FC ? GC ,所以 AB2 ? GC 2 ,即 AB ? 3GC , 2 2 2 4 4

因为 FA ?

又 GC ? 1 ,所以 AB ? 3 .----------------------------10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解析: (Ⅰ)由 ?

? x ? 3cos ? , x2 消去参数 ? ,得 ? y 2 ? 1, 9 ? y ? sin ?
x2 ? y 2 ? 1.--------------------------------2 分 9

即 C 的普通方程为 由 ? sin ? ? ? 将?

? ?

?? (*) ? ? 2 ,得 ? sin ? ? ? cos ? ? 2 , 4?

? x ? ? cos ? , 代入(*) ,化简得 y ? x ? 2 , ? y ? ? sin ?
? .----------------------------------5 分 4

所以直线 l 的倾斜角为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点 P ? 0,2? 在直线 l 上,

10

? 2 t, ?x ? x2 ? 2 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,代入 ? y 2 ? 1并化简, 9 ?y ? 2 ? 2 t ? ? 2
得 5t ? 18 2t ? 27 ? 0 .-------------------8 分
2

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 , 则 t1 ? t2 ? ?

18 27 2 ? 0, t1t2 ? ? 0 ,所以 t1 ? 0, t2 ? 0, 5 5 18 2 .-------------------------10 分 5

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? ? ? t1 ? t2 ? ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解析: (Ⅰ) 2x - a ? 6 ? 2a,? 2a ? 6 ? 2x ? a ? 6 ? 2a,

3 3 ? a ? 3 ? x ? 3 ? a ---------------------------------------------------3 分 2 2 3 a ? 3 ? ?6, a ? ?2 --------------------------------------------------------5 2
分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 2x ? 2 ? 1 ? (k ? 1) x
2

?2 x ? 3, x ? ?1 g ( x) ? 2 x ? 2 ? 1 ? ? , g ( x) 的图像如图: ?? 2 x ? 1, x ? ?1
要使解集非空, k 2 ? 1 ? 2, 或 k 2 ? 1 ? ?1,

? k k ? 3或k ? - 3或k ? 0? -----------------------------------------5 分

?

11

1 ?? 8. 已知 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ? ? ? ? 0,| ? |? ? ,满足 f ( x) ? ? f ( x ? ? ) , f (0) ? 2 ,则 2? ? ? ? ? 上的最大值与最小值之和为 g ( x) ? 2 cos(?x ? ? ) 在区间 0, ? ? 2? ?
A.

3 ?1

B. 3 ? 2

C. 2 3 ? 1

D. 2

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 E:

x2 y2 ? 3? ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 过点 ?1, ? ,左右焦点为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , 2 a b ? 2?
7 | F1 F2 | . 2

上顶点为 B ,且 | AB |?

(1)求椭圆 E 的方程; (2) 直线 l : y ? ? x ? m 与椭圆 E 交于 C 、D 两点, 与以 F1 、F2 为直径的圆交于 M 、

7 | CD | 36 ,求 m 的值. ? | MN | 7 1 9 ? 3? ? 1 ,① ???1 分 (1)? 椭圆 E 过点 ?1, ? ? 将该点代入椭圆方程得 2 ? a 4b 2 ? 2? 7 7 | F1 F2 | ,? a 2 ? b 2 ? 由已知 | AB |? ? 2c ,即 a 2 ? b2 ? 7c 2 ② 2 2 ? a?2 2 2 2 又? c ? a ? b ③,将①②③联立得 ? , ???3 分 ?b ? 3
N 两点,且

? 椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 ???5 分 4 3 2 2 (2)根据题意,以 F1 、 F2 为直径的圆方程为 x ? y ? 1 ,所以圆心 (0,0) 到直线 l 的
距离为 d ? ???7 分

|m| m2 ,所以 | MN | = 2 1 ? , 2 2 ? y ? ?x ? m ? 设 C ( x1 , y1 ) , D( x1 , y1 ) ,联立 ? x 2 y 2 , ? ?1 ? 3 ?4 2 2 2 化简得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ,△= 48(7 ? m ) ? 0 ,
x1 ? x2 ? 8m 4m 2 ? 12 , x1 x2 ? 7 7

???9 分 ???10 分

8m 2 4m2 ? 12 4 2 21? 3m 2 , = ? | CD |? 2 ? ( ) ? 4 ? 7 7 7

12



21? 3m2 36 m2 7 | CD | 36 得 7 ?4 2 ? , ? ? 2 1? ? 7 7 2 | MN | 7 1 1 2 整理得 m ? ,即 m ? ? , 4 2 1 1 经检验,当 m ? ? 时,△= 112(7 ? m2 ) ? 0 成立,? m ? ? . 2 2

???12 分

13


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