重庆市九校联盟2013届高三上学期期末考试 数学(文)试题 Word版含答案

九校联考高 2013 级高三上期 数学试题(文科)
命题、审题:大足区大足第一中学校数学组 本试题共分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),总分为 150 分.考试时间:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一.选择题 (每小题 5 分,共计 50 分) 1.若命题 p: ?x ? (0, ],sin x ? x ,则┑p 为( 2 A. ?x ? (0, ],sin x ? x 2

?

)

?

C. ?x ? (0, ],sin x ? x D. ?x ? (0, ],sin x ? x 2 2 ? ? ? ? ? ? 2.向量 a ? (2,1), b ? ( x, ?2) ,若 a ? b ,则 a ? b =( ) A. (3,-1) B. (-3,1) C.(-2,-1) D. (2 ,1)
)

?

B. ?x ? (0, ],sin x ? x 2

?

?

3. 设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2,3? , B ? ?2,3, 4? ,则 CU ( A ? B) ? (
A. ?2,3? B. ?1, 4,5? C. ?4,5?

D. ?1,5?

1 4. 已知 a ? ( )0.3 , b ? 0.3?2 , c ? log 1 2 ,则 a, b, c 的大小关系是( 2 2



A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c ) D.1

? y ? 1, ? 5.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? x ? y ? 2 ? 0, ?

A.4

B.3

C.2

6.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 4a1, 2a2 , a3 成等差数列.若 a1 ? 1 ,则 S 4 = ( ) A.7 B.8 C.15 D.16 )

7.已知 f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 9(a, b ? R), ,且 f (?2013) ? 7,则 f (2013) ? ( A. 11 B. 12 C. ?? D. ??

8.设 m, n 是两条不同的直线,? , ? 是两个不同的平面,下列命题正确的是( A.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? , 则m//n C.若 m ? ? , n // ? , ? // ? , 则m ? n B.若 ? ? ? , ? ? ? ? m, m ? n, 则n ? ?



D.若 m // ? , n // ? , m ? ? , n ? ? , 则? // ?
2 (sin 2 x ? cos 2 x) 的图像( 2

9.要得到函数 y =sin 2 x 的图像,可以把函数 y ?



? 个单位 8 ? C. 向右平移 个单位 4
A.向右平移

? 个单位 8 ? D. 向左平移 个单位 4
B.向左平移

10. 如果 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? c(a ? 0) 导函数图像的顶点坐标为 (1, ? 3) ,那么曲线
y ? f ( x) 上任一点的切线的倾斜角 ? 的取值范围是(



A. [

2? 5? , ] 3 6

? 5? B. [0, ] ? [ , ? ) 2 6

? 2? 5? C. [0, ) ? [ , ] 2 3 6

? 2? D. [0, ] ? [ , ? ) 2 3

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.函数 f ( x) ?
3x 2 ? lg(2 x ? 1) 的定义域是_ 1? x

____.

12. 某几何体的三视图如右图所示,它的体积为_____. 13. ?ABC 中, 在 三内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c , 且 a, c 分 别 为 等 比 数 列 {an } 的 a1、a2 , 不 等 式

? x2 ? 6 x ? 8? 0 的 解 集 为 {x a ? x ? c} , 则 数 列
{an } 的通项公式为



14.已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆 ? ? 1 的焦点相同,那 a2 b 25 9

么双曲线的渐近线方程为 15.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 4 .直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于

P E A B

A、B 两点,若|AB|=2

3,则直线 l 的方程_____

___

.

三.解答题(共 75 分)

D

C

16. (13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为边长为 4 的正方形, PA ? 平面 ABCD , E 为 PB 中点,
PB ? 4 2 .

(1)求证: PD // 面ACE . (2)求三棱锥 E ? ABC 的体积. 17. 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(? ? x) ? 2sin( (13 (1)若 x ?[0, ? ], 求 f ( x) 的值域;
3? ? x) 2

(2)若 x0 为函数 y ? f ( x) 的一个零点,求

2 cos 2

x0 ? sin x0 ? 1 2 的值.

2 sin( x0 ? ) 4

?

18. (13 分) 已知数列 {an } 是公差为正的等差数列,其前 n 项和为 S n ,点 (n, Sn ) 在抛物 线y?
3 2 1 1 1 . x ? x 上;各项都为正数的等比数列 {bn } 满足 b1b3 ? , b5 ? 2 2 16 32

(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)记 Cn ? anbn ,求数列 {Cn } 的前 n 项和 Tn .

19. (12 分)在锐角 ?ABC 中,已知内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,向 量

?? ? ?? ? B m ? (2sin( A ? C ), 3), n ? (cos 2 B, 2cos 2 ? 1) ,且向量 m // n . 2

(1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 1,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值.

20. (12 分)已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? ax ? a)e x (a ? 2, x ? R)

(1)若 a ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 在点(0, f (0) )处的切线方程; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) 的极大值为 3.若存在,求出 a 值;若不存在, 说明理由。

x2 y 2 2 21. (12 分)如图所示,椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,左焦 2 a b
( , 右焦点为 F2 1 0) ), ( , ,短轴两个端点为 A、B .与 x 轴不垂直的直线 l 点为 F1 -1 0


k 且 椭圆 C 交于不同的两点 M 、 , N 记直线 AM 、 的斜率分别为 k1 、 2 , k1k2 ? AN

3 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求证直线 l 与 y 轴相交于定点,并求出定点坐标.

(3)当弦 MN 的中点 P 落在 ?MF1 F2 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值。

2013 级九校联考数学考试(文) 参考答案
一 选择题: 1—5:CABDB 二 填空题 11. (? ,1) 6—10:CACBD 12. 30? 13. an ? 2n 14. y ? ? 3x 15. y ?

1 2

3 5 x ? 或 x ?1 4 4

三 解答题 16. (1)证明:因为 E 为 PC 的中点,连接 CD ,交 AB 于 F,连接 EF. ?四边形 ABCD 为正方形 ?F 为 CD 的中点

? EF // PD 又?PD?面 ABE,EF?面 ABE, ? PD // 面ABE . …………………………………5 分 (2)?四边形 ABCD 为正方形 ? AC ? BC 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD ? PA ? BC ? PA ? ? PA ? AC=A ? BC ? 面 PAC ? PA ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ? PA ? AC
…………………………………10 分 在 RT?PAC 中, PC ? 4 2 ,AC=4,则 PA=AC=4

P E A F D C B

? AE ? PC ? E 为 PC 的中点 1 S?AEC ? AE ? EC ? 4 2 1 16 ?V ? S?AEC ? BC= …………………………………13 分 3 3 3? ? 17. 解: f ( x) ? 2 3 sin( ? ? x) ? 2sin( ? x) ? 2 3 sin x ?2cos x ?4sin( x ? ) ……3 分 2 6 ? 令 t ? x ? ,则 y ? 4sin t 6 ? 5? ? x ? [0, ? ] ? t ? [? , ] 6 6
由三角函数的图像知 f ( x) ? [?2, 4] …………………………………………………6 分 (2)方法一:? x0 为函数 y ? f ( x) 的一个零点

? f ( x0 ) ? 4sin( x0 ? ) ? 2 3 sin x0 ? 2cos x0 ? 0 6
? tan x0 ? 3 …………………………………………………………………………8 分 3

?

?

2 cos 2

x0 1? ? sin x0 ? 1 cos x0 ? sin x0 1 ? tan x0 2 ? ? ? ? sin x0 ? cos x0 1 ? tan x0 2 sin( x0 ? ) 1? 4

3 3 ? 2 ? 3 ………………13 分 3 3

方法二:? x0 为函数 y ? f ( x) 的一个零点

? f ( x0 ) ? 4sin( x0 ? ) ? 0 6
? tan x0 ?

?

? x0 ?

?
6

? k? , k ? Z

3 …………………………………………………………………………8 分 3

?

2 cos 2

x0 1? ? sin x0 ? 1 cos x0 ? sin x0 1 ? tan x0 2 ? ? ? ? sin x0 ? cos x0 1 ? tan x0 2 sin( x0 ? ) 1? 4

3 3 ? 2 ? 3 ………………13 分 3 3

方法三:? x0 为函数 y ? f ( x) 的一个零点

? f ( x0 ) ? 4sin( x0 ? ) ? 0 6

?

? x0 ?

?
6

? k? , k ? Z ……………………………8 分

2cos 2

x0 ? sin x0 ? 1 cos x0 ? sin x0 2 ? ? sin x0 ? cos x0 2 sin( x0 ? ) 4

当 k 为偶数时,原式= 2 ? 3 当 k 为奇数时,原式= 2 ? 3 综上所述知原式= 2 ? 3 ……………………………………………………………13 分 18. 解: (1)? Sn ?

3 2 1 n ? n 2 2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ………………………………………………………………1 分

3 1 3 5 当n ? 2时,Sn?1 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? n2 ? n ? 1 2 2 2 2
? an ? Sn ? Sn ?1 ? 3n ? 1…………………………………………………………………3 分 { 是首项为 2,公差为 3 的等差数列 ?数列 an}
又?各项都为正数的等比数列 {bn } 满足 b1b3 ?

? an ? 3n ? 1 ………………4 分

1 1 , b5 ? 4 32

1 1 …………………………………………………………5 分 , b1q 4 ? 4 32 1 1 解得 b1 ? , q ? ……………………………………………………………………6 分 2 2 1 ? bn ? ( ) n ……………………………………………………………………………7 分 2 1 n (2)? Cn ? (3n ? 1 ( )…………………………………………………………8 分 ) ? 2 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? ? 5 ? ( )2 ? ... ? (3n ? 3) ? ( ) n?1 ? (3n ? 1) ? ( ) n …………①………………9 分 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 ? Tn ? 2 ? ( ) ? 5 ? ( ) ? ... ? (3n ? 3) ? ( ) ? (3n ? 1) ? ( ) n?1 ……②……………10 分 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n?1 ②-①知? Tn ? 1 ? 3[( ) ? ( ) ? ... ? ( ) ] ?(3 n ?1) ?( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( )n ?1 ] 5 1 1 1 2 ? ? 3 ? ( )n ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 …12 分 ? 1 ? 3? 4 ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 1 2 2 2 2 1? 2 3n ? 5 ?Tn ? 5 ? n ………………………………………………………………………13 分 2 ?? ? 19. 解: (1)? m // n B ? 2sin( A ? C )(2cos 2 ? 1) ? 3 cos 2 B 2 ? 2sin B cos B ? 3 cos 2 B …………………………………………………………2 分 ? b2 ? b1q ?

? sin 2 B ? 3 cos 2 B 即? tan 2 B ? 3 ,……………………………………… 4 分
又? 0 ? B ?

?
2

3 6 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2accosB 即 1 ? a ? c ? 3ac …………………7 分 a 2 ? c 2 ? 1 ? 3ac ? 2ac ,当且仅当 a ? c 时等号成立……………………………9 分 所以 (2 ? 3)ac ? 1 , 得 ac ? 2 ? 3 1 1 所以 S? ABC ? ac sin B ? (2 ? 3) ……………………………………………… 11 分 2 4 1 所以 S? ABC 的最大值为 (2 ? 3) ………………………………………………… 12 分 4
20.解:由题意知:

,所以 0 ? 2B ? ? ,则 2 B ?

?

,即 B ?

?

………………………6 分

f ' ( x) ? (2 x ? a)e x ? ( x 2 ? ax ? a)e x

? [ x2

? (a ? 2) x ? 2a]e x …………………………………………………2 分
' 2

(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? [ x

? 3x ? 2]e x ,则: f ' (0) ? 2 , f (0) ? 1 …………4 分

所以函数 y ? f ( x) 在点(0, f (0) )处的切线方程为: y ? 2 x ? 1 …………6 分 (2)令: f ( x) ? [ x
' 2

? (a ? 2) x ? 2a]e x ? 0 ,则:

x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 0 ,所以: x ? ?2或x ? ?a ………………………………7 分
1 ) 当 a ? 2 时 , f ( x) ? ( x ? 2)
' 2 x

e ? 0 , 则 函 数 在 x?R

上单调递增,故无极

值。……………………………………………………………………………………8 分 2)当 a ? 2 时

x
f ' ( x)

(??, ?2)
+

?2
0 极 大

(?2, ?a)
-

?a
0 极 小

(?a, ??)
+

f ( x)

所以: f (?2) ? 3 ,则 a ? 4 ? 3e ……………………………………………………12 分
2

21. 解: (1)由题意可知:椭圆 C 的离心率 e ?

c 2 ? ,c ?1 a 2

? b2 ? 1, a 2 ? 2
故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .…………………………………………………2 分 2

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? b ,M、N 坐标分别为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 由? 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0 ? y ? kx ? b ?
∴ x1 ? x2 ? ?

4kb 2b2 ? 2 , x1 ? x2 ? …………………………………………………4 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

∵ k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 . x1 x2
(kx1 ? 1 ? b) (kx2 ? 1 ? b) k 2 x1 ? x2 ? (1 ? b)k ( x1 ? x2 ) ? (1 ? b) 2 3 ? ? ? x1 x2 x1 ? x2 2

∴ k1 ? k2 ?

将韦达定理代入,并整理得

2k 2 (b ? 1) ? 4k 2b ? (1 ? 2k 2 )(b ? 1) ? 3 ,解得 b ? 2 . b ?1

∴直线 l 与 y 轴相交于定点(0,2)………………………………………………7 分 (3)由(2)中 (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0 ,其判别式 ? ? 0 ,
2 2 2 2 2

得k ?
2

3 .① 2

设弦 AB 的中点 P 坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

?4k 2 , y0 ? kx0 ? 2 ? ?0, 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?弦 MN 的中点 P 落在 ?MF1 F2 内(包括边界) ??
? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ? x0 ? 1
? 2k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ? 2 ? 2k ? 4k ? 1 ? 0 ?

将坐标代入,整理得 ?





? 6 6 或k ? 1 ? ?k ? 1 ? ? 2 2 ? ? k ? ?1 ? 6 或 k ? ? 1 ? 6 ? ? 2 2





















k ? 1?

6 6 或k ? -1 ? …………………………………12 分 2 2


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