2015届高三数学体艺午间小练及答案:解三角形与立体几何(16)

高三体艺午间小练:解三角形与立体几何(16)

1.在

ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B 都是锐角,a=6,b=5,

sin B ?

1 . 2

(1) 求 sin A 和 cos C 的值; (2) 设函数 f ( x) ? sin(x ? 2 A) ,求 f ( ) 的值.

?

2

2.在△ABC 中,∠BAC=90°,∠B=60°,AB=1,D 为线段 BC 的中点,E、F 为线段 AC 的三等分点(如图①).将△ABD 沿着 AD 折起到△AB′D 的位置,连结 B′C(如图②).

图①

图②
试卷第 1 页,总 2 页

(1)若平面 AB′D⊥平面 ADC,求三棱锥 B′-ADC 的体积; (2)记线段 B′C 的中点为 H,平面 B′ED 与平面 HFD 的交线为 l,求证:HF∥l; (3)求证:AD⊥B′E.

试卷第 2 页,总 2 页

参考答案 1.(1) sin A ? 【解析】 试题分析: (1)在三角形 ABC 中,可以利用 A,B 角的正弦定理把 A 角的正弦值求出来,因为 A,B 角都是锐 角,所以利用正余弦之间的关系可以求出 A,B 角的余弦值,再根据三角形的三个内角和为 ? , 可得 C ? ? ? A ? B ,则利用诱导公式和余弦的和差角公式即可利用 A,B 角的正余弦值来表 示角 C 的余弦值.进而求的角 c 的余弦值. (2) 把 f ?

3 3? 4 3 , cos C ? 5 10

(2) f ?

?? ? 7 ?? ? 2 ? 25

?? ? ? 带 入 函 数 f ? x? 的 解 析 式 , 利 用 诱 导 公 式 ( 奇 变 偶 不 变 , 符 号 看 象 限 ) 可 得 ?2?

?? ? f ? ? ? co s 2 A , 利用余弦值的二倍角公式可以利用角 A 的正弦值或者余弦值来求的 ?2? ?? ? cos 2 A ,进而得到 f ? ? 的值. ?2?
试题解析:

a b a sin B 3 ? ? . ,得 sin A ? (3 分) sin A sin B b 5 4 2 ∵A、B 是锐角,∴ cos A ? 1 ? sin A ? , (4 分) 5
(1)由正弦定理

cos B ? 1 ? sin 2 B ?

3 , 2

(5 分) (6 分)

由 C ? ? ? ( A ? B) ,得 cos C ? cos[? ? ( A ? B)] ? ? cos( A ? B)

? ? cos A cos B ? sin A sin B

(7 分) (8 分)

4 3 3 1 3?4 3 ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10
(2)由(1)知 cos A ?

4 , 5
3

∴f?

?? ? ?? ? 2 ? ? sin ? ? 2 A ? ? cos 2 A ? 2cos A ? 1 2 2 ? ? ? ?
2

(11 分)

7 ?4? ? 2 ? ? ? ?1 ? 25 ?5?

(12 分)

考点:正余弦值的关系 正余弦值的和差角公式 诱导公式 余弦倍角公式 2. (1) (2)见解析(3)见解析 【解析】(1)解:在直角△ABC 中,D 为 BC 的中点,所以 AD=BD=CD.又∠B=60°,所以 △ABD 是等边三角形.取 AD 中点 O,连结 B′O,所以 B′O⊥AD.因为平面 AB′D⊥平面 ADC, 平面 AB′D∩平面 ADC=AD,B′O ? 平面 AB′D,所以 B′O⊥平面 ADC.在△ABC 中,∠BAC= 90°,∠B=60°,AB=1,D 为 BC 的中点,所以 AC= 3 ,B′O=

1 8

1 1 3 .所以 S△ADC= × × 2 2 2

1× 3 =

1 1 3 .所以三棱锥 B′ADC 的体积为 V= ×S△ADC×B′O= . 3 8 4
B′

(2)证明: 因为 H 为 B′C 的中点, F 为 CE 的中点, 所以 HF∥B′E.又 HF∥平面 B′ED, E?

平面 B′ED,所以 HF∥平面 B′ED.因为 HF ? 平面 HFD,平面 B′ED∩平面 HFD=l,所

以 HF∥l. (3)证明:连结 EO,由(1)知,B′O⊥AD. 因为 AE=

1 3 ,AO= ,∠DAC=30°, 2 3
AE 2+AO 2-2 AE ? AOcos30?= 3 . 6

所以 EO=

所以 AO2+EO2=AE2.所以 AD⊥EO. 又 B′O ? 平面 B′EO,EO ? 平面 B′EO,B′O∩EO=O, 所以 AD⊥平面 B′EO. 又 B′E ? 平面 B′EO,所以 AD⊥B′E.

4

5


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