湖北省襄阳市2013届高三第一次调研考试数学(文)试题 扫描版含答案

2 013 年 1 月 襄 阳 市 高 中 调 研 统 一 测 试 高三数学(文科)参考答案及评分标准
一.选择题:BCBBB ACABC

二.填空题:11.5 14.16 三.解答题:

12.(-∞,-1]∪ [4,+∞) 15.81 16. y ? sin 2 x

13. 17.2

3 2

18.(1)解: f ( x) ? a ? b +1 ? cos 2 x ? cos(2 x ?

?
3

) ?1 ?

1 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 1 2 2

2分 3分

? cos(2 x ?
∴最小正周期为 ? 由 2k? ≤ 2x ?

?
3

) ?1

?

3

≤ 2k? ? ? ,得 k? ?

?
6

≤ x ≤ k? ?

?
3

4分 (k∈ Z) 6分

∴ 函数 f (x)的单调递减区间是 (k? ? (2)解: y ? 2 f ( x) ? k ? 2cos(2 x ? 因为 x 是三角形的内角,所以 由 2 cos(2 x ?

?
6

,? ? k

?
3

Z) ) (k∈

?
3

) ?2 ? k

?
3

? 2x ?

?
3

?

2?k k ? ?1 ? 3 3 2 2 函数 y = 2f (x) + k 恰有两个零点,即①在(0, ? )有两个根 k 1 1 k ∴ ?1 ? ?1 ? ? 或 ? ?1 ? ? 1 2 2 2 2 分 即-3 < k < 0 或-4 < k <-3 ∴实数 k 的取值范围是{ k |-3 < k < 0 或-4 < k <-3}. 分 ) ? 2 ? k ? 0 得: cos(2 x ? )??

?

?

7? 3


8分

10

12 2分 4分 6分

19.(1)解:∵{an}是公差为 2 的等差数列,∴a3 = a1 + 4,a7 = a1 + 12 又 a3 + 1 是 a1 + 1 与 a7 + 1 的等比中项 ∴(a3 + 1)2 = (a1 + 1)(a7 + 1),即(a1 + 5)2 = (a1 + 1)(a1 + 13) 解得:a1 = 3,∴an = 2n + 1

2n ? 1 ? 1 n ? n?1 n 2 2 1 2 3 n ?1 n Tn ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? n?2 ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 两式相减得: Tn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? n 2 2 2 2 2 分 2 n ? 2? n ? n 2 2 n?2 ∴ Tn ? 4 ? n?1 2 分
(2)解: bn ?

8分 10

12

20.(1)解:a、b 构成的基本事件(a,b)有(62,67),(62,65),(62,80),(62,89),(67,75), (67,80),(67,89),(75,80),(75,89)共有 10 个 2分 其中“a、b 均小于 80 分钟”的有(62,67),(62,75),(67,75)共 3 个 3分

∴事件“a、b 均小于 80 分钟”的概率为 (2)解: x ?

3 10

4分 5分 6分 8分 9分 10

1 (20 ? 30 ? 40) ? 30 3

1 (67 ? 75 ? 80) ? 74 3 ? (20 ? 30) ? (67 ? 74) ? (30 ? 30) ? (75 ? 74) ? (40 ? 30) ? (80 ? 74) ? 13 b? 20 (20 ? 30) 2 ? (30 ? 30) 2 ? (40 ? 30) 2 13 ? a ? 74 ? ? 30 ? 54.5 20 13 ∴y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? y ? 54.5 20 分 y? 13 (3)解:由(2)知 y 关于 x 的线性回归方程为 ? ? y ? 54.5 20 13 当 x = 70 时, y ? ? 70 ? 54.5 20 分 ∴预测加工 70 个零件需要 100 分钟的时间. 分
21.(1)解:当 a = 1 时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x , (2 x ? 1)( x ? 1) 1 f ?( x) ? ? 2x ? 1 ? ? x x 当 0 < x < 1 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)是增函数 当 x > 1 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)是减函数 又 f (1) = 0,∴函数 f (x)只有一零点.

11 13

2分 4分 6分

1 2a2 x2 ? ax ? 1 ? 2a2 x ? a ? ? x x ∵函数 f (x)在区间(1,+∞)是减函数,∴ 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在(1,+∞)内恒成立 当 a = 1 时,-1 > 0,不成立 1 1 当 a≠0 时,由 2a2 x2 ? ax ? 1 ? (2ax ? 1)( x ? 1) = 0 得: x1 ? ? , 2 ? x 2a a 分 1 若 a > 0,则 x∈( ,+∞)时, 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 a 1 ∴ ? 1 ,即 a > 1 a 分 1 若 a < 0,则 x∈(0, ? )时, 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,在(1,+∞)内不是恒成立 2a ∴实数 a 的取值范围是(1,+∞). 分
(2)解: f ?( x) ? 22.(1)解:由于 f ( x) = x ? 4 在(1,2)上是增函数,且 F ( x) ? 数, 所以 f ( x) = x ? 4 在(1,2)上是“弱增函数”

8分 10

12

14

f ( x) 4 ? 1 ? 在(1,2)上是减函 x x
4分

g ( x) ? x ? 4 在(1,2)上不是减函数, x 所以 g ( x) ? x2 ? 4 x ? 2 在(1,2)上不是“弱增函数”
g ( x) ? x2 ? 4x 在(1,2)上是增函数,但

8分

1 b (2)解:设 h( x) ? x2 ? (sin ? ? ) x ? b ( ?、 是常数)在 (0,1] 上是“弱增函数” ,则 2 1 ① h( x) ? x2 ? (sin ? ? ) x ? b 在 (0,1] 上是增函数 2 1 ?(sin ? ? ) 1 2 ≤0 由 h( x) ? x2 ? (sin ? ? ) x ? b 在 (0,1] 上是增函数得, 2 2 分 1 ? 5? sin ? ≥ , ? ?[2k? ? , k? ? 2 ] k ?Z 2 6 6 h( x) b 1 ② F ( x) = ? x ? ? (sin ? ? ) 在 (0,1] 上是减函数 x x 2 b ≤ 0 在 (0,1] 上恒成立 x2 即 b≥x2 在 (0,1] 上恒成立,故 b≥1 ? 5? ∴b≥1 且 ? ?[2k? ? , k? ? . 2 ] k ?Z 时,h (x)在 (0,1] 上是“弱增函数” 6 6 分
∴ F ?( x) ? 1 ?

10

9分

14


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