三角函数解答题专题训练
三角函数解答题专题训练 类型 1：利用二倍角公式，和差角公式等公式进行三角函数化简，再求值、周期、最值。
复习内容:(1)诱导公式， （2）和差角公式， （3）二倍角公式， （4）辅助角公式。 注意：和差角之间的相互表示，二倍角的降次的作用，辅助角的结构特征。 化简方向: y ? A sin(?x ? ? ) ? K 或 y ? A cos( x ? ? ) ? K ； y ? A sin x ? B sin x ? C ?
2
技巧：注意化同名、化同角，切割化正、余弦。 例 1.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1( x ? R)
2
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,
? ?? 上的最大值和最小值； ? 2? ?
（Ⅱ）若 f ( x0 ) ?
6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ，求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?
2
（1）解：由 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos x ? 1 ，得
f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?
?
? ?
??
? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数，在区间 ? , ? 上为减函数，又 6? ? 6? ?6 2?
?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1
?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ，所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2，最小值 ?2? ? 2?
（Ⅱ） 解： （1） 由 可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?
? ?
??
?? 3 6 ? ? 又因为 f ( x0 ) ? ，所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 6? 5 6? 5 ?
由 x0 ? ?
? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ，得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?
从而 cos ? 2 x0 ? 所以
??
?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?
-1-
?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
练习 1.已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2
（Ⅰ）求 f ? ( ) 的值； （Ⅱ）求 f (x) 的最大值和最小值。
?
3
练习 2．设函数 f ? x ? ? cos(2 x ?
?
3
) ? sin 2 x 。
（Ⅰ）求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期； （Ⅱ） A， C 为 ?ABC 的三个内角， cos B ? 设 B， 若
1 c 1 且 求 , f ( ) ? ? ， C 为锐角， sin A 。 3 2 4
类型 2：进行向量的相关运算:向量的模，数量积，垂直的充要条件，以及简单三角函数
运算。 例 1 已知向量 a ? (cos a,sin a), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? (?1,0) （Ⅰ）求向量 b ? c 的长度的最大值； （Ⅱ）设 a ?
?
4
，且 a ? (b ? c) ，求 cos ? 的值。
解析： （1）解法 1： b ? c = (cos? ? 1,sin? ), 则.
| b ? c |2 ? (cos? ? 1)2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos? ). ? ?1 ? cos? ? 1,? 0 ?| b ? c |2 ? 4 ，即 0 ?| b ? c |? 2.
当 cos? ? ?1 时，有 | b ? c |? 2, 所以向量 b ? c 的长度的最大值为 2. 例 2．设向量 a
? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? ,4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )（1）若
a 与 b ? 2c 垂直，求（1） tan(? ? ? ) 的值；
（2）求 | b ? c | 的最大值; （3）若 tan ? tan ?
? 16 ，求证： a ∥ b .
-2-
练习1.已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos ? ) 互相垂直，其中 ? ? (0, （1）求 sin ? 和cos ? 的值； （2）若 sin(? ? ? ) ?
?
2
)．
10 ? , 0 ? ? ? ，求 cos ? 的值． 10 2
类型 3：函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?), x ? R （其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ?
定，图像的平移，最值等内容。 例 1.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R （其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
2
）解析式的确
?
2 2? ? 的交点中，相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 3 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式； （Ⅱ）当 x ? [ 解（1）由最低点为 M (
）的图象与 x 轴
2? , ?2) 得 A=2. 3 2? 2? ? T ? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ，即 T ? ? ， ? ? ? ?2 T ? 2 2 2 2? 2? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2,即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? 故 ? ? ? 2k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6
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, ] ，求 f ( x) 的值域. 12 2
? ?
又 ? ? (0,
, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? （2）? x ? [ , ], 2 x ? ? [ , ? ] 12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ，即 x ? 时， f ( x) 取得最大值 2；当 2 x ? ? 6 2 6 6 6
即x?
?
),?? ?
?
?
?
2
时， f ( x) 取得最小值-1，故 f ( x) 的值域为[-1,2]
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练习 1.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 ， | ? |?
?
2
-3-
（I）若 cos
?
4
cos, ? ? sin
?? sin ? ? 0, 求 ? 的值； 4
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 求函数 f ( x) 的解析式
? ， 3
练习 2. 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x （ ? ? 0 ）的最小正周期为 ? ， （Ⅰ）求 ? 的值； （Ⅱ）将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的
1 ，纵坐标不变，得到 2
? ?? 函数 y ? g ( x) 的图像，求函数 y ? g ( x) 在区间 ?0, ? 上的最小值. ? 16 ?
练习 3.已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? 大值 4． (1) 求 f ( x) 的最小正周期；(2) 求 f ( x) 的解析式；(3) 若 f ( （ sin ? ? ?
?
12
时取得最
2 ? 12 α + )= , 3 12 5
求 sinα．
[来源:高考资源网 KS5U.COM]
5 ） 5
参考答案 类型 1：1.
来
解： （I） f ( ) ? 2cos
?
3
2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4
2
（II） f ( x) ? 2(2cos x ? 1) ? (1 ? cos x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ?1
2
2
7 , x ? R 因为 cos x ? [?1,1] ， 3 2 7 所以，当 cos x ? ?1 时， f ( x) 取最大值 6；当 cos x ? 时， f ( x) 取最小值 ? 3 3
= 3(cos x ? ) ?
2
2 3
2.解: （1） f(x)=cos(2x+
? ? 1 ? cos 2 x 1 3 ? 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 2 2 2 3
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ? 所以
所以函数 f(x)的最大值为
（2） f ( ) =
c 2
1 3 1 ? sin C =－ , 2 2 4
3 , 2
, 3
因为 C 为锐角, 所以
所以 C ?
?
3
,
又因为在 ? ABC 中, cosB=
1 , 3
sin ? B
2 3
sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
-4-
2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? 3 2 3 2 6
类型 2.
解 ： 1 ） ∵ a 与 b 互 相 垂 直 ， 则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ， 即 s in ? 2 c o s ， 代 入 （ ? ?
2 s in2 ? ? c o s ? ? 1
得
sin ? ? ?
2 5 5 , cos? ? ? 5 5
，
又
? ? ?( 0 , ， )∴
2
sin ? ?
（ 2
2 5 5 , cos? ? . 5 5
） ∵
0 ?? ?
?
2
，
0 ?? ?
?
2
，
∴
?
?
2
? ? ?? ?
?
2
，
则
cos( ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ?
3 10 10 2 . 2
? ? ∴ cos ? ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos? cos( ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?
类型 3：1.
解法： （I）由 cos
?
4
cos ? ? sin
即 cos(
?
4
? ? ) ? 0 又 | ? |?
?
2
,?? ?
?
3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4
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4
（ Ⅱ ） 由 （ I ） 得 ，
T?
2?
f ( x) ? sin(? x ? ) 4
?
依 题 意 ，
, ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4
?
T ? 又 ? 2 3
-5-