三角函数解答题专题训练


三角函数解答题专题训练 类型 1:利用二倍角公式,和差角公式等公式进行三角函数化简,再求值、周期、最值。
复习内容:(1)诱导公式, (2)和差角公式, (3)二倍角公式, (4)辅助角公式。 注意:和差角之间的相互表示,二倍角的降次的作用,辅助角的结构特征。 化简方向: y ? A sin(?x ? ? ) ? K 或 y ? A cos( x ? ? ) ? K ; y ? A sin x ? B sin x ? C ?
2

技巧:注意化同名、化同角,切割化正、余弦。 例 1.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1( x ? R)
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0,

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

(Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?
2

(1)解:由 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos x ? 1 ,得

f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

?

? ?

??

? ?? ?? ? ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数,又 6? ? 6? ?6 2?

?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6?
为-1

?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,所以函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ?2? ? 2?

(Ⅱ) 解: (1) 由 可知 f ( x0 ) ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??

?? 3 6 ? ? 又因为 f ( x0 ) ? ,所以 sin ? 2 x0 ? ? ? 6? 5 6? 5 ?

由 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ? ? , ? ,得 2 x0 ? ? ? , ? 6 ? 3 6 ? ?4 2?
? ?

从而 cos ? 2 x0 ? 所以

??

?? 4 2? ? ? ? 1 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? 6? 6? 5 ?

-1-

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? 3? 4 3 ? ? cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin ? 6 ? 6? 6? 6 6? 6 10 ? ? ??
练习 1.已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

?

3

练习 2.设函数 f ? x ? ? cos(2 x ?

?
3

) ? sin 2 x 。

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ) A, C 为 ?ABC 的三个内角, cos B ? 设 B, 若

1 c 1 且 求 , f ( ) ? ? , C 为锐角, sin A 。 3 2 4

类型 2:进行向量的相关运算:向量的模,数量积,垂直的充要条件,以及简单三角函数
运算。 例 1 已知向量 a ? (cos a,sin a), b ? (cos ? ,sin ? ), c ? (?1,0) (Ⅰ)求向量 b ? c 的长度的最大值; (Ⅱ)设 a ?

?
4

,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。

解析: (1)解法 1: b ? c = (cos? ? 1,sin? ), 则.

| b ? c |2 ? (cos? ? 1)2 ? sin 2 ? ? 2(1 ? cos? ). ? ?1 ? cos? ? 1,? 0 ?| b ? c |2 ? 4 ,即 0 ?| b ? c |? 2.
当 cos? ? ?1 时,有 | b ? c |? 2, 所以向量 b ? c 的长度的最大值为 2. 例 2.设向量 a

? (4cos? ,sin ? ), b ? (sin ? ,4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? )(1)若

a 与 b ? 2c 垂直,求(1) tan(? ? ? ) 的值;
(2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ?

? 16 ,求证: a ∥ b .

-2-

练习1.已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos ? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

类型 3:函数 f ( x) ? A sin(?x ? ?), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ?
定,图像的平移,最值等内容。 例 1.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

2

)解析式的确

?

2 2? ? 的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 3 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [ 解(1)由最低点为 M (

)的图象与 x 轴

2? , ?2) 得 A=2. 3 2? 2? ? T ? 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得 = ,即 T ? ? , ? ? ? ?2 T ? 2 2 2 2? 2? 4? 由点 M ( , ?2) 在图像上的 2sin(2 ? ? ? ) ? ?2,即sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? 故 ? ? ? 2k? ? , k ? Z ?? ? 2 k? ? 3 2 6
21 世 纪教育 网

, ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

又 ? ? (0,

, 故f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 2 6 6 ? ? ? ? 7? (2)? x ? [ , ],      2 x ? ? [ , ? ] 12 2 6 3 6 ? ? ? ? 7? 当 2 x ? = ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x ? ? 6 2 6 6 6
即x?

?

),?? ?

?

?

?

2

时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2]

21 世 纪教育 网

练习 1.已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?
2

-3-

(I)若 cos

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于 求函数 f ( x) 的解析式

? , 3

练习 2. 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到 2

? ?? 函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ?0, ? 上的最小值. ? 16 ?
练习 3.已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? 大值 4. (1) 求 f ( x) 的最小正周期;(2) 求 f ( x) 的解析式;(3) 若 f ( ( sin ? ? ?

?
12

时取得最

2 ? 12 α + )= , 3 12 5

求 sinα.

[来源:高考资源网 KS5U.COM]

5 ) 5

参考答案 类型 1:1.



解: (I) f ( ) ? 2cos

?

3

2? ? ? 3 9 ? sin 2 ? 4cos ? ?1 ? ? ? 3 3 3 4 4
2

(II) f ( x) ? 2(2cos x ? 1) ? (1 ? cos x) ? 4cos x = 3cos x ? 4cos x ?1
2

2

7 , x ? R 因为 cos x ? [?1,1] , 3 2 7 所以,当 cos x ? ?1 时, f ( x) 取最大值 6;当 cos x ? 时, f ( x) 取最小值 ? 3 3
= 3(cos x ? ) ?
2

2 3

2.解: (1) f(x)=cos(2x+

? ? 1 ? cos 2 x 1 3 ? 2 ? ? sin 2 x )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 2 2 2 3
1? 3 ,最小正周期 ? . 2
所以 sin C ? 所以

所以函数 f(x)的最大值为

(2) f ( ) =

c 2

1 3 1 ? sin C =- , 2 2 4

3 , 2
, 3

因为 C 为锐角, 所以

所以 C ?

?
3

,

又因为在 ? ABC 中, cosB=

1 , 3

sin ? B

2 3

sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ?
-4-

2 1 1 3 2 2? 3 2? ? ? ? 3 2 3 2 6

类型 2.
解 : 1 ) ∵ a 与 b 互 相 垂 直 , 则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 , 即 s in ? 2 c o s , 代 入 ( ? ?
2 s in2 ? ? c o s ? ? 1



sin ? ? ?

2 5 5 , cos? ? ? 5 5





? ? ?( 0 , , )∴
2

sin ? ?
( 2

2 5 5 , cos? ? . 5 5
) ∵

0 ?? ?

?
2



0 ?? ?

?
2





?

?
2

? ? ?? ?

?
2





cos( ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ?

3 10 10 2 . 2

? ? ∴ cos ? ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos? cos( ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

类型 3:1.

解法: (I)由 cos

?
4

cos ? ? sin

即 cos(

?
4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?
2

,?? ?

?

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4
21 世纪 教育网

4

( Ⅱ ) 由 ( I ) 得 ,

T?

2?

f ( x) ? sin(? x ? ) 4

?

依 题 意 ,

, ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4

?

T ? 又 ? 2 3

-5-


相关文档

学生---三角函数解答题--专题训练
教师---三角函数解答题---专题训练
2011高考数学解答题专题训练之三角函数
全国名校真题模拟专题训练4-三角函数解答题(数学)
2014年中考专题训练之三角函数题(解答题)
高三一轮复习解答题专题训练(1)(三角函数—有详细答案)
3.三角函数与解三角形解答题专题训练
全 国名校高 考专题训练4-三角函数解答题(数学)
2009届全国名校真题模拟专题训练4-三角函数解答题(数学)
全国名校高考数学专题训练04三角函数(解答题)
电脑版