北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)-Word版含解析

北京市西城区 2016-2017 学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解 析版) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合要求的. 1.双曲线 的一个焦点坐标为( ) A. B. C.(2,0) D.(0,2) 2.已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 3.设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是( ) A.若 α∥β,l∥α,则 l? β B.若 α∥β,l⊥α,则 l⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l? β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 4.设 m∈R,命题“若 m≥0,则方程 x2=m 有实根”的逆否命题是( ) A.若方程 x2=m 有实根,则 m≥0 B.若方程 x2=m 有实根,则 m<0 C.若方程 x2=m 没有实根,则 m≥0D.若方程 x2=m 没有实根,则 m<0 5.已知 α,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则“α⊥β”是“m ⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知双曲线的焦点在 x 轴上,焦距为 2 ,且双曲线的一条渐近线与直线 x ﹣2y+1=0 平行,则双曲线的标准方程为( ) A. ﹣y2=1 B.x2﹣ =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 7.已知两点 A(3,0),B(0,4),动点 P(x,y)在线段 AB 上运动,则 xy 的最大值为( ) A. B. C.3 D.4 8.用一个平面截正方体和正四面体,给出下列结论: ①正方体的截面不可能是直角三角形; ②正四面体的截面不可能是直角三角形; ③正方体的截面可能是直角梯形; ④若正四面体的截面是梯形,则一定是等腰梯形. 其中,所有正确结论的序号是( ) A.②③ B.①②④ C.①③ D.①④ 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是 . 10.已知点 M(0,﹣1),N(2,3).如果直线 MN 垂直于直线 ax+2y﹣3=0, 那么 a 等于 . 11.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,异面直线 AD,BD1 所成角的余弦值为 . 12.一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示,则该三棱柱的侧视图的面积 为. 13.设 O 为坐标原点,抛物线 y2=4x 的焦点为 F,P 为抛物线上一点.若|PF|=3, 则△OPF 的面积为 . 14.学完解析几何和立体几何后,某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的 一部分曲线围绕其对称轴旋转而成,他很想知道抛物线的方程,决定把抛物线的 顶点确定为原点,对称轴确定为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,但是他 无法确定碗底中心到原点的距离,请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的 计算,帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是 (所有测量数据用小 写英文字母表示),算出的抛物线标准方程为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15.(13 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面是正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E 是 PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC∥平面 BDE; (Ⅱ)证明:BD⊥CE. 16.(13 分)如图,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,AB=PA=2BC=2,M 为 PB 的中点. (Ⅰ)求证:AM⊥平面 PBC; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值. 17.(13 分)已知直线 l 过坐标原点 O,圆 C 的方程为 x2+y2﹣6y+4=0. (Ⅰ)当直线 l 的斜率为 时,求 l 与圆 C 相交所得的弦长; (Ⅱ)设直线 l 与圆 C 交于两点 A,B,且 A 为 OB 的中点,求直线 l 的方程. 18.(13 分)已知 F1 为椭圆 + =1 的左焦点,过 F1 的直线 l 与椭圆交于两点 P,Q. (Ⅰ)若直线 l 的倾斜角为 45°,求|PQ|; (Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k(k≠0),点 P 关于原点的对称点为 P′,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q′,P′Q′所在直线的斜率为 k′.若|k′|=2,求 k 的值. 19.(14 分)如图,四棱锥 E﹣ABCD 中,平面 EAD⊥平面 ABCD,DC∥AB,BC ⊥CD,EA⊥ED,且 AB=4,BC=CD=EA=ED=2. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ADE; (Ⅱ)求 BE 和平面 CDE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在线段 CE 上是否存在一点 F 使得平面 BDF⊥平面 CDE,请说明理由. 20.(14 分)如图,过原点 O 引两条直线 l1,l2 与抛物线 W1:y2=2px 和 W2:y2=4px (其中 P 为常数,p>0)分别交于四个点 A1,B1,A2,B2. (Ⅰ)求抛物线 W1,W2 准线间的距离; (Ⅱ)证明:A1B1∥A2B2; (Ⅲ)若 l1⊥l2,求梯形 A1A2B2B1 面积的最小值. 2016-2017 学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(理 科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合要求的. 1.双曲线 的一个焦点坐标为( ) A. B. C.(2,0) D.(0,2) 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的方程和性质即可得到结论. 【解答】解:由双曲线 得 a2=3,b2=1, 则 c2=a2+b2=4, 则 c=2, 故双曲线 的一个焦点坐标为(2,0), 故选:C 【点评】本题主要考查双曲线的性质和方程,根据 a,b,c 之间的关系是解决本 题的关键. 2.已知椭圆的短轴长是焦距的 2 倍,则椭圆的离心

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