2017-2018学年高中数学苏教版选修2-2课件:第2章 2.1 2.1.1 第二课时 类比推理_图文

2.1 2.1.1 第二 课时 类比 推理 理解教材 新知 把握热点 考向 应用创新 演练 考点一 考点二 考点三 第 2 章 合情 推理 与演 绎推 理 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合 情 推 理 第二课时 类比推理 为了回答“火星上是否有生命”这个问题, 科学家们把火 星与地球作为类比, 发现火星具有一些与地球类似的特征, 如 火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星,也有大气层,在一 年中也有季节的变更, 而且火星上大部分时间的温度适合地球 上某些已知生物的生存,等等.由此,科学家猜想:火星上也 可能有生命存在. 问题:科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的? 提示:在提出上述猜想的过程中,科学家对比了火星 与地球之间的某些相似特征, 然后从地球的一个已知特征 (有生命存在)出发,猜测火星也可能具有这个特征. 1.类比推理 根据 两个 ( 或两类 )对象之间在某些方面的 相似 或相同, 推演出它们在其他方面也 相似 或 相同 ,像这样的推理通常称 为类比推理,简称类比法.其思维过程为: 观察、比较 → 联想 、 类推 → 猜测新的结论 2.合情推理 合情推理是根据 已有的事实 、 正确的结论 、 实验和实 践结果 ,以及个人的 经验 等推测某些结果的推理过程.归纳 推理 和 类比推理 都是数学活动中常用的合情推理. 类比推理的特点主要体现在以下几个方面: (1)类比推理是从特殊到特殊的推理. (2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征, 推测正在 被研究中的事物的特征.所以,类比推理的结果具有猜测性, 不一定可靠. (3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清 楚定义的类似特征.所以,进行类比推理的关键是明确地指出 两类对象在某些方面的类似特征. 类比推理在数列中的应用 [例 1] 在等差数列{an}中, 若 a10=0, 则有等式 a1+a2+… +an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质, 相应地, 在等比数列{bn}中, 若 b9=1, 则有什么样的等式成立? [思路点拨] 在等差数列与等比数列的类比中,等差数列 中的和类比等比数列中的积,差类比商,积类比幂. [精解详析] 在等差数列{an}中,a10=0, ∴a1+a2+…+an+…+a19=0, 即 a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1. 又由 a10=0,得 a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n =an+1+a19-n=2a10=0, ∴a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1, ∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n, 若 a9=0,同理可得 a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n, 相应的,在等比数列{bn}中,若 b9=1, 则可得 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*). [一点通] 类比推理的一般模式为:A 类事物具有性 质 a,b,c,d,B 类事物具有性质 a′,b′,c′,d′(a, b,c 分别与 a′,b′,c′相似或相同),所以 B 类事物 可能具有性质 d′(d 与 d′相似或相同). 1 . 若 数 列 {an}(n ∈ N*) 是 等 差 数 列 , 则 有 数 列 bn = a1+a2+a3+…+an * ( n ∈ N )也是等差数列. n 类比上述性质,相应地: 若数列 {cn}(n ∈ N*)是等比数列,且 cn>0 ,则数列 dn= ________(n∈N*)也是等比数列 答案: c1· c2· c3· …· cn n 2. 已知命题: 若数列{an}为等差数列, 且 am=a, an=b(m≠n, bn-am m,n∈N ),则 am+n= .现已知等比数列{bn}(bn>0, n-m * n∈N*),且 bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈N*),类比上述 结论,求 bm+n. 解:等差数列通项 an 与项数 n 是一次函数关系,等比数列 通项 bn 与项数 n 是指数型函数关系.利用类比可得 bm+n n-m ? bn ? 1 =?am? n? m = ? ? bn am. 类比推理在几何中的应用 [例 2] 如图, 在三棱锥 S-ABC 中, SA ⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC,且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3,三 侧面△SBC,△SAC,△SAB 的面积分别为 S1, S2, S3,类比三角形中的正弦定理,给 出空间情形的一个猜想. [思路点拨] 在△DEF 中, 有三条边, 三个角, 与△DEF 相对应的是四面体 S-ABC,与三角形三条边长对应的是四 面体三个侧面的面积,三角形三个角对应的是 SA,SB,SC 与底面 ABC 所成的三个线面角 α1,α2,α3.在平面几何中三 角形的有关性质,我们可以用类比的方法,推广到四面体、 三棱柱等几何体中. [精解详析] d e 在△DEF 中, 由正弦定理, 得 = sin D sin E f = .于是, 类比三角形中的正弦定理, 在四面体 S-ABC sin F S1 S2 S3 中,我们猜想 = = 成立. sin α1 sin α2 sin α3 [ 一点通 ] (1) 类比推理的基本原则是根据当前问题的 需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置 关系、度量等方面入手.由平面中相关结论可以类比得到空 间中的相关结论. (2)平面图形与空间图形类比 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体 3.在平面中△ABC 的角 C 的内角平分线 CE 分△ABC 面 S△AEC AC 积所成的比 = ,将这个结论类比到空间:在三 S△BEC BC 棱锥 A-BCD 中,平面 DEC 平分二面

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