四点共圆的妙用

四点共圆的妙用
襄阳市三十三中 刘敏

关键词:四点共圆、相似、图形变换、转化思想 接要:在人教版教材的旧教材中有一个定理,即四点共圆的定理,在新教材 中由于圆的内容删了不少,这个定理也没有再出现。 但在直角三角形的图形变换中时常可以看到,当我们 证明了四点共圆时,很多知识在后面的证明中会简化 很多,而我们利用圆中 90°的圆周角对的弦是直径及 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这两个定理 就很容易证明四点共圆。所以我们有很多题目的证明 都可以走这样一条路。 在这些年来不断进行的教改中,人教版的数学教材也有了不少变化,特别是 圆中的大量定理被删除, 降低了初中阶段数学学习的难度,而保留的一些题目都 是可以用三角形的相关知识解决的。然而,很多时候,我们可以发现我们仍然可 以借用圆的相关知识使证明简化。 下面我们看这样一个模板: 如图: RT△ABC 和 RT△DBC 中,∠BAC=90°,∠BCD=90°。 求证:A、B、C、D 四点共圆 证明:取 BC 中点 O,连接 AO、DO ∵∠BAC=90°,∠BCD=90° ∴AO=BO=CO=DO ∴A、B、C、D 四点在以 O 为圆心,以 OB 为半径的 圆上。 有了这个结论, 有很多的结论可以直接引申得到,我们看下面的一些习题变 式: 一.由直角三角形到等腰三角形的转化 如图:RT△ABC 和 RT△DBC 中,∠BAC=90°,∠BCD=90°。点 O、M 分别为 BC、AD 的中点。 求证:OM⊥AD 证明①由上面的 AO=OD ∵点 M 为 AD 的中点 ∴OM⊥AD 证明②由上面的四点共圆 ∴OM⊥AD 那么这里的一种方法是用等腰三角形的三线合一定理, 另一个是运用了圆中 的垂径定理,写法过程是一样多的步骤。但在圆中来 解决问题就很好地将直角三角形与等腰三角形结合起 来,体现了几何图形变换中的一种基本的转换思想, 当图形发生变化时这样的结论也会很快得出,不需要 重新去构造定理成立的条件。 变式图形如左边的图,条件不变,结论也不变,

只是图形发生了变化, 原本用哪一种方法都是可以的。但如果在圆中有这样的定 理, 通过证明四点共圆后这种图形模式就可以直接用圆的相关知识,那么我们就 只需要一个步骤就能得到正确结论了,这也反映了数学知识的螺旋上升原理,圆 的知识比三角形的知识包含的内容更多,运用范畴也就更广。 二.圆与相似的比较 我们知道相似三角形的性质中有对应角相等一条, 这个性质可以用来进行相 关的角的计算和证明。 而在圆中则有同弧所对的圆周角相等且等于圆心角的一半 这样的性质, 这个性质中同弧所对的圆周角有无数个,也就是说我们在圆中找相 应的角的关系能够有很多可以用。 例:如图,一幅三角板 ACD、BCE 中,△ACD 是等腰直角三角形,∠ CAD=∠ CBE=90°,直线 a ∥CD. 试判断BC与BP的数量关系并证明. 判断:BC=BP 证明:连接CP 方法①设BP与AC交于点0 ∵∠CAD=∠CBE=90°,∠COB=∠AOP ∴△BOC∽△AOP BO CO ∴ = AO PO ∵∠COP=∠BOA ∴△AOB∽△POC ∴∠CPB=∠CAB ∵a∥CD ∴∠CAB=∠ACD=45° ∴∠CPB=∠CAB=45° ∵∠CBE=90° ∴∠BCP=45°=∠BPC ∴BC=BP 方法②由上面的模板我们可以知道点 A、B、C、P 四点共圆,于是我们可以 知道∠CPB=∠CAB(利用同弧所对的圆周角相等) 比较一下这两种证明方法, 如果没有四点共圆,就是考查了学生对相似的理 解, 通过相似转换得到所需要的结论,但当我们学习了四点共圆后很快就能够得 出结论,省了两次相似,这种思考比相似比例的转化要简单许多,这样作比较, 就更能突出四点共圆的优势了。 我们看变式题:在这两个图形中,已知条件仍然同上 题,只是 BE 与 AD 的交点变成了与 DA(或 AD)的延长线 的交点。问在这种情况下,结论是否改变。 结论当然是不变,证明的方法也仍然是上面的两种。 但是在这两个变式图形中,找三角形相似就比较困难了, 原来的两次全等中的三角形比较好找, 这里发生了改变就 不太容易发现。但是四点共圆这里还是照旧,即点 A、B、C、 P 四点共圆,然后得到∠CPB=∠CAB,很快就能得出结论。 从这个图形变换中我们可以看出四点共圆的的妙用,

也可以再次体会到学习了圆的知识后可以综合前面所学的知识, 让我们的知识层 次更上一层楼。 三.利用四点共圆求最值,替代函数方法。 例:如图,直角三角形 ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,D 为 AC 中点, 过 D 作 DE⊥DF,分别交射线 AB、BC 于 E、F,则 EF 的最小值为? 这个题目求线段的最值有两种方式,一 种是用代数方法,求二次函数的顶点,另一 种则是利用几何图形中的特殊点。 利用函数方法计算就很复杂了,如果这 里我们看到了这个特殊形状,即∠ ABC= ∠ DEF=90°,所以我们可以得到点 E、B、F、D 四点共圆 O,其中 EF 为圆 O 的直径。因为圆 心 O 在线段 BD 的垂直平分线上,所以当 O 点 恰好为 BD 的中点的时候,圆 O 的半径是最小 的,于是 BD 就是圆 O 的直径。所以 EF=DB=5 是最小值。 在这里, 我们就利用四点共圆的特殊性质在几何图形中找到了所需要的特殊 值,这个图形体现了四点共圆的妙用,一种几何图形思想,也反映出数形结合的 思想。 四.四点共圆知识的应用体现数学转化的思想。 例:如图,正方形 ABCD 的边长为 6,点 O 是对角线 AC、BD 的交点,点 E 在 CD 上,且 DE=2CE,过点 C 作 CF⊥BE,垂足为 F,连接 OF,则 OF 的长为? 解:∵正方形 ABCD 的边长为 6,点 O 是对角线 AC、BD 的交点 ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD 为等腰直角三角形,且 AO=BO=CO=DO=3 2 ∵DE=2CE ∴CE=2,DE=4 ∴BE=2 10 (在直角三角形 BCE 中用勾股定理求得) ∵CF⊥BE ∴∠ECF+∠CEF=90° ∵∠EBC+∠CEF=90° ∴∠ECF=∠EBC ∵∠BCE=∠BFC=90° ∴△BCF∽BEC BC BF ∴ = BE BC ∵BC=6,BE=2 10
9 10 5 BF 9 BO 3 3 5, 5 ∴ = 10 ÷6 2 = =3 2 ÷2 10 = BD 5 BE 10 10

∴BF=

BF BO = BD BE ∵∠DBE=∠DBE ∴△BOF∽△BED BO OF 3 5 ∴ = = BE DE 10 ∵DE=4 6 5 ∴OF= 5 此题考查了正方形所有的性质和相似三角形的基本模型, 反复借用相似的判 定和性质进行转化, 体现出线段比例的转化思想,特别是相似三角形对应边的比 例中一般运用的较多的是夹特殊角的两边的比,对于第三边的比很少用到,在这 里运用的就是这个第三边的比,故在转化过程中比较复杂,不容易想到。 如果我们观察这个图形可以发现点 B、C、F、O 这四点是共圆的, 故∠1=∠2=45° (圆中同弧所对圆周 角相等) ,所以∠1=∠3=45°,加上公共角∠DBE,就能 得到△BOF∽△BED, 这样的方法就利用几何图形中的变 换得到所要的结论, 少了许多计算, 更能启发学生的开 放性思维, 也能让学生在研究问题的时候有更多的空间 想像力。 圆这一章的知识综合性很强, 可以将前面所学过的 所有的图形放在圆中研究问题, 故四点共圆的基本理念 可以将三角形四边形的相关知识进行转化, 有效结合几 何图形, 建立图形变换的基本思想, 而由直径所对圆周 角是直角及 90°的圆周角所对的弦是直径这两个互逆 定理的综合运用更是突出了四点共圆在几何图形证明及相关计算中的作用, 虽然 在初中阶段删除了四点共圆的这个定理,但它的作用还存在,我们在学习的过程 中还需要对特殊图形的四点共圆的知识加深理解, 让四点共圆的知识帮助我们解 决一些较复杂的问题,以达到数学思维的简捷。 2015.5.26



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