复变函数试卷库有答案

《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题(一) 一、 判断题(20 分) : 1.若 f(z)在 z0 的某个邻域内可导,则函数 f(z)在 z0 解析. 2.有界整函数必在整个复平面为常数. 3.若 ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) {zn } 收敛,则 {Re zn } 与 {Im zn } 都收敛. f ' ( z) ? 0 ,则 f ( z) ? C (常数). 4.若 f(z)在区域 D 内解析,且 5.若函数 f(z)在 z0 处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 6.若 z0 是 f ( z ) 的 m 阶零点,则 z0 是 1/ f ( z ) 的 m 阶极点. 7.若 z ? z 0 lim f ( z ) 存在且有限,则 z0 是函数 f(z)的可去奇点. 8.若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则 f ' ( z ) ? 0(?z ? D) . 9. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C ? C f ( z )dz ? 0 . ( 10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数,则 f(z)在区域 D 内恒等于常数.( 二.填空题(20 分) 1、 ) ) dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? __________.( n 为自然数) 2 2. sin z ? cos2 z ? _________. 3.函数 sin z 的周期为___________. f ( z) ? 4.设 ? 1 z ? 1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有__________. 2 5.幂级数 ? nz n ?0 n 的收敛半径为__________. 6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. 7.若 n ? ? lim zn ? ? z1 ? z2 ? ... ? zn ? n?? n ,则 ______________. lim Re s( 8. ez ,0) ? zn ________,其中 n 为自然数. sin z 的孤立奇点为________ . z lim f ( z ) ? ___ z z ? z0 f ( z ) 10.若 0 是 的极点,则 . 9. 三.计算题(40 分) : f ( z) ? 1. 设 1 ( z ? 1)(z ? 2) ,求 f ( z ) 在 D ? {z : 0 ?| z |? 1}内的罗朗展式. 2. 1 ?|z|?1 cos z dz. f ( z) ? ? w? 3. 设 3?2 ? 7? ? 1 d? C ??z ,其中 C ? {z :| z |? 3} ,试求 f ' (1 ? i ). 4. 求复数 z ?1 z ? 1 的实部与虚部. 四. 证明题.(20 分) 1. 函数 为常数. 2. 试证 : f ( z) ? f ( z ) 在区域 D 内解析. 证明:如果 | f ( z ) | 在 D 内为常数,那么它在 D 内 z(1 ? z) 在割去线段 0 ? Re z ? 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支 , 并求出支割线 0 ? Re z ? 1 上岸取正值的那支在 z ? ?1 的值. 《复变函数》考试试题(二) 一. 判断题.(20 分) 1. 若函数 f ( z) ? u( x, y) ? iv( x, y) 在 D 内连续,则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续. 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界. 3. 若函数 f(z)在 z0 解析,则 f(z)在 z0 连续. 4. 有界整函数必为常数. 5. 如 z0 是函数 f(z)的本性奇点,则 lim f ( z ) 一定不存在. z ? z0 ( ( ( ( ( ( C ) ) ) ) ) ) 6. 若函数 f(z)在 z0 可导,则 f(z)在 z0 解析. 7. 若 f(z)在区域 D 内解析, 则对 D 内任一简单闭曲线 C ? f ( z )dz ? 0 . ( 8. 若数列 {zn } 收敛,则 {Re zn } 与 {Im zn } 都收敛. ( ) ) 9. 若 f(z)在区域 D 内解析,则|f(z)|也在 D 内解析. ( ) 1 1 1 )?0且 f( )? , n ? 1,2,... . 10. 存 在 一 个 在 零 点 解 析 的 函 数 f(z) 使 f ( n ?1 2n 2n ( ) 二. 填空题. (20 分) 1. 设 z ? ?i ,则| z |? __, arg z ? __, z ? __ 2.设 f ( z) ? ( x2 ? 2xy) ? i(1 ? sin(x2 ? y 2 ),?z ? x ? iy ? C ,则 lim f ( z ) ? ________. z ?1? i 3. dz ?|z ? z0 |?1 ( z ? z0 )n ? _________.( n 为自然数) ? n ?0 4. 幂级数 ? nz n 的收敛半径为__________ . 5. 若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m>0,则 z0 是 f ' ( z ) 的_____零点. 6. 函数 ez 的周期为__________. 7. 方程 2 z 5 ? z 3 ? 3z ? 8 ? 0 在单位圆内的零点个数为________. 8. 设 f ( z ) ? 1 ,则 f ( z ) 的孤立奇点有_________. 1 ? z2 9. 函数 f ( z ) ?| z | 的不解析点之集为________. 10. Res ( z ?1 ,1) ? ____ . z4 三. 计算题. (40 分) 3 1. 求函数 sin(2 z ) 的幂级数展开式.

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