2018高考数学异构异模复习第二章函数的概念及其基本性质2.9.2函数的综合应用撬题文

2018 高考数学异构异模复习考案 第二章 函数的概念及其基本性质 2.9.2 函数的综合应用撬题 文
1.设函数 f(x)=a +b -c ,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,
x x x

b,c)∈M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为________;
(2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是________.(写出所有正确结 论的序号) ①? x∈(-∞,1),f(x)>0; ②? x∈R,使 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则? x∈(1,2),使 f(x)=0. 答案 (1){x|0<x≤1} (2)①②③ 解析 (1)由已知条件(a,b,c)∈M,c>a>0,c>b>0,a,b,c 不能构成一个三角形的三 条边长,且 a=b 得 2a≤c,即 ≥2.a +b -c =0 时,有 2a =c ,? ? =2,解得 x=logc2, a
x x x x x x x x

c a

?c?x ? ?

a

1

x

=log2 ≥1,∴0<x≤1,即 f(x)=a +b -c 的零点的取值集合为{x|0<x≤1}. (2)对于①,∵c>a>0,c>b>0,∴0< <1,0< <1. 此时函数 y=? ? +? ? 在(-∞,1)上为减函数,得? ? +? ? > + ,又 a,b,c 是△ABC c c c c

c a

x

x

x

a c

b c

?a?x ?b?x ? ? ? ?

?a?x ?b?x a b ? ? ? ? c c
x x x

的三条边长,∴a+b>c,即 + >1,得? ? +? ? >1,∴a +b >c ,∴? x∈(-∞,1),f(x) =a +b -c >0,故①正确; 对于②,∵y=? ? ,y=? ? 在 x∈R 上为减函数,∴当 x→+∞时,? ? 与? ? 无限接近 ?c? ?c? ?c? ?c? 于零,故? x∈R,使? ? +? ? <1,即 a +b <c ,所以 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条 c c
x x x x x x x x x

a b c c

?a?x ?b?x ?c? ?c?

?a?x

?b?x

?a?x ?b?x

?a?x ?b?x ? ? ? ?

边长,故②正确; 对于③, 若△ABC 为钝角三角形, c 为最大边, 则 a+b>c, a +b <c , 构造函数 g(x)=? ? c
2 2 2

?a? ? ?

x

+? ? -1.又 g(1)= + -1= c

?b?x ? ?

a b c c

a+b-c >0, c

a2+b2-c2 ?a? ?b? g(2)=? ?2+? ?2-1= <0,∴y=g(x)在(1,2)上存在零点,即? x∈(1,2),使 c2 ?c? ?c?

?a?x+?b?x-1=0,即 f(x)=ax+bx-cx=0,故③正确.综上所述,结论正确的是①②③. ?c? ?c? ? ? ? ?

1

2.如图为某质点在 4 秒钟内作直线运动时,速度函数 v=v(t)的图象,则该质点运动的 总路程为________cm. 答案 11 1 1 解析 总路程为(2+4)×1× +4×1+ ×2×4=11. 2 2 3.已知函数 f(x)=x +ax +b(a,b∈R). (1)试讨论 f(x)的单调性; (2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值
3 2

? 3? ?3 ? 范围恰好是(-∞,-3)∪?1, ?∪? ,+∞?,求 c 的值. ? 2? ?2 ?
解 2a 2 (1)f′(x)=3x +2ax,令 f′(x)=0,解得 x1=0,x2=- . 3
2

当 a=0 时,因为 f′(x)=3x >0(x≠0),所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增; 2a? ? ? 2a ? 当 a>0 时,x∈?-∞,- ?∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈?- ,0?时,f′(x)<0, 3 ? ? ? 3 ? 2a? ? ? 2a ? 所以函数 f(x)在?-∞,- ?,(0,+∞)上单调递增,在?- ,0?上单调递减; 3 ? ? ? 3 ? 2a? ? 2a ? ? 当 a<0 时,x∈(-∞,0)∪?- ,+∞?时,f′(x)>0,x∈?0,- ?时,f′(x)<0, 3 3? ? ? ? 2a? ? 2a ? ? 所以函数 f(x)在(-∞,0),?- ,+∞?上单调递增,在?0,- ?上单调递减. 3? ? 3 ? ?

? 2a? 4 3 (2)由(1)知,函数 f(x)的两个极值为 f(0)=b,f?- ?= a +b,则函数 f(x)有三个 ? 3 ? 27
不同的零点等价于

? 2a? ? 4 3 ? f(0)·f?- ?=b? a +b?<0, 3 27 ? ? ? ?
a>0, ? ? 从而? 4 3 - a <b<0 ? ? 27 a<0, ? ? 或? 4 3 0<b<- a . ? 27 ?

2

4 3 4 3 又 b=c-a,所以当 a>0 时, a -a+c>0 或当 a<0 时, a -a+c<0. 27 27 4 3 设 g(a)= a -a+c,因为函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞, 27

? 3? ?3 ? -3)∪?1, ?∪? ,+∞?, ? 2? ?2 ?
则在(-∞,-3)上 g(a)<0,

? 3? ?3 ? 且在?1, ?∪? ,+∞?上 g(a)>0 均恒成立, 2 2 ? ? ? ?
从而 g(-3)=c-1≤0,

?3? 且 g? ?=c-1≥0, ?2?
因此 c=1. 此时,f(x)=x +ax +1-a=(x+1)[x +(a-1)x+1-a], 因函数有三个不同的零点,则 x +(a-1)x+1-a=0 有两个异于-1 的不等实根, 所以 Δ =(a-1) -4(1-a)=a +2a-3>0,且(-1) -(a-1)+1-a≠0,
2 2 2 2 3 2 2

? 3? ?3 ? 解得 a∈(-∞,-3)∪?1, ?∪? ,+∞?.综上 c=1. ? 2? ?2 ?

3


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