湖南省益阳市箴言中学2017-2018学年高二数学上学期12月月考试题 文

哈哈哈哈 哈哈哈 哈哈和

湖南省益阳市箴言中学 2017-2018 学年高二数学上学期 12 月月考试 题 文
时量 120 分钟 总分 150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

(1 ? i ) 3 1.复数 ? (1 ? i ) 2
A 2.已知

( B ?1 ? i C )



1? i

1? i

D ?1 ? i

1 ? 1 ,则下列结论正确的是( x
B x ?1
2

A x ?1

C 0 ? x ?1

D x ? 0或x ? 1

3.命题“若 x ? 2 ,则 x ? x ? 6 ? 0 ”的原命题,逆命题,否命题,逆否命题四种命题中, 真命题的个数( A 0 ) B 2 C 3 D 4

4.已知命题 p : ?x ? (??,0),2 x ? 3x ,命题 q : ?x ? (0,1), log2 x ? 0 ,则下列命题为真命题 的是( )

A. p ? q

B. p ? (? q)

C. ( p) ? q

?

D. p ?(?q)

5.已知 x , y 之间的一组数据如下,则线性回归方

x
y

0 8

1 2

2 6

3 4

?x ? a ? ?b ? 所表示的直线必经过点( 程y
(0,0) A. (2,6) B.

) C. (1.5,5)

5) D. (1,

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 6.不等式组 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 表示的平面区域的面积为( ?x ? y ? 2 ? 0 ?
A.3 B.4 C.

)

7 4

D.

9 4

7. 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F ,短轴的两个端点分别为 B1,B2 ,若 ( ,0),F ( ,0) 1 -1 2 1

?F1B1B2 为等边三角形,则椭圆 C 的方程为(
A. 4 x ? 3 y ? 1
2 2 3 2

) C. 3x ?
2

B. 4 y ? 3x ? 1
2 2

3y2 ?1 4

D.

3x 2 ? 3y2 ? 1 4

( 1,2) 8.曲线 y ? ? x ? 3x 在点 处的切线方程为(
A. y ? 3x ? 5 B. y ? ?3x ? 5

) D. y ? 2 x

C. y ? 3x ? 1

1

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9.已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,A、B 是抛物线上的两点, AF ? BF ? 3 ,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) B.1

A.

3 4

C.

5 4

D.

7 4

10. 已知函数 f ( x) 的定义域为 R, 且 f ?( x) ? 1 ? f ( x), f (0) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? 1 ? e? x 的 解集为( A. (1,??) ) B. (0,??) C. (?1,??) D. (e,??)

11 .已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d, (b, c, d为常数) ,当 x ? (0,1) 时,函数 f ( x) 取得 极大值;当 x ? (1,2) 时函数 f ( x) 取得极小值;则 (b ? ) ? (c ? 3) 的取值范围为
2 2

1 2

( A. (

)

37 , 5) 2

B. ( 5, 5)

( C.

37 , 25) 4

(5,25 ) D.

12.已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且 ?F1 PF2 ? 椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) D.2

?
3

,则

A.

4 3 3

B.

2 3 3

C.3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 . 若 关 于 x 的 不 等 式 x ? ax ? a ? ?3 的 解 集 不 是 空 集 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为
2

________________ 14.设 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 5 ,则 a ? 1 ? b ? 3 的最大值为 .

3a x2 y2 , (a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 15.设 F1 , F2 分别是椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 上一 2 a b
点, ?F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为
?

.

16.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,且满足 , f ( x) ? a x g ( x), (a ? 0且a ? 1 ) 则 n 的最小值为

? f ( n) ? f (1) f (?1) 5 ? ? ,若数列 ? ? 的前 n 项和大于 62, g (1) g (?1) 2 ? g ( n) ?
.

2

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三、解答题: (共 70 分) 17(本题 10 分) (1)设集合 A= x ? 2 ? a ? x ? a, a ? 0 ,已知 p : 1? A, 一个成立, 求实数 a 取值范围; (2) 已知 p : 4 x ? m ? 0 ,q : x 2 ? x ? 2 ? 0 ,且 p 是 q 的充分条件, 求实数 m 的取值范围.

?

?

q : 2 ? A ,若 p, q 有且只有

18(本题 12 分) (1)设 x , y 是正实数, x 2 ? y 2 ? 4 ,求 lg x ? lg y 的最大值; (2)若实数 a , b 满足: ab ? 4a ? b ? 1 ? 0, (a ? 1.) ,求 (a ? 1)(b ? 2) 的最小值;

19(本题 12 分) 已知函数 f ( x) ?

2x ?1 ,( x ? 0) 2x ?1

(1)判断 f ( x) 的单调性,并用定义法证明; (2)当 n ? N 时,猜想 f ( n) 与 g ( n) ?
?

n 的大小(不需要证明) n ?1

3

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20. (本题 12 分)为了了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对 30 名小学六年 级学生进行问卷调查,并得到如下列联表,平均每 天喝 500ml 以上为“常喝” ,体重超过 50kg 为“肥 胖” 。已知在全部 30 人中随机抽取 1 人,抽到肥胖 的学生的概率为 肥胖 不肥胖 合计 常喝 不常喝 2 18 30 合计

4 15

(1)请将列联表补充完整

(2)是否有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明理由。 (3)已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有 2 名女生,现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中 随机抽取 2 人参加一个电视节目,求恰好抽到一名男生和一名女生的概率。 参考数据: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K 2 ? k )
k

0.100 2.706

21. (本题 12 分)设椭圆 C:

x2 y2 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0且a ? 1) 的离心率为 ,右焦点到 2 a b 2

直线 2ax ? by ? 2 ? 0 的距离为

2 (1)求椭圆 C 的方程。 (2)过点 O 作两条互相垂 3

直的射线,与椭圆 C 分别交于 A、B 两点,证明点 O 到直线 AB 的距离为定值。并求弦 AB 长 度的最小值。

22. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? m ln x ? x ? 2, (m ? R)
2

(1)当 m ? 1 时,求 f ( x) 的单调区间。

4

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(2)若 f ( x) 在 x ? 1 时取得极大值,求证: f ( x) ? f ?( x) ? 4 x ? 3 (3)若 m ? 8, 当x ? 1 时,恒有 f ( x) ? f ?( x) ? 4 x ? 3 成立,求 m 的取值范围。

2017 年下学期箴言中学高二第三次月考数学(文)参考答案 一、选择题: 二、填空题: 13、 【 a ? 2或a ? ?6 】 ; 三、解答题: 17、 (本题 10 分) (1) 1 ? a ? 2 】 (2) 14、 【 3 2 】 ; 15、 【 D D B C C B D C C B D A

3 】 ; 4
m?4

16、 【 6 】 ;

18、 (本题 12 分) 解: (1) 【 lg 2

(2)【 27 】 ? ab ? 4a ? b ? 0

?b?

4a ? 1 , ab ? 4a ? b ? 1 a ?1 4a ? 1 ?1 a ?1

? (a ? 1)( b ? 2) ? ab ? 2a ? b ? 2 ? 6a ? 2b ? 1 ? 6a ? 2 ? 6 ? 15 ? 27 (当且仅当 a ? 2 取等号) a ?1 (0, ? ?) 19、 (本题 12 分) 解: (1) f ( x) 在 上是增函数 ? 6(a ? 1) ?
(2).? f (1) ?

1 1 ? g (1) ? 3 2

f (2) ?

3 2 ? g (2) ? 5 3

f (3) ?

5 3 ? g (3) ? 7 4

f (4) ?

7 4 ? g (4) ? ???? 猜想: f (n) ? g (n) 9 5
常喝 肥胖 不肥胖 合计 6 4 10 不常喝 2 18 20 合计 8 22 30

20、 (本题 12 分) (1)设全部 30 人中肥胖学生共

n 人,
n 4 ? ? n ? 8 ,所以列联表如右 则 30 15
(2)? K ?
2

30(6 ?18 ? 2 ? 4) 2 ? 8.523 10? 20? 8 ? 22
2

又 8.523>7.879 且 P( K ? 7.879) ? 0.005, 故有 99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关. (3) P ?

8 15

21、 (本题 12 分) (1)

x2 ? y 2 ? 1 .......................(5 分) 2
5

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(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 当 AB 的斜率不存在时,则其中一条射线方程为 y ? x ,易得点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

6 3
x2 ? y2 ? 1 联 立 , 消 去 y 得 : 2
1 ? 2k 2 ? m 2

当 AB 的 斜 率 存 在 时 , 设 y ? kx ? m 与 椭 圆 方 程

( 1 ? 2k 2 ) x2 ? 4km x? 2m2 ? 2 ? 0
又 x1 ? x2 ? ?

由? ? 0



4km 1 ? 2k 2

x1 x2 ?

2m 2 ? 2 1 ? 2k 2

由 OA ? OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0

? 3m2 ? 2(k 2 ? 1) 所以点 O 到 AB 的距离 d ?
又 OA ? OB
2 2

m 1? k 2

?

6 (定值) 即命题得证。 3

? AB ? 2 OA OB

2

(当且仅当 OA ? OB 时取等号)

又 d ? AB ? OA ? OB 22、 (本题 12 分)

? AB ? 2d ?

2 6 2 6 即弦 AB 长度的最小值为 3 3

(0, ? ?) (1) f ( x) 定义域为 , f ?( x) ?

1 1 ? 2x2 2 ? 2x ? 由 f ?( x) ? 0 ? x ? x x 2

? f ( x)在(0,
(2) ? f ?( x ) ?

2 2 )上增, 在( ,??)上减 2 2

m ? 2 x 依题意: f ?(1) ? 0 ? m ? 2 ? 0 ? m ? 2 x f ?( x) ? 2 ? 2x x
2

? f ( x) ? 2 ln x ? x 2 ? 2

令 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? 4 x ? 3 ? 2 ln x ? x ?

2 ? 2x ? 5 x

? g ?( x) ?

2 2 2( x ? 1) 2 (1 ? x) ? 2x ? 2 ? 2 ? 令 g ?( x) ? 0 ? x ? 1 x x x2
即 f ( x) ? f ?( x) ? 4 x ? 3

? g ( x)在(0,1)增, 在(1,??)减 ? g ( x) ? g (1) ? 0
(3)令 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? 4 x ? 3 ? m ln x ? x ?
2

m ? 2x ? 5 x

? g ?( x) ?

m m ( x ? 1)(m ? 2 x 2 ) ? 2x ? 2 ? 2 ? x x x2

①当 m ? 2 时, g ?( x) ? 0 则只需 g (1) ? 0 ? m ? 2

? g ( x)在(1,??)减 ? g ( x) ? g (1)
?m ? 2
m 2
6

②当 2 ? m ? 8 时,由 g ?( x) ? 0 ? x ? ?

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故 g ( x)在(1,

m m )增, 在( ,??)减 。 2 2
故只需 g (

? g ( x) ? g (


m ) 2

m m m m 2 ) ? m ln ? ?2 ?m ?5? 0 2 2 2 2 m
(取

m m m m ln ? ? 4 ?5? 0 2 2 2 2

m ? t,则 t ? ?1,4?) 2

令 h( x) ? x ln x ? x ? 4 x ? 5, ( x ? ?1,4?)

则 h?( x) ? ln x ?

2 x

h??( x) ?

1 1 ? ?0 , x x x

? h?( x)在?1,4?增 , 又 h?(1) ? ?2 ? 0

h?(4) ? ln 4 ? 1 ? 0 故 ?x0 ? ?1,4?, 使h?( x0 ) ? 0

? h( x)在?1, x0 ?减, 在?x0 ,4?增 , 而 h(1) ? ?1 ? 1 ? 5 ? 0
2 2

h(4) ? 8 ln 2 ? 7 ? 0
2 2

? x ? ?1,4?恒有h( x) ? 0 ,即当 2 ? m ? 8 时,恒有 m ln m ? m ? 4 m ? 5 ? 0 成立。
综上: m 的取值范围为 2 ? m ? 8

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