2019版高中数学北师大版必修5同步精练:1.3.2等比数列的前n项和 Word版含答案

2019 版数学精品资料(北师大版)
基础巩固 1 等比数列{an}中,如果公比 q>1,那么等比数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.无法确定数列的增减性 ) )

1 2 在等比数列{an}(n∈N+)中,若 a1=1,a4= ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 A.2- 8 2 1 C.2- 10 2 1 B.2- 9 2 1 D.2- 11 2

3 在等比数列{an}中, Sn 表示前 n 项和, 若 a3=2S2+1, a4=2S3+1, 则公比 q 等于( A.3 C.-1 B.-3 D.1

)

4 等比数列{an}的公比 q>0.已知 a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前 4 项和 S4= __________. 1 S4 5 设等比数列{an}的公比 q= ,前 n 项和为 Sn,则 =__________. 2 a4 6 某工厂去年 1 月份的产值为 a 元,月平均增长率为 p,求这个工厂去年全年产值的总 和. 7 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S2,S3 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn. 8(2009 高考全国卷Ⅱ,文 13)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=__________. 综合过关 9 在等比数列{an}中, a1=2, 前 n 项和为 Sn, 若数列{an+1}也是等比数列, 则 Sn 等于( A.2
n+1

)

-2

B.3n D.3n-1


C.2n

10 令 f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N ),如果对 k(k∈N+),满足 f(1)f(2)…f(k)为整数,则称 k 为“好数”,那么区间[1,2 010]内所有“好数”的和 M=______. 11 求和:9+99+999+…+999个 …99.
n 9

log0.5Sn+log0.5Sn+2 12 设{an}是由正数组成的等比数列, Sn 是其前 n 项和. 求证: >log0.5Sn 2
+1

.

能力提升 13“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.怎样用学过的知识来说明它?

参考答案
1 答案:D

? ?a1=1, a1?1-q10? 1 2 解析: 设公比为 q, 则? 解得 q= .则该数列的前 10 项和为 S10= 1 2 1-q a1q3= , ? 8 ?
1 1- 10 2 1 = =2- 9. 1 2 1- 2 答案:B 3 解析:两等式相减得 a4-a3=2a3, a4 从而求得 =3=q. a3 答案:A 4 解析:an+2+an+1=anq2+anq=6an,所以 1 ?1-24? 2 a2 1 15 2 q +q=6,解得 q=2 或 q=-3(舍去),所以 a1= = ,所以 S4= = . q 2 2 1-2 答案: 15 2

1 a1[1-? ?4] 2 S4 5 解析: = =15. a4 1 1 ?1- ?[a1? ?3] 2 2 答案:15 6 解:该工厂去年 2 月份的产值为 a(1+p)元,3 月、4 月、…的产值分别为 a(1+p)2、 a(1+p)3、…,去年 12 个月的产值组成以 a 为首项,(1+p)为公比的等比数列.因此,该厂 去年全年的总产值为 a[1-?1+p?12] a[?1+p?12-1] S12= = , p 1-?1+p?

a[?1+p?12-1] 即该工厂去年全年的总产值为 元. p 7 解:(1)依题意有, a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2) 由于 a1≠0,故 2q2+q=0, 1 又 q≠0,从而 q=- . 2 1 (2)由已知可得 a1-a1(- )2=3,解得 a1=4, 2 1 4[1-?- ?n] 2 8 1 从而 Sn= = [1-(- )n]. 1 3 2 1-?- ? 2 1-q6 1-q3 8 解析:设等比数列{an}的公比为 q,很明显 q≠1,则 =4 ,解得 q3=3,所 1-q 1-q 以 a4=a1q3=3. 答案:3 9 解析:设等比数列{an}的公比为 q, (a2+1)2=(a1+1)(a3+1),则 (a1q+1)2=(a1+1)(a1q2+1),即 (2q+1)2=3(2q2+1),解得 q=1,则 Sn=2n. 答案:C 10 解析:设 f(1)f(2)…f(k)=log23log34… log(k+1)(k+2)=log2(k+2)=m,则 k=2m-2,又 k∈[1,2 010],则 m∈N+且 1<m<11, 22?1-29? 所以 M=(2 -2)+(2 -2)+…+(2 -2)=(2 +2 +…+2 )-2×9= -18=2 026. 1-2
2 3 10 2 3 10

答案:2 026 11 分析:数列 9,99,999,…不是等比数列,不能用公式求和,但将它转化成 10-1,100 -1,1 000-1,…就容易解决了. 解:原式=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)

=(10+102+…+10n)-n 10?10n-1? = -n 10-1 = 10 n (10 -1)-n. 9

12 分析:对公比 q 是否等于 1 分类讨论. 证明:设{an}的公比为 q,由题设,知 a1>0,q>0. (1)当 q=1 时,Sn=na1,则 Sn· Sn+2-S2 n+1 =na1· (n+2)a1-(n+1)2a2 1 =-a2 1<0. a1?1-qn? (2)当 q≠1 时,Sn= , 1-q 从而 Sn· Sn+2-S2 n+ 1
n n+2 n+1 2 a2 ? a2 ? 1?1-q ??1-q 1?1-q = - 2 2 ?1-q? ?1-q? n =-a2 1q <0.

由(1)和(2)得 Sn· Sn+2<S2 n+1. 根据对数函数的单调性,得 log0.5(Sn· Sn+2)>log0.5S2 n+1, 即 log0.5Sn+log0.5Sn+2 >log0.5Sn+1. 2

13 解:这句古话用现代文叙述是:一尺长的木棒,每天取它的一半,永远也取不完. 1 1 如果将每天取出的木棒长度排成一个数列,则得到一个首项 a1= ,公比 q= 的等比数 2 2 1 1 ×[1-? ?n] 2 2 1 列,它的前 n 项和为 Sn= =1-( )n. 1 2 1- 2 1 不论 n 为何值,1-( )n 总小于 1,这说明一尺长的木棒按上述方法永远也取不完. 2


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