自编根式方程的一个统一解法
、飞 龟 人
年 第 认银
,
’
令 令 令 令、
.
’
.
.
曹读 者 回 音 寻
气咯 今 今 令 矿
.
.
.
不 等式
a 于十 a 孟十
n
十 a
二
》
(a
存
“
;
十 a
Z
+
…
n
十 a
的证 明
本 刊 19 8 3 年 第 二 期 《不 等 式 妻
.2 、
、
a
+
b
2
)
,
文 证 明 了 下面 命 题 : : … a 都是实 数 (n 属 于 自然 若a a 数) 则 有
,
,
—
a
王
+
仁
(s 七 )
+
艺
b
1
2
+
(s
n
+ ‘签
+
…
+
(s
+
t
n
2
=
的推 广 与 应 用 》 一
:
青
+
(。:
+
2
。‘!
+
+
s t Z
:
十
+ … t岌
5 2 +
2 5
七
:
n
+
七 ) 盖
n
S
:
十
,
丝
n
(t
、
七2
十
,
二 斗
-
+ + a 丁 a 兰
一
一 不一 一 ,
…
+
a
言
一
)
l
气
a
l
+ a
Z
+
…
+
a
。
n
,
)
=
+
工
n
+ t t专 荟
+
…
+
七
本 文再 给 出 一 种 证 法 它 比 原 文 的证 法 稍 简 单一 些 且 具 有一 定的 模 式 比 较容 易
,
台
+
掌握
。
证 明如 下
~
苦
+ ‘ “气 』+ …
“,
卫
设 卫 l 土 丛二 兰 土 些
a
z
二 s
,
)
二
匀
(
毯1
丝 宁 兰 土旦 )
,
这 种 证 法 的 实 质 是 换元 法
+ a
么 :
n
.
其 步骤 为
:
+
=
…
8 +
+
a
n
之
n s
。
1
s +
。
通 过 自身 变 换
+ a : +
. ,
?
,
又设
a
n
a
七
:
:
,
a : =
t
0
.
Z ,
条件 题
;
a
:
十 a
。
=
n s
把 问 题 转化 为 已 知 的 不 等式 证 明 问 设 出a
,
,
=
s +
t
显然 有七
a
十 圣
,
十
t
+
”
?
十
t
。
=
2
a
n
“
再 用平 均 值变换
,
a
: ,
一
,
a
十 … 孟
十 a
;
3
。
代 人验 证所 论 不 等 式 成 立 : ( 作 者单 位 河 南省开 封 市 二 中)
。
自编 根 式 方 程 的 一 个 统 一 解 法
罗
3 年第 五 期 《自编 根 式 方 程 的 一 个 本 刊8 简 单 方 法 》 认为
,
增
儒
=
.
方程
,
(了 s x (杯 s x
一
一
l
一
一
+
了
Zx
。,
=
Zx
)
= 3x 一 1 (1 ) 侧 sx 一 1 + 侧 Z x “ 两次平 方 将 产 生 一 个 四 次 方 程 解 起来 可 ” 能 相 当麻 烦 其 实 这 个 方 程 可 以 有简 单
。
1
侧
Zx
)
及
了s x
一
1
十 一
侧 百 又>
1
一
1 ) 得 可由 (
1
。
,
侧sx
训
1
,
(2 )
.
的 方法 来 求 解
。
这表明
x
一
解一
邮
1
二
(s x
一
l)
一
Zx
二丁 ) 办又
即‘ 》
是
?
拐
?
中
+
警
数
学
由 (1 )
2
_ _
(2 )
一
得
2
=
训sx
、 2
3 x
,
(b ) 2 了 x 一 1 = 了 (a ) 原 方程 即 解
x
+
4
+
1
.
x
芳百
2
?
亿3 x
=
+
1
一 +
了Z x
l
+
一
1
二
1
.
、 、 诊 、 f 矛曰 了 , 、 . J ‘ 上尹
,
9x
x
一
2 0x + 4
?
0,
两 边 乘 以 了3 x 召3 x
(1 )十
x
Z
侧 Zx
一
一
= =
1
得
+
+
十
1 十
:
召Z x
5
.
1
x x
2 3
.
)
2
.
普
(
x
=
(2 )
一
2丫3x
+
=
+
l
。
得
x
=
号鲁
1
一
<
舍去 )
Zx
一
{
得x
.
6x
1
一 花
0
\ X 尸
尸
3
l
=
解二
3x
一
用 了s x
1
= =
一
了
Zx
=
1 ) 得 乘 (
1 一
1, x
Z =
5
均为原 方程 的解
。
(3 x
一 一
1 ) (了 s x
i
+
了
,
Zx
)
(b ) 原 方 程 即
2
但
3x
一
1
训 sx
,
又可得 ( 2 )
侧 同样 解 出 x
>
. 2
0
属、 齐
2
侧X
r、 ,
一
。
例 龙只 米 1纵
乙
1 一 了 x + 二 下二 二厂 订 人 一 l 丫 V
,
.
4
,
二
1
。
(3 )
.
二下下 一丁 一 入 丁 仕
得
一
由 上 面 的 处 理 可 归 纳 出这样 一 个 统 一 解
了x
一
一
1
+
斌X
3 x
“
+
4
=
3x
8
。
(4 )
法
:
(4
)
(3
) 得
4
4 4
= 一
设 f (x )
,
g
(x )
,
p r
( ) 为整 式
x
,
2
了
x +
+
9
,
方程
即
3
(了 x
)
+
.
一
2了 x
+
4
4
一
21
=
0
=
.
记 f (x )
的 方法 得 出 训 f (x ) 联立 (A )
、
士 丫g
(x )
=
甲 (x )
(A )
(了 x
+
=
=
7 ) (侧 x
+
一
3 )
0
.
可 通 过 分 解 印 (x )
干
或 乘 亿获 贾牙 干 衍百 反了 又
(x )
,
得侧 x
十
4
3
5
所 以x
训g
二
.
冲 (x )
。
.
(B )
这样
,
我 们 既 有 自 编根 式 方 程 的 简 单 而
,
(B )
可解 出侧了 又
了g
(x )
万或
迅 速 的 方法
又 有 解 自编 方 程 的 统一 方 法
。
,
,
平 方 便 化 成有 理 方 程 解 方程
3x
+
自编 根式 方程获 得 较 为 彻 底 的 解 决
(作 者 单位
:
例
.
陕 西 省 耀县 水 泥 厂 子
( )训
a
1
=
训
Zx
一
1
+
1
;
弟 学校 )
勺户 ℃ 一、
~ 、声 、
、
~ 、产 、
J
J
、J
、 、 ~、 、
一广
J
.
产、
关 于 趣 题 答案 的 补 充 意 见
1
.
贵 刊 1 9 8 3 年 第 6 期趣 题
贵刊1 98 4
。
3
的答 案
,
还 应 补 充 一个
:
车27 3 辆
,
轮54 6 个
。
(浙 江
2
.
叶朝 晖)
.
年第
3
期趣 题 的 答 案
,
1
给出193 0 月
、
年
6
月2 4 日
,
。
此题 答案 并 不唯 一
,
,
依题意
19 15
年
3
2 月1
日 也是 此 题 的 解
但 一 个 人 的 出生 年
日 只 有 一个
因此
我认 为 该题欠 妥
6
。
(沈 阳
3
.
孟 庆 良)
贵刊1 984
,
年第
,
3
期趣 题
1 79 52 2
,
3
的答 案 列 出
1 73 5 02
,
8
个
,
,
此 答案不 全
17 6 512
.
,
还 应补充 以 下
个
:
178 54 2
17 2 52 2
1 7 9 牙3 2
(四 川
黄 矛1超 )
,
(沈 阳
孟 庆 良)