自编根式方程的一个统一解法

、飞 龟 人

年 第 认银

,

’

令 令 令 令、
.

’

.

.

曹读 者 回 音 寻
气咯 今 今 令 矿
.
.

.

不 等式

a 于十 a 孟十
n

十 a

二

》

(a
存
“

;

十 a

Z

+

…
n

十 a

的证 明

本 刊 19 8 3 年 第 二 期 《不 等 式 妻
.2 、
、

a

+

b

2

)
,

文 证 明 了 下面 命 题 : : … a 都是实 数 (n 属 于 自然 若a a 数) 则 有
,
,

—
a

王
+

仁
(s 七 )
+

艺

b

1

2

+

(s
n
+ ‘签

+

…

+

(s

+

t

n

2
=

的推 广 与 应 用 》 一
:

青
+

(。:

+

2

。‘!

+

+

s t Z

:

十

+ … t岌

5 2 +

2 5

七
:

n

+

七 ) 盖

n

S

:

十

,

丝
n

(t

、

七2

十

,

二 斗

-

+ + a 丁 a 兰

一

一 不一 一 ,

…

+

a

言
一

)

l

气

a

l

+ a

Z

+

…

+

a

。

n
,

)
=

+

工
n

+ t t专 荟

+

…

+

七

本 文再 给 出 一 种 证 法 它 比 原 文 的证 法 稍 简 单一 些 且 具 有一 定的 模 式 比 较容 易
,

台

+

掌握

。

证 明如 下
~

苦

+ ‘ “气 』+ …

“,
卫

设 卫 l 土 丛二 兰 土 些
a
z

二 s

,

)

二

匀

(

毯1

丝 宁 兰 土旦 )
,

这 种 证 法 的 实 质 是 换元 法
+ a
么 :
n
.

其 步骤 为

:

+
=

…
8 +

+

a

n

之

n s

。

1
s +

。

通 过 自身 变 换
+ a : +
. ,
?

,

又设
a
n

a

七
:

:

,

a : =

t
0
.

Z ,

条件 题
;

a

:

十 a

。

=

n s

把 问 题 转化 为 已 知 的 不 等式 证 明 问 设 出a
,
,

=

s +

t

显然 有七
a
十 圣

,

十

t

+

”

?

十

t

。

=

2
a
n

“

再 用平 均 值变换

,

a

: ,

一

,

a

十 … 孟

十 a

;

3

。

代 人验 证所 论 不 等 式 成 立 : ( 作 者单 位 河 南省开 封 市 二 中)

。

自编 根 式 方 程 的 一 个 统 一 解 法
罗
3 年第 五 期 《自编 根 式 方 程 的 一 个 本 刊8 简 单 方 法 》 认为
,

增

儒
=
.

方程
,

(了 s x (杯 s x
一

一

l
一
一

+

了
Zx
。,
=

Zx

)

= 3x 一 1 (1 ) 侧 sx 一 1 + 侧 Z x “ 两次平 方 将 产 生 一 个 四 次 方 程 解 起来 可 ” 能 相 当麻 烦 其 实 这 个 方 程 可 以 有简 单
。

1

侧
Zx

)

及

了s x

一

1

十 一

侧 百 又>
1
一

1 ) 得 可由 (
1
。

,

侧sx

训
1
,

(2 )
.

的 方法 来 求 解

。

这表明
x
一

解一

邮

1

二

(s x

一

l)

一

Zx

二丁 ) 办又

即‘ 》

是

?

拐

?

中
+

警

数

学

由 (1 )
2
_ _

(2 )
一

得
2
=

训sx
、 2

3 x

,

(b ) 2 了 x 一 1 = 了 (a ) 原 方程 即 解

x

+

4

+

1

.

x

芳百
2

?

亿3 x
=

+

1

一 +

了Z x
l
+

一

1

二

1

.

、 、 诊 、 f 矛曰 了 , 、 . J ‘ 上尹

,

9x
x

一

2 0x + 4
?

0,

两 边 乘 以 了3 x 召3 x
(1 )十
x
Z

侧 Zx
一

一
= =

1

得
+
+

十

1 十
:

召Z x
5
.

1

x x

2 3

.

)
2
.

普
(
x
=

(2 )
一

2丫3x
+
=

+

l

。

得

x

=

号鲁
1
一

<

舍去 )
Zx
一

{
得x
.

6x
1
一 花

0

\ X 尸
尸

3

l

=

解二
3x
一

用 了s x
1
= =

一

了
Zx
=

1 ) 得 乘 (
1 一

1, x

Z =

5

均为原 方程 的解

。

(3 x

一 一

1 ) (了 s x
i
+

了
,

Zx

)

(b ) 原 方 程 即
2

但

3x

一

1

训 sx
,

又可得 ( 2 )

侧 同样 解 出 x

>
. 2

0

属、 齐
2

侧X
r、 ,

一

。

例 龙只 米 1纵

乙

1 一 了 x + 二 下二 二厂 订 人 一 l 丫 V
,
.

4
,

二

1

。

(3 )

.

二下下 一丁 一 入 丁 仕

得
一

由 上 面 的 处 理 可 归 纳 出这样 一 个 统 一 解

了x
一

一

1

+

斌X
3 x
“

+

4

=

3x

8

。

(4 )

法

:

(4

)

(3

) 得
4
4 4
= 一

设 f (x )

,

g

(x )

,

p r

( ) 为整 式
x

,

2

了

x +
+

9

,

方程

即

3

(了 x

)
+
.

一

2了 x

+

4
4

一

21

=

0
=

.

记 f (x )
的 方法 得 出 训 f (x ) 联立 (A )
、

士 丫g

(x )

=

甲 (x )

(A )

(了 x

+
=
=

7 ) (侧 x

+

一

3 )

0

.

可 通 过 分 解 印 (x )
干

或 乘 亿获 贾牙 干 衍百 反了 又
(x )
,

得侧 x

十

4

3
5

所 以x
训g
二

.

冲 (x )
。

.

(B )

这样

,

我 们 既 有 自 编根 式 方 程 的 简 单 而
,

(B )

可解 出侧了 又

了g

(x )

万或

迅 速 的 方法

又 有 解 自编 方 程 的 统一 方 法
。

,

,

平 方 便 化 成有 理 方 程 解 方程
3x
+

自编 根式 方程获 得 较 为 彻 底 的 解 决
(作 者 单位
:

例

.

陕 西 省 耀县 水 泥 厂 子

( )训
a

1

=

训

Zx

一

1

+

1

;

弟 学校 )

勺户 ℃ 一、

~ 、声 、

、

~ 、产 、

J

J

、J

、 、 ~、 、

一广

J

.

产、

关 于 趣 题 答案 的 补 充 意 见
1
.

贵 刊 1 9 8 3 年 第 6 期趣 题
贵刊1 98 4
。

3

的答 案

,

还 应 补 充 一个

:

车27 3 辆

,

轮54 6 个

。

(浙 江
2
.

叶朝 晖)
.

年第

3

期趣 题 的 答 案
,

1

给出193 0 月
、

年

6

月2 4 日
,

。

此题 答案 并 不唯 一
,

,

依题意

19 15

年

3

2 月1

日 也是 此 题 的 解

但 一 个 人 的 出生 年

日 只 有 一个

因此

我认 为 该题欠 妥
6

。

(沈 阳
3
.

孟 庆 良)

贵刊1 984
,

年第
,

3

期趣 题
1 79 52 2
,

3

的答 案 列 出
1 73 5 02
,

8

个
,

,

此 答案不 全
17 6 512
.

,

还 应补充 以 下

个

:

178 54 2

17 2 52 2

1 7 9 牙3 2

(四 川

黄 矛1超 )
,

(沈 阳

孟 庆 良)