【南方新课堂】2016年高考数学总复习第八章立体几何第1讲空间几何体的三视图和直观图课件理_图文

第八章 立体几何
第 1 讲 空间几何体的三视图和直观图

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能 运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 等简易组合图形)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体 模型,会用斜二测画法画出它们的直观图.
3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的 三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的 基础上,其尺寸、线条等不作严格要求).

1.多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行,上、下底面是互相平行且全等 的多边形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三 角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面 是相似多边形.

注意:(1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底 面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是正 多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.
(2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面正 多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相等的正棱 锥叫做正多面体.反过来,正棱锥的底面是正多边形,且顶点 在底面的射影是底面正多边形的中心.

2.旋转体的几何特征 (1)圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,将矩形旋转 一周而形成的曲面所围成的几何体. (2)圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转 轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体. (3)圆台:类似于棱台,圆台可看作是用一个平行于圆锥底 面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分.类似于圆锥的形 成过程,圆台还可以看作是一直角梯形绕垂直于底的腰所在的 直线旋转,其余各边旋转形成的曲面围成的几何体. (4)球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一 周形成的几何体.

3.空间几何体的三视图 (1)几何体的三视图包括:正视图、侧视图、俯视图,又称 为主视图、左视图、俯视图. (2)三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即 ___正___ 视图和侧视图一样高,正视图和___俯___ 视图一样长, ___侧___视图和俯视图一样宽. 注意:若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分 界线,在三视图中,要注意实、虚线的画法.

4.用斜二测画法画水平放置的平面图形 (1)步骤:画轴、取点、成图. (2)图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中仍平行于 x′轴 且长度保持不变,平行于 y 轴的线段,在直观图中仍平行于 y′ 轴且长度变为原来的一半,与坐标轴不平行的线段,可通过确 定端点的办法来解决. (3)画空间图形的直观图时,只需增加一个竖直的 z′轴, 图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度保 持不变.

1.如图 8-1-1 所示的是一幅电热水壶的主视图,它的俯视 图是( D )
图 8-1-1

2.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、 东、南、西、北.现又沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外 面朝上展平,得到如图 8-1-2 所示的平面图形,则标“△”的 面的方位是( B )

A.南

图 8-1-2

B.北

C.西

D.下

3.(2013 年四川)一个几何体的三视图如图 8-1-3,则该几 何体的直观图可以是( D )

A

B

C

D

图 8-1-3

4.小华拿一个矩形木框在阳光下玩,矩形木框在地面上形 成的投影不可能是( A )

考点 1 空间几何体的结构特征 例 1:(1)如图 8-1-4,模块①~⑤均由 4 个棱长为 1 的小正 方体构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块 ①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体,则下列方案中,能够完成任务的为( )

A.模块①②⑤ C.模块②④⑥

图 8-1-4 B.模块①③⑤ D.模块③④⑤

解析:本小题主要考查空间想象能力.先补齐中间一层, 只能用模块⑤或①,且如果补①,则后续两块无法补齐,所以 只能先用⑤补中间一层,然后再补齐其他两块.
答案:A

(2)在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几 何体形的 4 个顶点,这些几何形体是__________(写出所有正确 结论的编号).
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直 角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等 边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.

解析:如图D28,四边形AA1C1C 为矩形;三棱锥 B1-A1BC1 就是有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四 面体;三棱锥 D-A1BC1 就是每个面都是等边三角形的四面体; 三棱锥 A1-ABC 就是每个面都是直角三角形的四面体.

答案:①③④⑤

图 D28

【互动探究】

1.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶

点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共

有( D )

A.20 条

B.15 条

C.12 条

D.10 条

解析:正五棱柱中,上底面中的每一个顶点均可与下底面

中的两个顶点构成对角线,所以一个正五棱柱对角线的条数共

有 5×2=10(条).

考点 2 几何体的三视图 例 2:(1)(2014 年新课标Ⅰ)如图 8-1-5,网格纸的各小格都 是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何 体是( )

A.三棱锥

图 8-1-5 B.三棱柱 C.四棱锥

D.四棱柱

解析:根据三视图的法则:长对正,高平齐,宽相等,可 得几何体如图 D29.

答案:B

图 D29

(2)(2013年湖南)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个

面积为1的正方形,侧视图是一个面积为 2 的矩形,则该正方

体的正视图的面积等于( )

3 A. 2

B.1

2+1 C. 2

D. 2

解析:正方体的侧视图面积为 2 ,所以侧视图的底边长 为 2.正视图和侧视图的图形相同,所以面积也为 2.

答案:D 【规律方法】画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相等” 的原则,即“正、俯视图一样长,正、侧视图一样高,俯、侧 视图一样宽”,看得见的线条为实线,被遮挡的线条为虚线.

【互动探究】 2.将正方体(如图 8-1-6)截去两个三棱锥,得到如图 8-1-7 所示的几何体,则该几何体的侧视图为( )

图 8-1-6

图 8-1-7

解析:画出三视图.如图 D30.故选 B.

答案:B

图 D30

考点 3 几何体的直观图

例 3:已知正三角形 ABC 的边长为 ,那么aABC 的平面

直观图A′B′C′的面积为(

)

A. 43a2

B. 83a2

C. 86a2

D. 166a2

解析:如图 8-1-8(1)(2)所示的实际图形和直观图.

图 8-1-8

由斜二测画法知,A′B′=AB=a,O′C′=12OC=

3 4 a.

在图8-1-8(2)中作C′D′⊥A′B′于点D′,

则C′D′=

22O′C′=

6 8 a.

∴S△A′B′C′=12A′B′×C′D′=12×a× 86a=166a2.

答案:D

【规律方法】用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放 置的平面图形直观图的画法,而其中的关键是确定多边形顶点 的位置;将直观图还原为其空间几何体时,应抓住斜二测画法 的规则.先画出正三角形 ABC 的平面直观图A ′B′C′,再求 A ′B′C′的高即可.本题采用斜二测画法作其直观图时,底 不变,第三个顶点在 y′轴上,长度为原高的一半,但它还不 是高?夹角为45°?,所以新三角形的高是原高的 2 倍,所以直
4 观图的面积是原三角形面积的 2 倍.
4

【互动探究】 3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,则该平面图形的面积等于 ( D)

A.12+

2 2

C.1+ 2

B.1+

2 2

D.2+ 2

●易错、易混、易漏● ⊙将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误 例题:(2013 年山西诊断)如图 8-1-9,水平放置的三棱柱的 侧棱长和底面边长均为 2,且侧棱 AA1⊥底面A1B1C1,正视图是 边长为 2 的正方形,该三棱柱的侧视图面积为( )
图 8-1-9

A.4 C.2 2

B.2 3 D. 3

正解:该三棱柱的侧视图是一个矩形,矩形的高是侧棱长 为2,底边长为点C到边AB的距离2sin π3= 3 ,故其侧视图的面 积为2 3.

答案:B 【失误与防范】三视图还原求面积或体积时一定要注意几 何体摆放的形式,所给数据究竟是棱长还是棱的投影(高).


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