高中数学选修1-1课件3-4_图文

4.4

生活中的优化问题举例

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【课标要求】 1.通过实例体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决实际问题.

3. 提高学生综合运用导数知识解题的能力, 培养化归转化的意 识. 【核心扫描】 利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.(重点)

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自学导引 1.优化问题 生活中经常遇到求 利润最大 、 用料最省 、效率最高 题,这些问题通常称为优化问题. 2.用导数解决优化问题的基本思路 等问

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想一想:设两正数之和为常数 c,能否借助导数求两数之积的 a+b 最大值,并由此证明不等式 2 ≥ ab(a,b>0)? 提示 设一个正数为 x,则另一个正数为 c-x,两数之积为 f(x)=x(c-x)=cx-x2(0<x<c),f′(x)=c-2x. c 令 f′(x)=0,即 c-2x=0,得 x= . 2
? c ? c2 c 故当 x= 时,f(x)有最大值 f?2?= ,即两个正数的积不大于这 2 4 ? ?

1 两个正数和的平方的 4 .若设这两个正数分别为 a,b,则有 (a+b)2 a+b ≥ab(a>0,b>0),即 ≥ ab(a,b>0),当且仅当 a 4 2 =b 时等号成立.
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名师点睛 1.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 第一步:建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间 的函数关系式 y=f(x); 第二步:求函数的导数 f′(x),令 f′(x)=0,求出极值点; 第三步: 比较函数在区 间端点和极值点处的取值大小, 确定其 最大值或最小值.

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2.解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题中的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意 义,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x) =0 的情形,如果函数在这点处有极大(小)值,那么不与端点值 比较,也可以知道这就是最大(小)值. (3)在解决优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系式表示, 还应确定出函数关系式中自变量的取值范围.

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题型一

用料、费用最省问题

【例 1】 如图, 某工厂拟建一座平面图为矩形, 且面积为 200 m2 的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过 16 m, 如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中间两条隔墙建造单价 为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元(池壁厚度忽略 不计,且池无盖).

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(1)写出总造价 y(元)与污水处理池长 x(m)的函数关系式, 并指出其 定义域. (2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低? 并求出最低总造价. [思路探索] 分析题意 → 写出函数关系式 → 写出定义域 → 对函数关系式求导 → 讨论单调性 → 求最值

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200 解 (1)设长为 x m,则宽为 x m. ?0<x≤16, ? 25 据题意? 200 解得 ≤x≤16, 2 ?0< x ≤16, ?
? 200? 400 ?2x+2· ?×400+ y= x ? x ×248+16 ?

000

?25 ? 259 200 =800x+ x +16 000? 2 ≤x≤16?. ? ?

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259 200 (2)y′=800- =0,解得 x=18. x2 当 x∈(0,18)时,函数 y 为减函数; 当 x∈(18,+∞)时,函数 y 为增函数. 25 又∵ 2 ≤x≤16,∴当 x=16 时,ymin=45 000. ∴当且仅当长为 16 m、 宽为 12.5 m 时, 总造价 y 最低为 45 000 元. 规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一, 解决这类

问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象, 正确书写函 数表达式,准确求导,结合实际作答.

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【变式 1】 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立 方成正比.已知速度为每小时 10 海里时,燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元, 问轮船的速度 是多少时,航行 1 海里所需的费用总和最小?

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解 设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元,那么由题 设的比例关系得 p=k·3, v 其中 k 为比例系数, 它可以由 v=10, 6 p=6 求得,即 k=103=0.006,于是有 p=0.006v3. 又设当船的速度为每小时 v 海里时,行 1 海里所需的总费用为 q 元,那么每小时所需的总费用是 0.006v3+96(元),而行 1 海 1 1 里所需时间为v小时, 所以, 1 海里的总费用为: v(0.006v3 行 q= 96 +96)=0.006v + v .
2

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96 0.012 3 q′=0.012v- 2 = 2 (v -8 000), v v 令 q′=0,解得 v=20.∵当 v<20 时,q′<0; 当 v>20 时,q′>0,∴当 v=20 时取得最小值,即速度为 20 海 里/小时时,航行 1 海里所需费用总和最小.

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题型二 面积、容积的最值问题 【例 2】 如图,要设计一张矩形广告, 该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积 之和为 18 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告 面积最小? [思路探索] 解答本题可先设出未知量,根据已知条件寻求未知 量间的关系,写出面积函数,进而用导数法求函数的最值以及 取最值时变量的取值.
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解 设广告的高和宽分别为 x cm,y cm, y-25 则每栏的高和宽分别为 x-20, 2 ,其中 x>20,y>25. y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· 2 =18 000, 18 000 由此得 y= +25. x-20 广告的面积
?18 000 ? 18 000x ? S=xy=x? x-20 +25?= +25x, ? x-20 ? ?

18 000[(x-20)-x] -360 000 ∴S′= +25= 2 2+25. (x-20) (x-20) 令 S′>0 得 x>140,令 S′<0 得 20<x<140.
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∴函数在(140, +∞)上单调递增, 在(20, 140)上单调递减, ∴S(x) 的最小值为 S(140). 当 x=140 时,y=175.即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24 500,故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的 面积最小.

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规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量, 将面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利 用导数求解函数的最值. (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 ①找关系:分析实际问题中各量之间的关系;②列模型:列出 实际问题的数学模型;③写关系:写出实际问题中变量之间的 函数关系 y=f(x); ④求导: 求函数的导数 f′(x), 解方程 f′(x)=0; ⑤比较:比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的数值的大 小,最大(小)者为最大(小)值;⑥结论:根据比较值写出答案.
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【变式 2】 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面半 径应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解 如图,设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 S=2π Rh

+2π R2, V 由 V=π R h,得 h= 2, πR
2

V 2V 2 则 S(R)=2π R +2π R2, 2+2π R = R πR 2V 令 S′(R)=- 2 +4π R=0,解得 R= R 3 V , 2π

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V 从而 h= = π R2

3 4V 3 V = =2 ,即 h=2R. π 2π ?3 ?2 V ? π ? ? 2π ? V

因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值. 所以,当罐的高与底直径相等时,所用材料最省.

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题型三

成本最省、利润最大问题

【例 3】 (12 分)甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶 到乙地,速度不得超过 c 千米/时,已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v 千米/时的平方成正比,比例系数为 b(b>0);固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出 这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

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审题指导

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[规范解答] (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间 s 为v,全程运输成本为
? s s ?a ? 2 y=a·+bv ·v=s?v+bv?,(2 分) ? v ? ?

∴所求函数及其定义域为

?a ? ? y=s?v+bv?,v∈(0,c] ? ? ?

(4 分)

(2)由题意 s、a、b、v 均为正数.
? a? ? y′=s?b-v2?=0 ? ? ?

得 v=

a b.但 v∈(0,c].

(6 分)

①若

a b≤c,则当 v=

a b时,全程运输成本 y 最小;(8 分)
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②若

a b>c,则 v∈(0,c],

此时 y′<0,即 y 在(0,c]上为减函数. 所以当 v=c 时,y 最小. 综上可知,为使全程运输成本 y 最小, 当 当 a b≤c 时,行驶速度 v= a b>c 时,行驶速度 v=c. a b; (12 分) (10 分)

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【题后反思】 正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是 解题的主要思路.另外需注意: ①合理选择变量,正确给出函数关系式. ②与实际问题相联系. ③必要时注意分类讨论思想的应用.

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【变式 3】 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C 1 =100+4q, 价格 p 与产量 q 的函数关系式为 p=25-8q.求产量 q 为何值时,利润 L 最大? 解 收入 利润
? 1 ? 1 ?25- q?=25q- q2, R=q· p=q 8 ? 8 ?

? 1 2? L=R-C=?25q-8q ?-(100+4q) ? ?

1 2 =-8q +21q-100(0<q<200), 1 L′=-4q+21,
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1 令 L′=0,即-4q+21=0,求得唯一的极值点 q=84. 所以产量为 84 时,利润 L 最大. 方法技巧 转化与化归思想在生活优化问题中的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题,通过认真阅 读理解关于实际问题的材料,建立相关数学模型,转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题.其解决问题的过程就 体现了转化与化归的思想,基本思路如图:

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【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销,在一年内,预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的函 3x+1 数关系为 Q= (x≥0),已知生产此产品的年固定投入为 3 x+1 万元, 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元. 若每件产品售价 为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数.如果年 广告费投入 100 万元,企业是亏损还是盈利? (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?
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[思路分析] (1)利用题中等量关系找出 y 与 x 的函数关系式, x=100 将 代入所求关系式判断 y>0 还是 y<0; (2)求出(1)中函数关系式的导函数,再利用导数求最值. 解 (1)由题意,每年销售 Q 万件,共计成本为(32Q+3)万元.销售

收入是(32Q+3)· 150%+x· 50%,所以年利润 y=(年收入)-(年成本) 3 1 1 -(年广告费)= (32a+3)+ x-(32Q+3)-x= · (32Q+3-x)= 2 2 2
? -x2+98x+35 3x+1 1? ? 32× +3-x?= (x≥0),所以所求的函数关系式 ? 2? x+1 2(x+1) ? ?

-x2+98x+35 为 y= (x≥0).当 x=100 时,y<0,即当年广告费投入 2(x+1) 100 万元时,企业亏损.
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-x2+98x+35 (2)由 y=f(x)= (x≥0)可得 2(x+1) (-2x+98)· 2(x+1)-2(-x2+98x+35) f′(x)= 4(x+1)2 -x2-2x+63 = 2(x+1)2 令 f′(x)=0,则 x2+2x-63=0. 所以 x=-9(舍去)或 x=7. 又 x∈(0,7)时,f′(x)>0; x∈(7,+∞)时,f′(x)<0,所以 f(x)极大值=f(7)=42.

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又因为在(0,+∞)上只有一个极值点, 所以 f(x)max=f(x)极大值=f(7)=42. 故当年广告费投入 7 万元时,企业年利润最大. 方法点评 用导数解最值应用题,一般应分为五个步骤: (1)建立函数关系式 y=f(x);(2)求导函数 y′;(3)令 y′=0,求出 相应的 x0;(4)指出 x=x0 处是最值点的理由;(5)对题目所问作 出回答,求实际问题中的最值问题时,可以根据实际意义确定 取得最值时变量的取值.

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