数学文1模参考答案


2013 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第一次适应性训练 数学(文科)参考答案与评分标准 一、选择题: 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 C 9 C 10 C

二、填空题: 1 ? (或 ) 11. 12. 45? 4 4 15.A [?3,1] ; B.
12 ; 5

13.8

14.

2 3

C. ? ?1, ?2? 或? 2,1?

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) π π π π 3 【解】(Ⅰ) f ( ) ? cos2 (? ) ? sin 2 ? cos ? : .………5 分 12 12 12 6 2 1 π 1 (Ⅱ) f ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] ? (1 ? cos 2 x) 2 3 2 1 π 1 3 3 ? [cos(2 x ? ) ? cos 2 x] ? ( sin 2 x ? cos 2 x) 2 3 2 2 2 3 π ? sin(2 x ? ) .………………………………9 分 2 3 π π π 4π π π π ∵ x ? [0, ] ,∴ 2 x ? ? [ , ] , ∴当 2 x ? ? ,即 x ? 时, 2 3 3 3 3 2 12 3 f ( x) 取得最大值 .……12 分 2 17. (本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)由频率分布直方图可知,样本中身高介于 185cm~190cm 的频率为: :
1 ? (0.008 ? 0.016 ? 0.04 ? 0.04 ? 0.06 ? 0.016 ? 0.008) ? 5 ? 0.06 , … … …… 3 分

∴800 名学生中身高在 180cm 以上的人数为:
800 ? (0.016 ? 5 ? 0.06 ? 0.008 ? 5) ? 144 人.

…… …… …… …… …… 6 分

( Ⅱ ) 样 本 中 , 身 高 介 于 185cm~190cm 的 学 生 人 数 为 50 ? 0.06 ? 3 人 , 身 高 介 于 190cm~195cm 的学生人数为 50 ? 0.008 ? 5 ? 2 人.…… …… …… 8 分 ∴“ 身 高 在 185cm 以 上 的 学 生 5 人 中 随 机 抽 取 2 名 学 生 ” 的 基 本 事 件 数 共 10 种, … …… ………10 分 其中抽取的 2 名学生中“身高在 190cm 以上的学生中至少有一名学生”的基本事件数有 7 种. 7 ∴所求事件的概率为 P ? . …… …… …… …… …… …… …… …… 12 分 10

数学(理) 参考答案

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18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图,取 AC 中点 N,连结 MN、BN, ∵EC⊥平面 ABC,BD⊥平面 ABC,∴EC∥BD. …………………2 分 △ECA 中,M、N 分别是 EA、CA 中点,∴MN∥EC, 1 且 MN=2EC.又∵EC=2BD,∴MN∥BD 且 MN=BD. ∴ 四边形 MNBD 是平行四边形.…………………4 分
D AC ∴MD∥BN.,又 M ? 面 B ,BN ? 面ABC ,所以 MD∥

面 ABC;………………… 6 分 (Ⅱ)∵正三角形 ABC 中,N 是 AC 中点,∴BN⊥AC. ………………… 8 分 又∵EC⊥平面 ABC,平面 AEC⊥平面 ABC,且交线为 AC, BN ? 面ABC ,∴BN⊥平面 ECA. …………………10 分 而 MD∥BN.∴MD⊥平面 ECA,因 MD ? 面AED ,所以平面 DEA⊥平面 ECA. …… 12 分 19.(本小题满分 12 分) 【解】(Ⅰ)设等差数列 {an }的公差为 d ? 0 . : 因为 S3 = a4 + 4 , 3创2 d = a1 + 3d + 4 . 所以 3a1 + 2 因为 a1 , a2 , a4 成等比数列, 所以 a1 (a1 + 3d ) = (a1 + d )2 . ② 由①,②可得: a1 = 2, d = 2 . ①

…………………5 分 ………………………6 分

所以 an = 2n .………………………7 分 (2 + 2n) n = n (n + 1) .…………9 分 (Ⅱ)由 an = 2n 可知: S n = 2 1 1 1 1 所以 = .………………11 分 = Sn n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 1 所以 + + + ?+ + S1 S2 S3 Sn- 1 Sn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = - + - + - + ?+ - + ) = 1= . 1 2 2 3 3 4 n- 1 n n n + 1 n+ 1 n+ 1 n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 . ……………12 分 n+ 1 Sn

数学(理) 参考答案

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20.(本小题满分 13 分) 【 解 】 ( Ⅰ ) 依 题 意 F (1, 0) , 设 直 线 AB 方 程 为 : x ? m y? 1 . 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立,消去 x 得 2 y ? 4my ? 4 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 所以 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 . ①……………3 分 ??? ? ??? ? 因为 AF ? 2 FB , 所以 y1 ? ?2 y2 . ② 联立①和②,消去 y1 , y2 ,得 m ?

y

A

M

C x

O

F

B

2 . 4 所以直线 AB 的斜率是 2 2 .……………6 分 1 (Ⅱ)解:因为 S? AOB ? ? | OF | ? | y1 ? y2 | ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ,……………10 分 2

S? AOB ? 4 1 ? m2 所以 m ? 0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4 ,……………13 分
21. (本小题满分 14 分)
1 1? x ? x x ?( x ) >0;当 x>1 时。 f ?( x ) <0,∴ x ? 1 是 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上唯一的 当 0<x<1 时, f 极(大)值点,则 f ( x)max ? f (1) ? ?1 …………………………………(4 分) 1 1 (Ⅱ)∴ f ?( x ) ? a ? ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ? ? 0 , a x 1 1 ①当 ? ?e ,即 a?? 时, f ?( x ) ≥ 0 , 从 而 f ( x) 在 ? 0, e? 上 单 调 递 增 , ∴ a e f ( x)max ? f (e) ? ae ? 1 ? 0 舍; 1 1 ② 当 0 ? ? ? e , 即 a ? ? 时 , f ( x ) 在 (0, ? 1 ) 上 递 增 , 在 (? 1 , e) 上 递 减 , a a a e ………………(10 分) f ( x)max ? f (? 1 ) ? ?1 ? ln(? 1 ) ,令 ?1? ln( ? )1 ??3 ,得 a ? ?e2 a a a
【解】(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x ? ln x , f ?( x) ? ?1 ? :

(Ⅲ)由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时, f ( x)max ? f (1) ? ?1,∴| f ( x) |≥1, ln x 1 1 ? ln x ? , ? ?( x) ? 又令 ? ( x) ? , ? ( x) ? ? (e) ? 1 ? 1 ? 1 ,∴方程无解.……(14 分) e 2 x 2 x2

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