2014理科全国Ⅰ

2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国Ⅰ)
注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 课标全国Ⅰ,理 1)已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B=( ). A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2)

16 15 D. 5 8 1 ? sin? ? π? ? π? 8.(2014 课标全国Ⅰ,理 8)设 ? ? ? 0, ? , ? ? ? 0, ? ,且 tan? ? ,则( ). cos? ? 2? ? 2? π π π π A. 3? ? ?= B. 3? ? ? ? C. 2? ? ? ? D. 2? ? ? ? 2 2 2 2 ?x ? y ? 1 9.(2014 课标全国Ⅰ,理 9)不等式组 ? 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4 p1: ? (x,y)∈D,x+2y≥-2, p2: ? (x,y)∈D,x+2y≥2, p3: ? (x,y)∈D,x+2y≤3, p4: ? (x,y)∈D,x+2y≤-1,
A. B. C. 其中的真命题是( ). A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 10.(2014 课标全国Ⅰ,理 10)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点.若 FP ? 4FQ ,则|QF|=( A. ).

20 3

7 2

?1 ? i ?3 2.(2014 课标全国Ⅰ,理 2) =( ?1 ? i ?2

).

A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.(2014 课标全国Ⅰ,理 3)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论 中正确的是( ). A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 2 2 4.(2014 课标全国Ⅰ,理 4)已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近 线的距离为( ). A. 3 B.3 C. 3m D.3m 5.(2014 课标全国Ⅰ,理 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有 同学参加公益活动的概率为( ). A.

7 2

B.3

C.

5 2

D.2

11.(2014 课标全国Ⅰ,理 11)已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x0>0,则 a 的取 值范围是( ). A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) 12.(2014 课标全国Ⅰ,理 12)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ).

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.(2014 课标全国Ⅰ,理 6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射 线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图像大致为( ). D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2014 课标全国Ⅰ,理 13)(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为__________.(用数字填写答案) 14.(2014 课标全国Ⅰ,理 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________. 7.(2014 课标全国Ⅰ,理 7)执行下面的程序框图,若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出的 M=( ). 15.(2014 课标全国Ⅰ,理 15)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 AO ? A. 6 2 B.6 C. 4 2

1 AB ? AC 则 AB 与 AC 的夹角 2

?

?

为__________. 16.(2014 课标全国Ⅰ,理 16)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且 (2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国Ⅰ,理 17)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0, anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

19.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国Ⅰ,理 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB⊥B1C.

(1)证明:AC=AB1; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,AB=BC,求二面角 A-A1B1-C1 的余弦值.

be x ?1 18.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国Ⅰ,理 21)设函数 f ? x ? ? ae lnx ? ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) x
x

处的切线方程为 y=e(x-1)+2. (1)求 a,b; (2)证明:f(x)>1.

x2 y 2 20.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国Ⅰ,理 20)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心 a b 3 2 3 率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 2 3
(1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

2

21.(本小题满分 10 分)(2014 课标全国Ⅰ,理 23)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C:

?x ? 2 ? t x y ? ? 1 ,直线 l: ? (t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
2 2

23.(本小题满分 12 分)(2014 课标全国Ⅰ,理 18)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的 一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.

(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表). (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ,σ2),其中 μ 近似为样本平均数 x , σ2 近似为样本方差 s2. ①利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2); ②某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2) 的产品件数.利用①的结果,求 E(X). 附: 150 ≈12.2.若 Z~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4. 22.(本小题满分 10 分)(2014 课标全国Ⅰ,理 24)选修 4—5:不等式选讲 若 a>0,b>0,且

(1)求 a3+b3 的最小值; (2)是否存在 a,b,使得 2a+3b=6?并说明理由.

1 1 ? ? ab . a b

3


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