武都区二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

武都区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 三个数 a=0.52,b=log20.5,c=20.5 之间的大小关系是(



A.b<a<c B.a<c<b C.a<b<c D.b<c<a

2. 直线 x+y﹣1=0 与 2x+2y+3=0 的距离是( )

A. B. C. D.

3. 给出下列各函数值:①sin100°;②cos(﹣100°);③tan(﹣100°);④

.其中符号为

负的是( )

A.①

B.②

C.③

D.④

4. 数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+2,a5+3 构成公比为 q 的等比数列,则 q=(



A.1 B.2 C.3 D.4

5. 为了得到函数

的图象,只需把函数 y=sin3x 的图象( )

A.向右平移 个单位长度

B.向左平移 个单位长度

C.向右平移 个单位长度

D.向左平移 个单位长度

6. 设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(﹣2)=0,当 x>0 时,xf′(x)﹣f(x)<0,则使 得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A.(﹣∞,﹣2)∪(0,2) B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)C.(﹣2,0)∪(2,+∞) D.(﹣2,0) ∪(0,2)

7. 在

中,角 、 、 所对应的边分别为 、 、 ,若角 、 、 依次成等差数列,且 ,

,则 等于( )

A.

B.

C.

D.2

8. 已知 lga+lgb=0,函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能是(



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A.

B.

C.

D.

9. 若函数 f(x)=﹣2x3+ax2+1 存在唯一的零点,则实数 a 的取值范围为(



A.[0,+∞)B.[0,3] C.(﹣3,0] D.(﹣3,+∞)

10.函数 y=sin(2x+ )图象的一条对称轴方程为( ) A.x=﹣ B.x=﹣ C.x= D.x=

11.已知集合 A ? {?2, ?1,1, 2, 4}, B ? {y | y ? log2 | x | ?1, x ? A},则 A B ? ( )

A.{?2, ?1,1}

B.{?1,1, 2}

C.{?1,1}

D.{?2, ?1}

【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力.

12.已知点 P 是双曲线

C:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1 (a

?

0, b

? 0) 左支上一点, F1 , F2 是双曲线的左、右两个焦点,且

PF1 ? PF2 , PF2 与两条渐近线相交于 M , N 两点(如图),点 N 恰好平分线段 PF2 ,则双曲线的离心率

是( )

A. 5

B.2

C. 3

D. 2

【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识,意在考查运算求解能力.

二、填空题

13.已知圆 C:x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 ,则其圆心坐标是_________, m 的取值范围是________.

【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识,意在考查运算求解能力.

14.空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.

①若 AC=BD,则四边形 EFGH 是



②若 AC⊥BD,则四边形 EFGH 是



15.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球 运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .

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16.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根,则 S6= .

17.下列命题: ①终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= ,k∈Z}; ②在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点; ③把函数 y=3sin(2x+ )的图象向右平移 个单位长度得到 y=3sin2x 的图象;

④函数 y=sin(x﹣ )在[0,π]上是减函数

其中真命题的序号是



18.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】在平面直角坐标系 xOy 中,P 是曲线 C:y=ex 上 一点,直线 l:x+2y+c=0 经过点 P,且与曲线 C 在 P 点处的切线垂直,则实数 c 的值为________.
三、解答题
19.已知函数 f(x)=(ax2+x﹣1)ex,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (Ⅰ)若 a=0,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(Ⅱ)若

,求 f(x)的单调区间;

(Ⅲ)若 a=﹣1,函数 f(x)的图象与函数 围.

的图象仅有 1 个公共点,求实数 m 的取值范

20.(本小题满分 12 分)
在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c , ( 3 ?1)a cos B ? 2b cos A ? c , (Ⅰ)求 tan A 的值;
tan B (Ⅱ)若 a ? 6 , B ? ? ,求 ?ABC 的面积.
4
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21.如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE∥CF,BC⊥CF, (Ⅰ)求证:EF⊥平面 DCE; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°.

,EF=2,BE=3,CF=4.

22.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b2+c2=a2+bc. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)如果 cosB= ,b=2,求 a 的值.
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23.已知 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a. (1)若不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3],求实数 a,b 的值; (2)若 b=3,求不等式 f(x)>0 的解集.

24.已知函数 f(x)=a﹣



(1)若 a=1,求 f(0)的值; (2)探究 f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若函数 f(x)为奇函数,判断|f(ax)|与 f(2)的大小.

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武都区二中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:∵a=0.52=0.25, b=log20.5<log21=0, c=20.5>20=1, ∴b<a<c. 故选:A. 【点评】本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数、对数函数的单调性的 合理运用.
2. 【答案】A 【解析】解:直线 x+y﹣1=0 与 2x+2y+3=0 的距离,就是直线 2x+2y﹣2=0 与 2x+2y+3=0 的距离是:
=. 故选:A.
3. 【答案】B 【解析】解::①sin100°>0,②cos(﹣100°)=cos100°<0,③tan(﹣100°)=﹣tan100>0,
④∵sin >0,cosπ =﹣1,tan <0,



>0,

其中符号为负的是②, 故选:B. 【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断,判断角所在的象限是解决本题的关键,比较基础.

4. 【答案】A 【解析】解:设等差数列{an}的公差为 d, 由 a1+1,a3+2,a5+3 构成等比数列, 得:(a3+2)2=(a1+1)(a5+3), 整理得:a32+4a3+4=a1a5+3a1+a5+3

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即(a1+2d)2+4(a1+2d)+4=a1(a1+4d)+4a1+4d+3. 化简得:(2d+1)2=0,即 d=﹣ .

∴q=

=

=1.

故选:A. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题.

5. 【答案】A 【解析】解:把函数 y=sin3x 的图象向右平移 个单位长度,可得 y=sin3(x﹣ )=sin(3x﹣ )的图象,

故选:A. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,属于基础题.

6. 【答案】A 【解析】解:设 g(x)=

,则 g(x)的导数为:

g′(x)=



∵当 x>0 时总有 xf′(x)﹣f(x)<0 成立, 即当 x>0 时,g′(x)<0, ∴当 x>0 时,函数 g(x)为减函数,

又∵g(﹣x)=

=

=

=g(x),

∴函数 g(x)为定义域上的偶函数, ∴x<0 时,函数 g(x)是增函数,

又∵g(﹣2)=

=0=g(2),

∴x>0 时,由 f(x)>0,得:g(x)<g(2),解得:0<x<2, x<0 时,由 f(x)>0,得:g(x)>g(﹣2),解得:x<﹣2, ∴f(x)>0 成立的 x 的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(0,2). 故选:A.

7. 【答案】C

【解析】

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因为角 、 、 依次成等差数列,所以

由余弦定理知

,即

所以

, 故选 C

,解得

答案:C

8. 【答案】B

【解析】解:∵lga+lgb=0
∴ab=1 则 b= 从而 g(x)=﹣logbx=logax,f(x)=ax 与 ∴函数 f(x)与函数 g(x)的单调性是在定义域内同增同减 结合选项可知选 B, 故答案为 B

9. 【答案】 D 【解析】解:令 f(x)=﹣2x3+ax2+1=0, 易知当 x=0 时上式不成立;

故 a=

=2x﹣ ,

令 g(x)=2x﹣ ,则 g′(x)=2+ =2



故 g(x)在(﹣∞,﹣1)上是增函数, 在(﹣1,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数;
故作 g(x)=2x﹣ 的图象如下,

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g(﹣1)=﹣2﹣1=﹣3, 故结合图象可知,a>﹣3 时, 方程 a=2x﹣ 有且只有一个解, 即函数 f(x)=﹣2x3+ax2+1 存在唯一的零点, 故选:D.
10.【答案】A

【解析】解:对于函数 y=sin(2x+ ),令 2x+ =kπ+ ,k∈z,
求得 x= π,可得它的图象的对称轴方程为 x= π,k∈z, 故选:A. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性,属于基础题.

11.【答案】C

【解析】当 x ?{?2, ?1,1, 2, 4}时, y ? log2 | x | ?1?{?1,1, 0} ,所以 A B ? {?1,1} ,故选 C.

12.【答案】A.









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二、填空题 13.【答案】 (1, ?2) , (??,5) . 【解析】将圆的一般方程化为标准方程, (x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ? m ,∴圆心坐标 (1, ?2) , 而 5 ? m ? 0 ? m ? 5,∴ m 的范围是 (??,5) ,故填: (1, ?2) , (??,5) .
14.【答案】 菱形 ; 矩形 .
【解析】解:如图所示:①∵EF∥AC,GH∥AC 且 EF= AC,GH= AC ∴四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC=BD ∴EF=FG ∴四边形 EFGH 是菱形. ②由①知四边形 EFGH 是平行四边形 又∵AC⊥BD, ∴EF⊥FG ∴四边形 EFGH 是矩形. 故答案为:菱形,矩形
【点评】本题主要考查棱锥的结构特征,主要涉及了线段的中点,中位线定理,构成平面图形,研究平面图形 的形状,是常考类型,属基础题.
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15.【答案】 12 .

【解析】解:设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10﹣x)人, 由此可得(15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解得 x=3, 所以 15﹣x=12, 即所求人数为 12 人, 故答案为:12.

16.【答案】63 【解析】解:解方程 x2﹣5x+4=0,得 x1=1,x2=4. 因为数列{an}是递增数列,且 a1,a3 是方程 x2﹣5x+4=0 的两个根, 所以 a1=1,a3=4.

设等比数列{an}的公比为 q,则

,所以 q=2.





故答案为 63. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础的计算题.

17.【答案】 ③ .

【解析】解:①、终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

,k∈Z},故①错误;

②、设 f(x)=sinx﹣x,其导函数 y′=cosx﹣1≤0, ∴f(x)在 R 上单调递减,且 f(0)=0, ∴f(x)=sinx﹣x 图象与轴只有一个交点. ∴f(x)=sinx 与 y=x 图象只有一个交点,故②错误;

③、由题意得,y=3sin[2(x﹣ )+ ]=3sin2x,故③正确;

④、由 y=sin(x﹣ )=﹣cosx 得,在[0,π]上是增函数,故④错误.
故答案为:③. 【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用,终边相同的角,正弦函数的性质,图象的平移变换, 及三角函数的单调性,熟练掌握上述基础知识,并判断出题目中 4 个命题的真假,是解答本题的关键.

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18.【答案】-4-ln2

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【解析】 点睛:曲线的切线问题就是考察导数应用,导数的含义就是该点切线的斜率,利用这个我们可以求出点的坐标, 再根据点在线上(或点在曲线上),就可以求出对应的参数值。
三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵a=0,∴f(x)=(x﹣1)ex,f′(x)=ex+(x﹣1)ex=xex, ∴曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=f(1)=e. 又∵f(1)=0,∴所求切线方程为 y=e(x﹣1), 即.ex﹣y﹣4=0 (Ⅱ)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x﹣1)ex=[ax2+(2a+1)x]ex=[x(ax+2a+1)]ex,
①若 a=﹣ ,f′(x)=﹣ x2ex≤0,∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,+∞),

②若 a<﹣ ,当 x<﹣ 或 x>0 时,f′(x)<0;

当﹣ <x<0 时,f′(x)>0.

∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣ ],[0,+∞);单调递增区间为[﹣ ,0]. (Ⅲ)当 a=﹣1 时,由(Ⅱ)③知,f(x)=(﹣x2+x﹣1)ex 在(﹣∞,﹣1)上单调递减, 在[﹣1,0]单调递增,在[0,+∞)上单调递减, ∴f(x)在 x=﹣1 处取得极小值 f(﹣1)=﹣ ,在 x=0 处取得极大值 f(0)=﹣1,



,得 g′(x)=2x2+2x.

当 x<﹣1 或 x>0 时,g′(x)>0;当﹣1<x<0 时,g′(x)<0. ∴g(x)在(﹣∞,﹣1]上单调递增,在[﹣1,0]单调递减,在[0,+∞)上单调递增.

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故 g(x)在 x=﹣1 处取得极大值



在 x=0 处取得极小值 g(0)=m, ∵数 f(x)与函数 g(x)的图象仅有 1 个公共点,

∴g(﹣1)<f(﹣1)或 g(0)>f(0),即.



【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

20.【答案】

【解析】(本小题满分 12 分)

解: (Ⅰ)由 ( 3 ?1)a cos B ? 2b cos A ? c 及正弦定理得

( 3 ?1) sin Acos B ? 2sin B cos A ? sin C ? sin Acos B+ cos Asin B , (3 分)

∴ 3 sin Acos B ? 3sin B cos A ,∴ tan A ? 3 (6 分) tan B

(Ⅱ) tan A ?

3 tan B ?

3 , A ? ? , b ? a sin B ?

3

sin A

6 sin ?

4 sin ?

? 2,

(8 分)

3

sin C ? sin( A ? B) ? 6 ? 2 , (10 分) 4

∴ ?ABC 的面积为 1 ab sin C ? 1 ? 6 ? 2? 6 ? 2 ? 1 (3 ? 3) (12 分)

2

2

4

2

21.【答案】

【解析】证明:(Ⅰ)在△BCE 中,BC⊥CF,BC=AD= ,BE=3,∴EC= , ∵在△FCE 中,CF2=EF2+CE2,∴EF⊥CE 由已知条件知,DC⊥平面 EFCB,

∴DC⊥EF,又 DC 与 EC 相交于 C,∴EF⊥平面 DCE

解:(Ⅱ)

方法一:过点 B 作 BH⊥EF 交 FE 的延长线于 H,连接 AH.

由平面 ABCD⊥平面 BEFC,平面 ABCD∩平面 BEFC=BC,

AB⊥BC,得 AB⊥平面 BEFC,从而 AH⊥EF.

所以∠AHB 为二面角 A﹣EF﹣C 的平面角.

在 Rt△CEF 中,因为 EF=2,CF=4.EC=

∴∠CEF=90°,由 CE∥BH,得∠BHE=90°,又在 Rt△BHE 中,BE=3,



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由二面角 A﹣EF﹣C 的平面角∠AHB=60°,在 Rt△AHB 中,解得



所以当 时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°

方法二:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 C﹣

xyz.

设 AB=a(a>0),则 C(0,0,0),A( ,0,a),B( ,0,0),E( ,3,0),F(0,4,0).

从而



设平面 AEF 的法向量为

,由

得,

,取 x=1,



,即



不妨设平面 EFCB 的法向量为



由条件,得

解得 .所以当 时,二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°.

【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,其中(I)的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直 与面面垂直的之间的相互转化,(II)的关键是建立空间坐标系,将二面角问题,转化为向量的夹角问题.

22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵b2+c2=a2+bc,即 b2+c2﹣a2=bc,

∴cosA=

=,

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又∵A∈(0,π), ∴A= ;

(Ⅱ)∵cosB= ,B∈(0,π),

∴sinB=

=,

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由正弦定理 = ,得 a=

=

=3.

【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.
23.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 f(x)=x2﹣(a+b)x+3a, 当不等式 f(x)≤0 的解集为[1,3]时, 方程 x2﹣(a+b)x+3a=0 的两根为 1 和 3, 由根与系数的关系得

解得 a=1,b=3; (2)当 b=3 时,不等式 f(x)>0 可化为 x2﹣(a+3)x+3a>0, 即(x﹣a)(x﹣3)>0; ∴当 a>3 时,原不等式的解集为:{x|x<3 或 x>a}; 当 a<3 时,原不等式的解集为:{x|x<a 或 x>3}; 当 a=3 时,原不等式的解集为:{x|x≠3,x∈R}. 【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题,是基础题目.
24.【答案】

【解析】解:(1)a=1 时:f(0)=1﹣

=;

(2)∵f(x)的定义域为 R∴任取 x1x2∈R 且 x1<x2

则 f(x1)﹣f(x2)=a﹣

﹣a+

=



∵y=2x 在 R 是单调递增且 x1<x2

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∴0<2x1<2x2,∴2x1﹣2x2<0, 2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上单调递增. (3)∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x),

即 a﹣

=﹣a+



解得:a=1. ∴f(ax)=f(x) 又∵f(x)在 R 上单调递增 ∴x>2 或 x<﹣2 时:|f(x)|>f(2), x=±2 时:|f(x)|=f(2), ﹣2<x<2 时:|f(x)|<f(2). 【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题.在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单 调性定义的应用以及问题转化的能力.值得同学们体会和反思.

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