高中数学反证法方法与例题_图文

反证法

3 3 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2. 变式 1 设

证明 假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a ? 8 ? 12b ? 6b ? b ,
3 3 2 3

a ? b ? 6b ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) ? 2.
3 2 2

因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,
2
3 3

这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾,
3 3

所以,原不等式 a ? b ? 2 成立.

例 2 已知 a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0, 求证: a, b, c > 0.
证明 假设 a < 0, ∵ abc > 0, ∴ bc < 0 又由 a + b + c > 0, 则 b + c = ? a > 0 ∴ ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0,与题设矛盾 若 a = 0,则与 abc > 0 矛盾, ∴必有 a > 0 同理可证:b > 0,c > 0.

例 3 设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,

1 不可能同时大于 . 4

1 证明 设 (1 ? a) b > , 4

1 (1 ? c)a > , 4 1 则三式相乘: (1 ? a) b? (1 ? b) c?(1 ? c)a > ① 64
2

1 (1 ? b)c > , 4

? (1 ? a) ? a ? 又∵ 0 < a, b, c < 1∴ 0 ? (1 ? a)a ? ? ? 2 ? ?
1 同理: (1 ? b)b ? , 4

1 ? 4

1 (1 ? c )c ? ,以上三式相乘: 4 1 (1 ? a)a? (1 ? b) b? (1 ? c) c≤ 64
与①矛盾,∴原式成立.

变式 3 设数列{an}是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列 {Sn}是等差数列吗?为什么?
2 S2=S1 S3,

解 (1)证明 假设数列{ Sn}是等比数列,则 2 2 2 即 a1(1+ q) = a1 · a1 · (1+ q+ q ),因为 a1≠ 0, 2 2 所以 (1+ q) = 1+ q+ q ,即 q= 0,这与公比 q≠ 0 矛盾, 所以数列 {Sn}不是等比数列. (2)当 q=1 时,{Sn }是等差数列; 当 q≠1 时,{Sn }不是等差数列, 2 否则 2S2 =S1 +S3 ,即 2a1 (1+q)=a1 +a1 (1+q+q ), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾.

例 1 设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,

1 证明 假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于 ,则 2

1 求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小于 . 2

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.

( 1)

另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

( 2)

( 1) 、 ( 2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确.

例 2 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= 1+ 2,S3= 9+ 3 2. (1) 求数列 {an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn * (2)设 bn= (n∈ N ),求证:数列 {bn}中任意不同的三项 n 都不可能成为等比数列.

? ?a1 ? 2 ? 1 解 (1)由已知得 ? , ? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2
∴ d= 2,故 an= 2n- 1+ 2, Sn= n(n+ 2).

Sn (2)证明:由 (1)得 bn= = n+ 2. n

假设数列 {bn}中存在三项 bp、 bq、 br (p、 q、 r 互不相等 )成等比数列, 则 bq = bp br,即 (q+ 2) =(p+ 2)(r+ 2), ∴ (q2- pr)+(2q- p- r) 2= 0.
2 2

?q2 ? pr ? 0 ∵ p, q, r∈ N,∴ ? ?2q ? p ? r ? 0
p?r 2 ) ? pr , (p- r)2= 0,∴ p= r,与 p≠r 矛盾. ∴( 2
所以数列 {bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.

2. 反证法的证明步骤:
①否定结论:假设命题的结论不成立,即结论的反面成立; ②推出矛盾:由结论反面成立出发, 通过一系列正确的推理,导出矛盾; ③否定假设:由正确的推导导出了矛盾, 说明假设不成立; ④肯定结论:原命题正确.

1 1 k 9. 若 a ? b ? c ,则使 恒成立的 ? ? a?b b?c a?c 最大的正整数 k 为 .

1 1 k 解 由题意 a ? b ? 0, b ? c ? 0, a ? c ? 0 ,故 ? ? a?b b?c a?c 1 1 1 1 ? ( ? )(a ? c) ? k ? ( ? )[(a ? b) ? b ? c)] ? k a ?b b?c a ?b b ?c a ?b b?c a ?b b?c ? ? k 恒成立,故 2 ? ? |min ? k , 即2? b?c a ?b b?c a ?b

a ?b b ?c a ?b b ?c ? ? 2?2 ? ? 4 ,所以 k ? 4 ,即最大的正整数 k 为 4. 又2? b ?c a ?b b ?c a ?b


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