新。椭圆及其标准方程(第一课时)_图文

X

§2.2.1 椭圆及其标准方程

生活中 的椭圆

M

数学实验
[1]取一条细绳, [2]把它的两端固定在板上 的两点F1、F2 [3]用铅笔尖(M)把细绳 拉紧,在板上慢慢移动观察 画出的图形

F1

F2

椭圆的图形
椭圆

其他

观察做图过程: [1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。

[2]由于绳长固定,所以 M 到两个定点 的距离和也固定。

|MF1|+|MF2|=2a 一、 椭圆定义:

(2a>2c>0, |F1F2|=2c)

平面内与两个定点 F1 , F2 的距离和等于常数(大于 | F1F2 | )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦 M 点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . 注意:
MF1 + MF2 > F1F2 即2a>2c时 表示椭圆
MF1 + MF2 = F1F2 即2a=2c时
MF1 + MF2 < F1F2
即2a<2c时 表示线段 不表示任何图形 F1 F2

练习1.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,
则动点P的轨迹为( A.椭圆 B.线段F1F2

A )
C.直线F1F2 D.无轨迹

变式:
(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则

动点P的轨迹为( B )
(2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则

动点P的轨迹为( D )

建系、设点、列式、化简、证明、检验

探究活动
? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

思考?怎样
y F2

y M M
O F2

建立坐标系才能 使椭圆的方程简 单?

xx x

O

x F1

x

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁”

建系的一般原则
建系的一般原则为:使已知点的 坐标和曲线的方程尽可能简单,即 原点取在定点或定线段的中点,坐 标轴取在定直线上或图形的对称轴 上,充分利用图形的对称性.
.

二、椭圆的标准方程的推导
解:取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂 直平分线为y轴,建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点,椭圆的焦距2c(c>0),M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ,则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(?c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义得,椭圆就是集合:P ? M

x

?

MF1 ? MF2 ? 2 a?

代入坐标 MF1 ? ( x ? c)2 ? y 2 , MF2 ? ( x ? c) 2 ? y 2
得方程 ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方

( x ? c ) ? y ? 4a ? 4a ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y
2 2 2 2 2 2

2

a 2 ? cx ? a ( x ? c ) 2 ? y 2
两边再平方,得

a4 ? 2a 2cx ? c2 x 2 ? a 2 x2 ? 2a 2cx ? a2c2 ? a2 y 2
整理得

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )
a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0),

由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2
两边除以 a 2b 2 得

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

1.椭圆的标准方程
x2 y 2 焦点在x轴: 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a b
2 2 y x 焦点在y轴: ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y
F1

M F2 x

o
y
F2

M

o
F1

x

其中

c 2 ? a 2 ? b2 (a ? b ? 0, c ? 0)
总体印象:对称、简洁,“像”直线方程的截距 式

思考?
观察右图,你能从中找出 表示a,c,
a ? c 的线段么?
2 2

y

P

F1

0

F2

x

2.两类标准方程的对照表
定 义 MF1+MF2=2a (2a>2c>0)

y
图 形
F 1

y
M F 2
M

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1. 2 不同点:焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 2 y 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.

课堂练习: 1.口答:下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴? 并指明 a 2 , b 2 ,写出焦点坐标.

x2 y2 (1) ? ? 1 (4)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 16 16 x2 y2 (5) ? 3x 2 ? 2 y 2 ? ?1 ( 2) ? ?1 25 16 x2 y2 x2 y2 ? ?1 (3) 2 ? 2 ? 1 (6) 24 ? k 16 ? k m m ?1

?

x2 y 2 练习2:已知经过椭圆 ? ? 1的右焦点F 2 25 16 作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A,B 两点, F 1是椭圆的左焦点。 (1)求?AF 1B的周长; (2)如果AB不垂直于x轴,?AF 1B的周长 有变化吗?为什么?
y A

F1 o F2
B

x

例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 x2 2 ? y ?1 2 2 (1) a =4,b=1,焦点在 x 轴上; y x 2 16 2 ?1 ? y ? 1或 x ? (2) a =4,b=1,焦点在坐标轴上; 16 16 (3) 两个焦点的坐标是( 0 ,-2)和( 0 ,2),并且经 过点P( -1.5 ,2.5). (法一) 因为椭圆的焦点在y轴上, 解:

∵ c=2,且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点 ∴ ( ) ? (? ) ? 1
5 2 2 2 3 2 2 2

y2 x2 设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b
? 3 5? ?? , ? ? 2 2?

y

P
F2

联立①②可求得:a 2 ? 10, b 2 ? 6 y2 x2 ? ?1 ∴椭圆的标准方程为 10 6

a

b

……②
F1

x

练习
1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 2 x 2 ? y ?1 (1)a ? 4, b ? 1, 焦点在x轴上; 16 x2 y2 (2)a ? 4, b ? 15, 焦点在y轴上; 15 ? 16 ? 1 2 2 2 2 x y x y (3)a ? b ? 10, c ? 2 5. 36 ? 16 ? 1 或 16 ? 36 ? 1

2. 根据椭圆的方程填空
x y (1) ? ?1 16 9
2 2

则a ? 4 b ? 3 c ? 7 焦点坐标 (? 7,0),( 7,0)
x2 y2 (2) ? ?1 36 100

则a ? 10 b ? 6

c ? 8 焦点坐标 (0, ?8),(0,8)

x2 y2 (3) 2 ? 2 ? 1( m ? 0) m m ?1

则a ?

m2 ? 1 b ? m c ? 1 焦点坐标 (0, ?1),(0,1)

~ 求曲线方程的方法: 定义法:如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线(圆,椭圆等)的定义,则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法:所求曲线方程的类型已知, 则可以设出所求曲线的方程,然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时,要“先定 型,再定量”.

例2、 已知三角形ABC的一边 BC 长为6, 周长为16,求顶点A的轨迹方程 Y
解:建立如图坐标系,使 x轴经过点B、C,原点O与 BC的中点重合。 B |BC|=6 ,|AB|+|AC|=16-6=10, 所以点A的轨迹是椭圆, 答: 2a=16-6=10,2c=6, c=3,a=5,
A O C X

b ? a ? c ? 5 ? 3 ? 16.
2 2 2 2 2

但当点A在直线BC上,即y=0时,A、B、C三点不能 构成三角形,所以点A的轨迹方程是:

x2 y2 ? ? 1. ( y ? 0). 25 16

拓展提高:
一动圆与圆O1 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1外切, 与圆O2: ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 81 内切,试求 动圆圆心的轨迹方程

P ●

● O1



O2

例2.求中心在原点,焦点在 坐标轴上,且经过 两点P( 6 ,1), Q(? 3,? 2 )的椭圆的标准方程。

解:分两类:①当椭圆的焦点在X轴上时,设它的 方程为: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
1 ? 6 ? 2 ?1 2 ? ?a b 将P, Q带入得: ? ? 3 ? 2 ?1 ? ? a2 b2

? ?a ? 9 解得: ? 2 ? ?b ? 3
2

②当椭圆的焦点在y轴上时,设它的方程为:
1 2 ?6 ? ? 1 ? b 2 ? 将P, Q带入得: ? ?b2 a 解得: ? ? 2 3 2 ? ? a ? 2 ?1 ? 2 ? ?b 2 a 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

? 9 不符合 ?3
a?b

x y 综上:椭圆的方程为 ? ? 1(a ? b ? 0) 9 3

例 3:
x2 y2 已知P为椭圆 ? ? 1上一点,F1 , F2是椭圆 25 16 焦点,?F1PF2 ? 60? , 求?F1PF2的面积。

拓展提高:
一动圆与圆O1 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1外切, 与圆O2: ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 81 内切,试求 动圆圆心的轨迹方程

P ●

● O1



O2

练习:
1.椭圆的方程是 x
2

16

?

y
9

2

? 1 焦点是

??

7 ,0 ,

??

7 ,0 .

?

若CD为过左焦点F1的弦,则△F2CD的周长 是 .

16

2.方程4x2+ky2=1 的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆, (0,4)
则k的范围是 .

?0,? n ? m ?
.

3.椭圆mx2+ny2=-mn(m<n<0)的焦点是

1、椭圆的定义(强调2a>|F1F2|)和椭圆的标 准方程 2、椭圆的标准方程有两种,注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法

1、49页习题2.2

1、2


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