2.高频考点分析之导数和定积分

专题 2 导数与积分
在我国现在中学数学新教材中,微积分处于一种特殊的地位,是高中数学知识的一 个重要交汇点,是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。微积分的思想方法 和基本理论有着广泛的应用。高考中微积分问题主要有以下几种: 1. 应用导数求函数的最(极)值; 2. 应用导数讨论函数的增减性;

3. 导数的几何意义和应用导数求曲线的切线; 4. 定积分的计算和应用。 结合 2013 年全国各地高考的实例, 我们从以上四方面探讨导数和定积分问题的求解。

一、应用导数求函数的最(极)值:如果 f(x)在闭区间[a ,b]上连续,在(a,
b)内可导,则 f(x)在[a ,b]上求最大值与最小值的步骤:先求 f(x)在(a,b)内的极值; 再将 f(x)的各极值与 f(a)、 f(b)比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值。 求 可导函数极值的步骤:首先:求导数 f′(x);再求导数 f′(x)=0 的根;最后:检查 f′(x)在方 程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取极大值;如果左负右正,那 么 f(x)在这个根处取极小值。
【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有,转载必究】

典型例题:
例 1. (2013 年福建省理 13 分) 已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值. 例 2. (2013 年福建省文 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ?

a (a∈R, e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值; (3)当 a=1 时,若直线 l:y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点,求 k 的最大值. 例 3. (2013 年湖北省理 14 分)设 n 是正整数,r 为正有理数. (1)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? (2)证明:
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1? x ? ?1? 的最小值;

n r ?1 ? (n ? 1) r ?1 (n ? 1) r ?1 ? n r ?1 ? nr ? ; r ?1 r ?1
1

(3)设 x ? R ,记 ? x ? 为不小于 的最小整数,例如 ? 2? ? 2, ?? ? ? 4,[?32] ? ?1 ,令 ...x .

S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ?S? 的值.
(参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 ) 例 4. (2013 年江西省理 5 分)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f’(1) = .
4 4 4 4

例 5. (2013 年浙江省文 4 分)设 a,b∈R,若 x≥0 时恒有 0 ? x 4 ? x 3 ? ax ? b ? x 2 ? 1 , 则 ab 等于 .

?

?

2

例 6. (2013 年重庆市理 13 分)设 f (x) ? a(x ? 5)2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f (x) 在 点(1, f (1) )处的切线与 y 轴相较于点(0,6) . (1)确定 a 的值(6 分) ; (2)求函数 f (x) 的单调区间与极值(7 分) .

三、应用导数讨论函数的增减性: 利用导数可以研究函数的单调性,一般应
先确定函数的定义域,再求导数 f ' ? x ? ?,通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的 各区间内 f ? x ? 的符号,来确定函数 f ? x ? 在该区间上的单调性: f ' ? x ? > 0 ,函数单调增 加; f ' ? x ? < 0 ,函数单调减小。当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同 的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性。

典型例题:
例 1. (2013 年安徽省理 13 分)设函数 f n ? x ? ? ?1 ? x ? n∈N*).证明:

x 2 x3 xn ? 2 ? ??? ? 2 (x∈R, 2 2 3 n

?2 ? 1? ,满足 fn(xn)=0; (1)对每个 n∈N*,存在唯一的 x n ? ? , ?3 ?
(2)对任意 p∈N*,由(1)中 xn 构成的数列{xn}满足 0<x n ? x n ?p< .

1 n

2

例 2. (2013 年北京市文 13 分)已知函数 f ? x ? ? x 2 ? xsinx ? cosx . (1)若曲线 y ? f (x) 在点 (a,f (a)) 处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值。 (2)若曲线 y ? f (x) 与直线 y=b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。 例 3. (2013 年湖南省文 13 分)已知函数 f (x) ? (1)求 f (x) 的单调区间 (2)证明:当 f (x1 ) ? f (x 2 )(x1 ? x 2 ) 时, x1 ? x 2 ? 0 例 4. (2013 年江苏省 16 分)设函数 f (x) ? ln x ? ax , g(x) ? ex ? ax ,其中 a 为实数。 (1)若 f(x) 在 (1,??) 上是单调减函数,且 g(x) 在 (1,??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g(x) 在 (?1,??) 上是单调增函数,试求 f (x) 的零点个数,并证明你的结论。 例 5. (2013 年辽宁省理 12 分)已知函数 f (x) ? (1 ? x)e ?2x ,g(x) ? ax ?
x3 ? 1 ? 2x cos x. 当 2

1? x x e 1 ? x2

x ??0,1? 时,
(1)求证: 1 ? x ? f (x) ?
1 ; 1? x

(2)若 f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 例 6. (2013 年辽宁省文 12 分) (1)证明:当 x ??0,1? 时, (2)若不等式 ax ? x 2 ?

2 x ? sin x ? x ; 2

x3 ? 2(x ? 2)cosx ? 4 对 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的取值范围。 2

例 7. (2013 年全国大纲理 5 分) 若函数 f ? x ? ? x 2 ? ax ? 取值范围是【 A. ??1 , 0? 】 B. ? ?1 , ? ?? C. ?0, 3?

1 ?1 ? ? ? ? 是增函数, 在? , 则a 的 2 x ? ?

D. ?3, ? ??

例 8. (2013 年全国大纲文 12 分)已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax 2 ? 3x ? 1 。 (1)求 a ? ? 2 时,讨论 f ? x ? 的单调性;
3

(2)若 x ??2, ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,求 a 的取值范围。 例 9. (2013 年全国新课标Ⅱ理 12 分)已知函数 f (x) ? ex ? ln(x ? m) . (1)设 x = 0 是 f (x )的极值点,求 m,并讨论 f (x )的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f (x ) > 0 . 例 10. (2013 年天津市理 14 分)已知函数 f ? x ? ? x 2lnx . (1)求函数 f ? x ? 的单调区间; (2)证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ? s ? . (3) 设 (1) 中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g ? t ? , 证明: 当 t>e 2 时, 有 <

2 5

lng(t) 1 < . lnt 2

? x 3 ? (a ? 5)x, x?0 ? 例 11. (2013 年天津市文 14 分) 设 a ? [ ?2,0] , 已知函数 f (x ) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax, x ? 0 ?x ? 2 ?
(1)证明 f (x) 在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (2)设曲线 y ? f (x) 在点 Pi (xi ,f (xi ))(i ? 1,2,3) 处的切线相互平行, 且 x1x 2 x 3 ? 0, 证明

1 x1 ? x 2 ? x3 ? . 3

四、导数的几何意义和应用导数求曲线的切线: 函数 f ? x ? 在点 ? x0 , f ? x0 ?? 处导
数的几何意义是曲线 f ? x ? 在点 ? x0 , f ? x0 ?? 处切线的斜率,因此,曲线 f ? x ? 在点

? x , f ? x ?? 处的切线 y? f ? x ? ? f ' ?x ??x ? x ? 。
0 0
0 0 0

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典型例题:
例 1. (2013 年广东省理 5 分)若曲线 y=kx ? ln x 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴, 则 k= 。

例 2. (2013 年广东省文 5 分)若曲线 y=ax 2 ? ln x 在点(1, a )处的切线平行于 x 轴, 则a = 。
4

例 3. (2013 年湖南省理 13 分)已知 a>0,函数 f(x)=

x ?a . x ? 2a

(1)记 f(x)在区间[0,4]上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式; (2)是否存在 a,使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图像上存在两点,在该两点处的切线 互相垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 例 4. (2013 年江西省文 5 分)若曲线 y ? x? ? 1?? ? R ? 在点(1,2)处的切线经过坐标 原点,则 α= 。

例 5. (2013 年全国大纲文 5 分)已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率 为 8,则 a=【 A.9 B. 6 】 C. ?9 D. ?6

例 6. (2013 年全国新课标 I 理 12 分)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 例 7. (2013 年陕西省理 14 分)已知函数 f (x) ? ex , x ? R . (1)若直线 y=kx+1 与 f (x)的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (2) 设 x>0, 讨论曲线 y=f (x) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0) 公共点的个数. (3)设 a<b, 比较

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) 与 的大小, 并说明理由. b?a 2

例 8. (2013 年陕西省文 14 分)已知函数 f (x) ? ex , x ? R . (1)求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (2)证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2

? a ? b ? f (b) ? f (a) (3)设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?

5

?x 2 ? 2x ? a, x ? 0 例 9. (2013 年四川省理 14 分)已知函数 f (x) ? ? ,其中 a 是实数.设 ?ln x, x ? 0
A(x1 ,f (x1 )) , B(x 2 ,f (x 2 )) 为该函数图象上的两点,且 x1 ? x 2 .
(1)指出函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 f (x) 的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x 2 ? 0 ,求 x 2 ? x1 的最小值; (3)若函数 f (x) 的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 例 10. (2013 年浙江省理 14 分)已知 a?R,函数 f(x)=x3?3x2+3ax?3a+3 (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 x?[0,2]时,求|f(x)|的最大值. 例 11. (2013 年浙江省文 15 分)已知 a∈R,函数 f ? x ? ? 2x3 ? 3? a ? 1? x 2 ? 6ax (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.

五、定积分的计算和应用: 高考中定积分的应用体现为求围成的图形的面积。 典型例题:
例 1. (2013 年北京市理 5 分)直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于【 A. 】 C.

4 3

B.2

8 3

D.

16 2 3

例 2. (2013 年福建省理 4 分) 当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式:

1 ? x ? x 2 ??? x n ???

1 1? x
1 1 1 1

2 2 2 2 2 1dx ? ? 0 xdx ? ? 0 x 2 dx ? ?? 0 x n dx ? ? ? ? 0 两边同时积分得: ? 0

1

1 dx , 1? x

从而得到如下等式: 1? ? ? ( )2 ? ? ( )3 ??? 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:

1 2

1 2

1 2

1 3

1 2

1 1 ? ( )n ?1 ??? ln2 n ?1 2

1 1 1 ?1? 1 2 ?1? ?1? C ? ? C1 Cn n ?? n ?? ? ? Cn ? ? ? ??? ? 2 2 n ?1 ? 2? 3 ? 2? ?2?
0 n

2

3

n ?1





例 3. (2013 年湖北省理 5 分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,
6

以速度 v(t) ? 7 ? 3t ?

25 (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止. 在此期间汽车继续 1? t


行驶的距离(单位:m)是【 A. 1 ? 25ln 5

B. 8 ? 25ln
T

11 3

C. 4 ? 25ln 5 ▲

D. 4 ? 50ln 2 .

例 4. (2013 年湖南省理 5 分)若 ? x 2 dx ? 9 ,则常数 T 的值为
0

例 5. (2013 年江西省理 5 分)若 S1 ? ? x 2dx ,S2 ? ?
1

2

2

1

2 1 dx,S3 ? ? ex dx ,则 s1,s2,s3 1 x

的大小关系为【 A.s1<s2<s3

】 B.s2<s1<s3 C.s2<s3<s1 D.s3<s2<s1

7


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