§1.3.2函数的极值与导数学案


§1.3.2 函数的极值与导数
教师寄语:细节决定成败! 一、教学目标
1 知识与技能 〈1〉结合函数图象,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念,会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法 〈1〉 师生的共同讨论与讲授法结合 〈2〉 让学生通过学习,掌握利用导数求函数的极值 3 情感与价值 增强学生数形结合的思维意识, 提高利用导数的基本思想去分析与解决实际问 题的能力 二、重点:利用导数求函数的极值 难点:函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 三、课前准备(预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 f '( x) ? 0 ,那么 函数 y=f(x) 在这个区间内为 函数;如果在这个区间内 f '( x) ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在这个区间内为 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤: (1)先求函数的________________; (2)求函数 f(x)的导数 f ?( x) . (3)令 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. (4)令 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 . 四、新课导学 学习探究 探究任务一:

1.如图 1.3.8 表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数
h(t ) =-4.9t +6.5t+10 的图象
h

2

o

a

问题:

t

(1)当 t=a 时,高台跳水运动员距水面的高度最大,那么函数 h ?t ? 在 t=a 处的导数是多少呢? (2)在点 t=a 附近的图象有什么特点? (3)点 t=a 附近的导数符号有什么变化规律? 2.对于一般的函数 y= f ? x ? ,是否也有同样的性质呢?
如下图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y ? f ( x) 的单调性有 什么变化,导数的符号有什么规律?
y b a o x

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值 f ?( x) 都 , f ?(a) ? ;而且在点 x ? a 附近的左侧 f ( x) 0,右侧 f ?( x) f ( x) 0. 类似地,函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值 f ?( x) 都 , f ?(b) ? ;而且在点 x ? b 附近的左侧 f ( x) 0,右 f ?( x) 侧 f ( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值;点 b 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 试试: 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点, ,则 x0 是 f ( x) 的 点, f ( x0 ) 是极值,如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的 f ( x0 ) 是极 值;如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” 点, f ( x0 ) 是极 值 (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值? (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 (能, 不能)成为极值点. (4) 极值反映了函数在某一点附近的 ,刻画的是函数
王新敞
奎屯 新疆

的 . 反思:导数为 0 的点是否一定是极值点? 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 ,但在 x=0 两侧导数 所以它 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的 条件. 典型例题 例 1 下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,试找出函数 y ? f ( x) 的极值点,并指出哪些 是极大值点,哪些是极小值点.

反思: 例 2.求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值.
1 3

总结:求函数极值的步骤:

练习: 求下列函数的极值: (1) (3)

f (x) ? 6x2 - x - 2 ;

(2)

f (x) ? x 3 - 27x ;

f (x) ? 6 ? 12x - x 3 ;

(4)

f (x) ? 3x - x 3

变式:已知 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? bx ? a 2 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值。

五、学习小结 巩固练习: 1. 函数 y ? x 3 ? 3x 2 ? 9x(?2 ? x ? 2) 有( )

A、极大值为 5,极小值为-27 A、 极大值为 5,极小值为-11 B、 极大值为 5,无极小值 D、极大值为-27,无极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则 此函数是( ) A. y ? x3 ? 6x2 ? 9x B. y ? x3 ? 6x2 ? 9x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x3 ? 6x2 ? 9x 3、已知函数 y ? x 2 ? 3 x ? 2 ,则 ( A、 y 有极小值,但无极大值 C、 y 有极小值 0,极大值
1 4

) B、 y 有极小值 0,但无极大值 D、 y 有极大值

1 ,但无极小值 4 4. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值,则 a 的值为 5. 函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? a(a ? 0) 的极大值为正数, 极小值为负数, 则 a 的取值范围 为 6. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? 48x ? x3 .


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