安徽省示范高中2013届高三10月第一次联考数学(理)试题(WORD版)

安徽省示范高中 2013 届高三第一次联考

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分:全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题规定的地方填写自己的姓名、座位号。 2.答第 I 卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答第 II 卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰: 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚:必须 在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。 4.考试结束.务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设全集 U=R,集合 A ? { x || x ? 1 ? 1}, 集 合 B ? { y | y ? 2 , x ? 1}, 则 A ? ( C U B ) =
x

A. { x | 0 ? x ? 2}
2? x lg x

B. ?

C.{0,2}

D. { x | x ? 0 或 x ? 2}

2.函数 f ( x ) ? A. (0,2) C. (0, 2 ]

的定义域是 B. (0,1)∪(1,2) D. (0,1)∪ (0, 2 ]

3.若函数 f ( x ) ? ?

?x2 ? 1 ? ln x

x ?1 x ?1

, 则 f ( f ( e )) =

A.0

B.1
x

C.2

D. ln( e ? 1)
2 a

4.设 a ? 0 且 a ? 1, 则“函数 f ( x ) ? a 在 R 上是增函数”是“函数 g ( x ) ? x 在 R 上是增函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.函数 f ( x ) ? x ? 2 的图像为
2 |x|

6.设 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? ( ) 3 , 则 a , b , c 的大小关系是
3 3

2 3

1

1

2

1

1

3

3

A. a ? c ? b
3 2

B. a ? b ? c

C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

7.若函数 f ( x ) ? x ? x ? m x ? 1对 任 意 x1 , x 2 ? R 满 足 ( x1 ? x 2 )[ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ? 0 ,则实数 m 的取值 范围是 A. ( ? ? , )
3 1

B. ( , ? ? )
3

1

C. ( ? ? , ]
3

1

D. [ , ? ? )
3

1

8.已知集合 A ? {0,1, 2, 3}, 集 合 B ? {( x , y ) | x ? A , y ? A , x ? y , x ? y ? A} ,则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8
1 0

D.10

2 9.若函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? m 的最小值为 0,则 ? f ( x ) d x =

A.2 10.若曲线 y ? x A.8
? 1 2

B.
在 点 (a , a
? 1 2

1 3

C.

7 3

D.

8 3

) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 9,则 a=

B.16

C.32

D.64

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试卷上作答无效。 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.命题“ ? x ? R , x ? 2 ax ? a ? 0 ”的否定为
2



12.安徽省自 2012 年 7 月起执行阶梯电价, 收费标准如图所示,小王家今年 8 月份 一共用电 410 度,则应缴纳电费为 (结果保留一位小数).



13.要使函数 f ( x ) ? lo g 1 ( x ? m ) 的图像不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是
2

.

14.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:
f (1) ? 1 4 , 4 f ( x ) f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x ? y ), 则 f ( 2 0 1 3) =
2

15.若二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) 的图象和直线 y=x 无交点,现有下列结论: ①方程 f [ f ( x )] ? x 一定没有实数根; ②若 a>0,则不等式 f [ f ( x )] ? x 对一切实数 x 都成立; ③若 a<0,则必存存在实数 x0,使 f [ f ( x 0 )] ? x 0 ; ④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式 f [ f ( x )] ? x 对一切实数都成立; ⑤函数 g ( x ) ? a x ? b x ? c 的图像与直线 y ? ? x 也一定没有交点。
2

其中正确的结论是 (写出所有正确结论的编号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 设不等式
4? x x?2 ? 0 的解集为集合 A, 关于 x 的不等式 x ? (2 a ? 3) x ? a ? 3 a ? 2 ? 0 的解集为集合
2 2

B。 (I)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (II)若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? lg[( a ? 1) x ? ( a ? 1) x ? 1].设 命 题 p : “ f ( x ) 的定义域为 R” ;命题 q: f ( x ) 的值 “
2 2

域为 R” (I)若命题 p 为真,求实数 a 的取值范围; (I)若命题 q 为真,求实数 a 的取值范围; (I) ? p 是 q 的什么条件?请说明理由。

18. (本小题满分 13 分)

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品, 估计能获得 10 万元~1000 万元的投资收益。 现准备制定 一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加, 且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%。 (I) 建立奖励方案的函数模型 f ( x ) , 试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型 f ( x ) 的基本要求。 (II)现有两个奖励方案的函数模型: ① f (x) ?
x 150 ? 2 ;② f ( x ) ? 4 lg x ? 3.

试分析这两个函数模型是否符合公司要求。

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? ln
kx ? 1 x ?1 .

(I)当 k ? ? 1 时,判断 f ( x ) 的奇偶性并给予证明; (II)若 f ( x ) 在 [ e , ? ? ) 上单调递增,求 k 的取值范围。

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
ax ? b x ?1
2

在 点 M (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 .

(I)求 f ( x ) 的解析式; (II)设函数 g ( x ) ? ln x , 证 明 : g ( x ) ? g ( x ) 对 x ? [1, ? ? ) 恒成立。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) ? x ? k ln( x ? 1), 其 中 k ? 0.
2

(I)当 k ?

1 2

时 , 判 断 f ( x ) 在 ( ? 1, ? ? ) 上的单调性;

(II)讨论 f ( x ) 的极值点。

参考答案
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 D

5 C

6 A

7 D

8 C

9 C

10 B

11. ? x ? R , x 2 ? 2 ax ? a ? 0

12. 258 .3

13. m ? ? 1

14. ?

1 2

15. ①②④⑤

1.C 【解析】 A ? ? x | 0 ? x ? 2 ? , B ? ? y | 0 ? y ? 2 ? , ∴ A ? ( C U B ) ? [0, 2] ? (( ? ? , 0] ? [2, ? ? )) ? ? 0, 2 ? .
?2 ? x ? 0 ? 【解析】要使函数 f(x)有意义,只需要 ? x ? 0 , 解得 0 ? x ? 1或 1 ? x ? 2 ,所以定义域为 ? lg x ? 0 ?

2.D

( 0 ,1) ? (1, 2 ].

3.C 【解析】 f ( e ) ? ln e ? 1 ,所以 f ( f ( e )) ? f (1) ? 1 ? 1 ? 2 .
2

x a 4. 【解析】 a ? 2 时, D 当 函数 f ( x ) ? a 在 R 上为增函数, 函数 g ( x ) ? x 在 R 上不是增函数; a ? 当

1 3

时, g ( x ) ? x 在 R 上是增函数, f ( x ) ? a 在 R 上不是增函数.
a x

5.C 【解析】图像是偶函数,排除 B、D,又当 x ? 0 时, y ? ? 1 ,择选
1
x

C.

6.A 【解析】由幂函数 y ? x 3 的性质得 a ? c ,又由指数函数 y ? ?
'

?1? ? 的性质得 c ? b . ?3?
2

7.D 【解析】由题意知,函数 f ( x ) 是 R 上的单调增函数,? f ( x ) ? 3 x ? 2 x ? m ? 0 在 R 上恒成立, 即 ? ? 4 ? 12 m ? 0 ,∴ m ?
1 3



8. C 【解析】 x ? 0 时,y ? 1, 2, 3 ; x ? 1 时,y ? 0, 2 ; x ? 2 时,y ? 0,1 ; x ? 3 时,y ? 0 . 当 当 当 当 共 有 8 个元素. 9. 【解析】 C 因为函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? m ? ( x ? 1) ? m ? 1 的最小值为 0 , 所以 m ? 1 , f ( x ) ? ( x ? 1) ,
2 2 2

则 ? f ( x)dx ?
0

1

?
'

1 0

( x ? 1) d x ?
2

1 3

( x ? 1)

3

1 0

?

7 3



10.B 【解析】 y ? ?

1 2

?

3 2

x

,所以在点 ( a , a

?

1 2

) 处的切线方程为:

y?a

?

1 2

? ?

1 2

?

3 2

a

(x ? a) ? ?

1 2

?

3 2

a

x?

3 2

?

1 2

a



令 x ? 0 ,得 y ?

3 2

?

1 2

a

;令 y ? 0 ,得 x ? 3 a .

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S ?

1 2

?

3 2

?

1 2

a

? 3a ?

9 4

1

a 2 ? 9 ,解得 a ? 1 6 .

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置) 11. ? x ? R , x 2 ? 2 ax ? a ? 0 【解析】特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”. 12. 258.3 【解析】 180 ? 0.5653 ? 170 ? 0.6153 ? 60 ? 0.8653 ? 258.273 ? 258.3 13. m ? ? 1 【解析】函数 f ( x ) ? lo g 1 ( x ? m ) 的图像是 f ( x ) ? lo g 1 x 的图像向右平移 m 个单位得到,如果不经
2
2

过第一象限,则至少向左平移 1 个单位(即向右平移 ? 1 个单位) ,所以 m ? ? 1 . 14. ?
1 2

【解析】令 y ? 1 ,得 f ( x ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,记 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? f ( x ? 1) ; 令 y ? 0 ,得 4 f ( x ) f (0 ) ? 2 f ( x ) , f (0 ) ? 因此 f (0 ) ?
1 2 , f (1) ? 1 4 , f (2) ? ? 1 4 1 2 , f (3) ? ? 1 2 , f (4) ? ? 1 4 , f (5) ? 1 4 1 2 , f (6 ) ? 1 2 , f (7 ) ? 1 4



函数 f ( x ) 是周期为 6 的函数,所以 f ( 2 0 1 3) ? f (6 ? 3 3 5 ? 3) ? f (3) ? ? 15.①②④⑤



【解析】因为函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? x 没有交点,所以 f ( x ) ? x ( a ? 0) 或 f ( x ) ? x ( a ? 0 ) 恒成 立. ① 因为 f [ f ( x )] ? f ( x ) ? x 或 f [ f ( x )] ? f ( x ) ? x 恒成立,所以 f [ f ( x )] ? x 没有实数根; ② 若 a ? 0 ,则不等式 f [ f ( x )] ? f ( x ) ? x 对一切实数 x 都成立; ③ 若 a ? 0 ,则不等式 f [ f ( x )] ? x 对一切实数 x 都成立,所以不存在 x 0 ,使 f [ f ( x 0 )] ? x 0 ;

④若 a ? b ? c ? 0 ,则 f (1) ? 0 ? 1 ,可得 a ? 0 ,因此不等式 f [ f ( x )] ? x 对一切实数 x 都成立; ⑤易见函数 g ( x ) ? f ( ? x ) , f ( x ) 的图像关于 y 轴对称, 与 所以 g ( x ) 和直线 y ? ? x 也一定没有交点. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解:由题意,集合 A ? { x | (4 ? x )( x ? 2) ? 0} ? { x | 2 ? x ? 4} 集合 B ? { x | ( x ? a ? 2)( x ? a ? 1) ? 0} ? { x | 1 ? a ? x ? 2 ? a }
?1 ? a ? 2 ?2 ? a ? 4

………………2 分 ………5 分

(Ⅰ)若 A ? B ,则 ?

可得 ? 2 ? a ? ? 1 .

所以 ? 2 ? a ? ? 1 时,关系式 A ? B 成立 . …………………………8 分 (Ⅱ)要满足 A ? B ? ? ,应满足 2 ? a ? 2 或 1 ? a ? 4 ,所以 a ? 0 或 a ? ? 3 综上所述, a ? 0 或 a ? ? 3 时, A ? B ? ? ……………………………12 分 17 . 解 : Ⅰ ) 命 题 p 为 真 , 即 f ( x ) 的 定 义 域 是 R , 等 价 于 ( a 2 ? 1) x 2 ? ( a ? 1) x ? 1 ? 0 恒 成 ( 立, …………………2 分
?a 2 ? 1 ? 0, ? Δ ? ( a ? 1) ? 4 ( a ? 1) ? 0 .
2 2

等价于 a ? ? 1 或 ?

…………………3 分
5

解得 a ? ? 1 或 a ?

5 3

.∴实数 a 的取值范围为 ( ?? , ? 1] ? ( , ? ? ) .……………5 分
3

(Ⅱ)命题 q 为真,即 f ( x ) 的值域是 R , 等价于 u ? ( a 2 ? 1) x 2 ? ( a ? 1) x ? 1 的值域 ? ( 0 , ? ? ) , ……………6 分
?a 2 ? 1 ? 0, ? Δ ? ( a ? 1) ? 4 ( a ? 1) ? 0 .
2 2

等价于 a ? 1 或 ? 解得 1 ? a ?
5 3

………………………………8 分
5

.∴实数 a 的取值范围为 [1 , ] .…………………10 分
3
5 5 3 3

(Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)知, ? p : a ? ( ? 1 , ] ; q : a ? [1 , ] . 而 ( ? 1 , ] ? [1 , ] ,∴ ? p 是 q 的必要而不充分的条件.……………………13 分 3 ? 3 18.解: (Ⅰ)设奖励方案函数模型为 y=f(x) ,则公司对函数模型的基本要求是: 当 x ? ?10,1000 ? 时,① f ? x ? 是增函数;② f ? x ? ? 9 恒成立;③ f ? x ? ? (Ⅱ)①对于函数模型 f ? x ? ?
x 150 1000 150 ?2? 20 3 ?2?9. ? 2: x 5
5 5

恒成立…3 分

当 x ? ?10,1000 ? 时, f ? x ? 是增函数,则 f ? x ? m ax ? f ? 1 0 0 0 ? ? ∴ f ? x ? ? 9 恒成立.

∵函数

f

?x?
x

?

1 150

?

2 x

在 ?1 0,1 0 0 0 ? 上是减函数,所以 ?
?

? f

?x??
x

1 1 1 ? ? ? . ? ? m ax 1 5 0 5 5

∴ f ?x? ?

x 5

不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.

……8 分

②对于函数模型 f ? x ? ? 4 lg x ? 3 : 当 x ? ?10,1000 ? 时, f ? x ? 是增函数,则 f ? x ? m ax ? f ? 1 0 0 0 ? ? 4 lg 1 0 0 0 ? 3 ? 9 . ∴ f ? x ? ? 9 恒成立. 设 g ? x ? ? 4 lg x ? 3 ? 当 x ? 1 0 时, g ? ? x ? ?
x 5

,则 g ? ? x ? ?
1 5

4 lg e x

?

1 5


2

4 lg e x

?

?

2 lg e ? 1 5

?

lg e ? 1 5

? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?1 0,1 0 0 0 ? 上是减函数,

从而 g ? x ? ? g ? 1 0 ? ? ? 1 ? 0 .∴ 4 lg x ? 3 ? 故该函数模型符合公司要求. 19.解: (Ⅰ)当 k ? ? 1 时,函数 f ? x ? ? ln 定义域为 ? ? 1,1 ? ,关于原点对称. 且 f ? ? x ? ? ln
x ?1 ?x ?1

x 5

? 0 ,即 4 lg x ? 3 ?

x 5

,∴ f ? x ? ?

x 5

恒成立.

……13 分
?x ?1 x ?1

, ………2 分


? ?x ?1 x ?1 ? ? ln ? ? ? ? ln 1 ? 0 , ?x ?1 ? x ?1 ?x ?1? x ?1

所以 f ? x ? ? f ? ? x ? ? ln 即 f ??x? ? ? f ? x? .

?x ?1 x ?1

? ln

所以当 k ? ? 1 时,函数 f ? x ? 的奇函数. (Ⅱ)因为 y ? ln u 是增函数, 所 以 由 题 意 , u ? g (x) ? 立.
'

……6 分

kx ? 1 x ?1

在 [e, ? ? ) 上 是 增 函 数 , 且 g ( x ) ? 0 在 [e, ? ? ) 上 恒 成

……………8 分
1? k ( x ? 1)
2

即 g (x) ?

? 0 对于 x ? [ e , ? ? ) 恒成立且 g ( e ) ? 0

……………10 分

? 1? k ? 0 ? 所以 ? ek ? 1 ?0 ? ? e ?1

,解得

1 e

? k ? 1.

所以 k 的取值范围是 ( ,1) .
e

1

……………12 分 ………………… 2 分 ……………………4 分

20. (Ⅰ)解:将 x ? 1 代入切线方程得 y ? f (1) ? 0 , 又 f (1) ?
f ?( x ) ?
a?b 2

,化简得 a ? b ? 0 .

a ( x ? 1) ? ( ax ? b ) ? 2 x
2

(1 ? x )
2

2



f ? (1) ?

2a ? 2(a ? b) 4

?

? 2b 4

?

?b 2

? 1. 2x ? 2 x ?1
2

………………………… 6 分 . …………………… 8 分

解得: a ? 2 , b ? ? 2 ;所以 f ( x ) ? (Ⅱ)证明:要证 ln x ?
2

2x ? 2 x
2

?1

在 [1, ?? ) 上恒成立,

即证 ( x ? 1) ln x ? 2 x ? 2 在 [1, ?? ) 上恒成立,
2 即证 x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 ? 0 在 [1, ?? ) 上恒成立 .…………………… 10 分

设 h ( x ) ? x ln x ? ln x ? 2 x ? 2 , h ? ( x ) ? 2 x ln x ? x ?
2

1 x

?2

∵ x ? 1 ,∴ 2 x ln x ? 0 ,

x?

1 x

? 2 ,即 h ? ( x ) ? 0 .……………………12 分

∴ h ( x ) 在 [1, ?? ) 上 x ? [1, ?? ) 单调递增, h ( x ) ? h (1) ? 0 ∴ g ( x ) ? f ( x ) 在上恒成立 . ………………………………13 分 …………………………1 分

? 21.解:由题设函数 f ( x ) 定义域是 ( ? 1 , ? ) ,

函数 f ( x ) ? 2 x ? (Ⅰ)当 k ?
2

'

k x ?1

?

2x ? 2x ? k
2

x ?1

①…………………2分

1 2

时,①式分子的 ? ? 4 ? 8 k ? 4(1 ? 2 k ) ? 0 ,

∴ 2 x ? 2 x ? k ? 0 ,又 x ? 1 ? 0 ,
'

所以 f ( x ) ?

2x ? 2x ? k
2

x ?1
1 2

? 0 , f ( x ) 在 ( ? 1 , ? ) 上单调递增. ?

………5分

(Ⅱ)当 k ?

时,由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

'

2x ? 2x ? k
2

x ?1

?0,

f ( x ) 在 ( ? 1 , ? ) 上的单调递增,故 f ( x ) 无极值点.………………………6 分 ?

当0 ? k ?

1 2

2 时,由 2 x ? 2 x ? k ? 0 解得 x ?

?1 ?

1 ? 2k 2





?1 ?

1 ? 2k 2

? ?1

所以当 ? 1 ? x ?

?1 ?

1 ? 2k 2

或x ?

?1 ?

1 ? 2k 2

时,

f (x) ?

'

2x ? 2x ? k
2

x ?1
1 ? 2k 2

?0;



?1 ?

? x?

?1 ?

1 ? 2k 2

时,

f (x) ?

'

2x ? 2x ? k
2

x ?1
?1 ?

?0;

………………………8 分

因此 f ( x ) 在 (

1 ? 2k 2

?1 ? ,

1 ? 2k 2

) 上单减,

在 ( ? 1,

?1 ?

1 ? 2k 2

) 和(

?1 ?

1 ? 2k 2

, ? ) 上单增, ?

………………10 分

因此 x ?

?1 ?

1 ? 2k 2

为极大值点, x ?

?1 ?

1 ? 2k 2

为极小值点.……11 分

综上所述, 当0 ? k ? 当k ?
1 2

1 2

时, x ?

?1 ?

1 ? 2k 2

为极大值点, x ?

?1 ?

1 ? 2k 2

为极小值点;

时, f ( x ) 无极值点.

………………………12 分


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