3.3.1几何概型(两课时) (1)


复习
? 古典概型的两个基本特点: (1)所有的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件发生都是等可能的.

那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?

问题情境
1.取一根长度为30cm的绳子,拉直后在任意位置剪断, 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大?

基本事件:
从30cm的绳子上的任意一点剪断.

问题情境
2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白 色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄 心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm. 运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,且射中靶面内任 一点都是等可能的,那么射中黄心的概率是多少? 基本事件:
射中靶面直径为122cm的大圆内 的任意一点.

这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢? 怎么办呢?

对于问题1.记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等 分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长 度等于绳长的1/3.

1 事件A发生的概率P( A)? 3
对于问题2.记“射中 黄心”为事件B, 由于中靶点随机地落在 面积

1 1 为 ? π ? 1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为 ? π ? 12.22 cm2 4 4 的黄心内时, 事件B发生.

1 ?π? 12.22 事件B发生的概率为P (B)? 4 ? 0.01 1 ?π? 1222 4

几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长 度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.

在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

举例

(一)与长度有关的几何概型

例1: 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台报时,求他等待 的时间不多于10分钟的概率.
解: 设A={等待的时间不多于10分钟}.我们 所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于 [50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率 的公式得 P( A) ? 60 ? 50 ? 1 , 60 6
1 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为 6

练习

(一)与长度有关的几何概型

(一)与长度有关的几何概型

练习:取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,

那么剪得两段的长都不少于1米的概率有多大?

(二)与角度有关的几何概型

(二)与角度有关的几何概型

(三)与面积有关的几何概型

(四)几何概型的应用——随机模拟

练习

练习:课本:P140 1, 2

1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.

练习

练习:课本:P142 A组 1, 2,3
1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子 随机地扔到桌面上,假设豆子不落在线上, 求下列事件的概率: (1)豆子落在红色区域; (2)豆子落在黄色区域; (3)豆子落在绿色区域; (4)豆子落在红色或绿色区域; (5)豆子落在黄色或绿色区域.

举例

(五)与体积有关的几何概型

? 细菌出现的每一个位置都是一个基本事件, 细菌出现位置可以是1升水中的任意一点.且 细菌出现在每一点是等可能的 ? 取得的0.1升水可视作构成事件的区域,1升 水可视作试验的所有结果构成的区域,可 用“体积比”公式计算其概率

(五)与体积有关的几何概型

(六)几何概型的应用

(六)几何概型的应用

(六)几何概型的应用
例3: 假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上

6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工
作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家 前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?

解:以横坐标x表示报纸送到时间,以纵坐标y表示父亲 离家时间建立平面直角坐标系,假设随机试验落在方形 区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部分,就表示父亲在离开家 前能得到报纸,即时间A发生,所以
2 30 602 ? 2 ? 87.5%. P( A) ? 602

(六)几何概型的应用 ? 对于复杂的实际问题,解题的关键是要 建立模型,找出随机事件与所有基本事件相 对应的几何区域,把问题转化为几何概率问 题,利用几何概率公式求解.

思考
《练习册》P84例3
?

甲乙两人约定在6时到7时
之间在某处会面,并约定先到者 应等候另一个人一刻钟,到时即

可离去,求两人能会面的概率.

(六)几何概型的应用

练习:课本:P142 B组 1, 2

小结
? 1.几何概型的特点. ? 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

? 3.公式的运用.

作业

《练习册》
P83 梯度训练 P86 梯度训练

巩固练习:
1.一路口的红绿灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为5 秒,绿灯时间为40秒,问你到达路口时,恰好为绿 灯的概率为( C ) 2 4 3 8
A.

2.在10000km2的海域中有40km2的大陆架贮藏 着石油.假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面 的概 1
250

7 B.

C. 5

D.15

5

率是 ________ 3.在区间 [1,3]上任取一个数,则这个数大于2的概
1 率是________ 2

四、知能训练

1、某公共汽车站每隔15分钟有一辆车发 出,并且发出前在车站停靠3分钟,求乘客 到站候车时间大于10分钟的概率。 2、在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P, 则△PBC的面积大于S/4的概率是多少?

3、向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝麻,
那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方 形中心的概率分别是多少?由此能说明什么 问题?

3、向边长为1的正方形内随机抛掷一粒芝 麻,那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落 在正方形中心的概率分别是多少?由此能 说明什么问题?
概率为0的事件可能会发生,概率为1 的事件不一定会发生.

四、知能训练
1.公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站,求 汽车在1~3分钟之间到达的概率。
分析:将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段,则1~3分钟是这一线段中 的2个单位长度。 解:设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A,则
3?1 2 P ( A) ? ? 5 5 2 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为

2、分别向下列区域内撒一粒黄豆, 求黄豆撒在阴影区域的概率.
半径为r 中位线

? r2

? 2r ?

2

?

?
4

1 ?1? ? ?2? 4 ? ?

2

基本事件是黄豆落到图形上的某一点, 由于点的位置可以是任意的,因此具有无限 性和等可能性的特点.

练习2:如图,假设你在每个图形上随机撒一粒 黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.

练习3:用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球, 假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒,试求这 个砂粒距离球心小于1cm的概率。


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