2-2-1等差数列的概念与通项公式


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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
数 列

第二章





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第二章
2.2 等差数列

第二章





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第二章
第 1 课时 等差数列的概念与通项公式

第二章





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课前自主预习

方法警示探究 课堂巩固训练

思路方法技巧 课后强化作业 名师辩误做答

第二章

2.2

第1课时

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课程目标解读

第二章

2.2

第1课时

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1.理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式.会 用公式解决一些简单问题,体会等差数列与一次函数之间的关 系. 2.体会归纳法思想.

第二章

2.2

第1课时

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课前自主预习

第二章

2.2

第1课时

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1.等差数列的定义. 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项
等差数列 ,这个 的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做 _________ 公差 ,公差通常用字母 d 表示.若公差 d 常数叫做等差数列的_____ 常数列 . =0,则这个数列为__________

第二章

2.2

第1课时

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2.如果 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差 a+b 中项.即 A= . 2 容易看出,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷 等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
a1+(n-1)d 3.等差数列的通项公式:an=_____________.

第二章

2.2

第1课时

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4.若{an}是等差数列.
9 (1)首项 a1=1,公差 d=2,则 a5=____. 3n-1 (2)首项 a1=2,a6=17,则 an=________. -2n+21 (3)a5=11,a8=5,则 an=_________.

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

(3)解法一:设{an}的首项为 a1,公差为 d,

则 a8=a5+3d,即 5=11+3d,∴d=-2. ∵a5=a1+(5-1)d,∴11=a1+4×(-2), ∴a1=19. ∴an=19+(n-1)(-2). 即 an=-2n+21(n∈N*).

第二章

2.2

第1课时

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解法二:设 an=a1+(n-1)d,
? ?a5=a1+?5-1?d, 则? ? ?a8=a1+?8-1?d, ? ?11=a1+4d. 即? ? ?5=a1+7d.

解得 a1=19,d=-2. ∴an=-2n+21(n∈N*). 解法三:设 an=an+b,
? ?a5=5a+b, 则? ? ?a8=8a+b, ? ?11=5a+b, 即? ? ?5=8a+b. ? ?a=-2, 解得? ? ?b=21.

∴an=-2n+21(n∈N*).

第二章

2.2

第1课时

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5.下面所给数列是等差数列吗? (1)3,2,1,-1; (2)0,0,1,2,3; (3)1,2,5,8,11,14…….
[答案] 都不是

第二章

2.2

第1课时

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重点难点展示

第二章

2.2

第1课时

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重点:等差数列的定义和通项公式的推导运用. 难点:通项公式的灵活运用和体会等差数列与一次函数的 关系.

第二章

2.2

第1课时

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学习要点点拨

第二章

2.2

第1课时

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1.通过具体实例,归纳概括等差数列特点,给出等差数 列定义,得出定义式 an+1-an=d (n∈N*). 证明或判定一个数列是等差数列主要用定义式,有时也用 其变式 2an=an+1+an-1(n≥2). 2.在定义式中依次令 n=1,2,3,……,n-1,得出 n-1 个差式.相加得出等差数列的通项公式.在这里要深刻领会这 种逐差相加相消的方法或迭代法及归纳法原理.对于通项公式 要注意领会其变式并在解题中自觉运用.

第二章

2.2

第1课时

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3.本节教材给出的几个例题:例 1 是熟悉公式的,通过 例 1 进一步体会方程思想; 例 2 是等差数列的实际应用问题. 体 会如何运用所学知识解决生活、生产中的实际问题;例 3 是等 差数列的判断.本例应从两个角度重点把握,其一是判定一个 数列为等差数列的方法,其二是等差数列与一次函数的关 系.结合 39 页的探究,体会等差数列就是特殊的一次函数, 原来学过的一次函数的相关知识可用来帮助解决等差数列的 有关问题.并且体会公差 d 的几何意义,就是一次函数图象的 斜率.
第二章 2.2 第1课时

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4.三个数成等差数列可设为 a-d,a,a+d;四个数成等 差数列可设为 a-3d,a-d,a+d,a+3d.

第二章

2.2

第1课时

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思路方法技巧

第二章

2.2

第1课时

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命题方向等差数列的定义及判定

[例 1]

已知数列的通项公式为 an=6n-1,问这个数列

是等差数列吗?若是等差数列,其首项与公差分别是多少?

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1)=6(常数),

∴{an}是等差数列,其首项 a1=6×1-1=5,公差为 6. [点评] 判断一个数列{an}是否为等差数列,只要依据定

义验证 an+1-an=d(d 为常数)是否成立.

第二章

2.2

第1课时

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合作探究 1 1 1 (1)设 a>b>c>0,且 a,b,c 成等差数列,求证: , , 不 a b c 能组成等差数列. (2)已知{an}、{bn}是项数相同的两个等差数列,那么 {pan +qbn}(其中 p,q 是常数)是不是等差数列?

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

(1)∵a,b,c 成等差数列,

∴可设 a=b-d,c=b+d, 1 1 1 假设 , , 成等差数列, a b c 2 1 1 2 1 1 则b=a+c,即b= + , b-d b+d 2 2b ∴b= 2 ,∴d=0,这与 a>b>c>0 矛盾, b -d2 1 1 1 ∴a,b,c不能组成等差数列.

第二章

2.2

第1课时

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(2)设{an}、{bn}的公差分别为 d,d′, Mn=pan+qbn. 则 Mn+1-Mn=(pan+1+qbn+1)-(pan+qbn) =p(an+1-an)+q(bn+1-bn)=pd+qd′为常数, ∴{Mn}是等差数列.

第二章

2.2

第1课时

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1 1 1 若 , , 成等差数列,求证:a2,b2,c2 成等 b+c a+c a+b 差数列.

第二章

2.2

第1课时

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[证明]

1 1 2 由已知得 + = , b+c a+b a+c

2b+a+c 2 即 = . ?b+c??a+b? c+a 即(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b). ∴a2+c2=2b2,∴a2,b2,c2 成等差数列.

第二章

2.2

第1课时

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命题方向

等差数列的通项公式

[例 2]

在等差数列{an}中:

①已知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d; ②已知 a1+a6=12,a4=7,求 a9. [分析] 根据等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d,由

条件可建立关于 a1、d 的二元一次方程组解出 a、b.

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

? ?a1+?5-1?d=-1, ①由题意知? ? ?a1+?8-1?d=2.

? ?a1=-5, 解得? ? ?d=1.

②由题意知
? ?a1+a1+?6-1?d=12, ? ? ?a1+?4-1?d=7. ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2.

∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.
第二章 2.2 第1课时

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[点评]

(1)先根据两个独立的条件解出两个量 a1 和 d,进

而再写出 an 的表达式.几个独立的条件就可以解出几个未知 量,这是方程思想的重要应用. (2)从函数观点看,①中已知直线上两点(5,-1),(8,2), an-?-1? n-5 可写出直线的方程 = ,∴an=n-6,∴a1=-5, 2-?-1? 8-5 d=1.

第二章

2.2

第1课时

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(1)求等差数列 10,8,6,…的第 20 项. (2)100 是不是等差数列 2,9,16,…的项?如果是,是第几 项?如果不是,说明理由.

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

(1)∵a1=10,d=8-10=-2,

∴an=10+(n-1)· (-2)=-2n+12, ∴a20=-2×20+12=-28. (2)∵a1=2,d=9-2=7, ∴an=2+(n-1)×7=7n-5, 由 7n-5=100,得 n=15. ∴100 是这个数列的第 15 项.

第二章

2.2

第1课时

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建模应用引路

第二章

2.2

第1课时

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[例 3]

梯子的最高一级宽 33 cm,最低一级宽 110 cm,

中间还有 10 级,各级的宽度成等差数列.计算中间各级的宽 度.

第二章

2.2

第1课时

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[ 解析 ]

用 {an} 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差

数列,由已知条件,有 a1=33,a12=110,n=12. 由通项公式,得 a12=a1+(12-1)d, 即 110=33+11d. 解得 d=7. 因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61, a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.
第二章 2.2 第1课时

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答: 梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40 cm,47 cm,54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm,96 cm,103 cm.

第二章

2.2

第1课时

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探索延拓创新

第二章

2.2

第1课时

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命题方向

构造解题法

[例 4]

数列{an}的各项的倒数组成一个等差数列,若 a3

= 2-1,a5= 2+1,求 a11. [分析] 1 1 ∵{a }成等差数列,设其公差为 d,首项为a , n 1

1 然后由通项公式即得 d 和a ,代入通项公式可求 a11. 1

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

1 设 bn= ,{bn}的公差为 d. an

1 1 由已知得 b3= = = 2+1, a3 2-1 1 1 b5=a = = 2-1. 2+1 5
? ?b1+2d= ∴? ? ?b1+4d= ? 2+1, ?b1=3+ 2, 解得? ? 2-1. ?d=-1.

∴b11=b1+10d= 2-7. -7- 2 1 1 ∴a11=b = = 47 . 2-7 11
第二章 2.2 第1课时

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[点评]

1 (1)在解题过程中要注意到 - =-1,即 an+1 an+1 an

1

an = , 此类递推公式的数列可转化为等差数列, 进而求出数 1-an 列的通项公式. (2)在本章的许多问题中,需用构造法,构造一个新数列, 使新数列成等差(或等比)数列,从而使原问题获得解决.

第二章

2.2

第1课时

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合作探究 2an 已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,则该数列的通项公 an+2 式 an=________.

2 [答案] n+1

第二章

2.2

第1课时

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[解析] 如下:

由例 4 给我们的启发,可将递推关系式适当变形

an+1· an+2an+1=2an,∴2an-2an+1=an+1· an, 1 1 1 两边同除以 2anan+1 得: - = ,令 bn=a ,则{bn}是 an+1 an 2 n 1 1 以 b1=a =1 为首项,2为公差的等差数列. 1 n+1 1 2 ∴bn=1+ (n-1)= ,∴an= . 2 2 n+1 1

第二章

2.2

第1课时

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创新思维训练 已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,an≠0,(n∈N*), akx2+2ak+1x+ak+2=0 (k∈N*). (1)求证:当 k 取不同的正整数时,方程有公共根; 1 (2)若方程不同的根依次为 x1、 x2、 x3、 ……、 xn, 求证: 、 x1+1 1 1 、……、 是等差数列. x2+1 xn+1

第二章

2.2

第1课时

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[分析]

在已知一元二次方程中,其系数为 ak,ak+1,ak+2

为等差数列的连续三项,故可考虑利用等差中项,将其中一个 系数用另外两个系数的关系式来表示,这样可将方程左端分解 因式. 如果方程左端出现与 ak, ak+1, ak+2 无关的关于 x 的因式, 1 1 可得其公共根,解出另一个根 xk,计算 - 可得. xk+1+1 xk+1

第二章

2.2

第1课时

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[解析]

(1)∵{an}为等差数列,d≠0,an≠0,(n∈N*)∴

2ak+1=ak+ak+2 代入已知方程中得(ak· x+ak+2)(x+1)=0,∴无 论 k 取何值,总有 x=-1 为方程一根,∴方程有公共根 x= -1. ak+2 (2)当 k 取不同正整数时,其不同的根 xk=- a , k ak+2 ak-ak+2 -2d ∴xk+1=- a +1= a = a , k k k 1 ak ∴ =-2d . xk+1
第二章 2.2 第1课时

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ak+1 1 1 ak ∴ - =(- )-(- ) 2d 2d xk+1+1 xk+1 -?ak+1-ak? 1 = =-2, 2d 1 1 ∴数列{ }是公差为-2的等差数列. xk+1

第二章

2.2

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名师辩误做答

第二章

2.2

第1课时

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[例 5]

已知数列{an}满足

? ?3 an=? ? ?2n-1

n=1 ,数列{bn} n≥2

满足 bn=3an+4,{bn}是否为等差数列? [错解] ∵bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)

=3(an+1-an)=3[(2n+1)-(2n-1)] =6(常数), ∴{bn}是等差数列.

第二章

2.2

第1课时

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[辨析]

由数列{an}的定义式知,当 n≥2 时,an=2n-1,

故 bn+1-bn=6 是在条件 n≥2 下导出的,当 n=1 时是否满足, 需要验证.

第二章

2.2

第1课时

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[正解]
+1

当 n≥2 时,bn+1-bn=(3an+1+4)-(3an+4)=3(an

-an)=3[(2n+1)-(2n-1)]=6, 又 b2 - b1 = (3a2 + 4) - (3a1 + 4) = 3(a2 - a1) = 3×(3 - 3) =

0≠6. ∴数列{bn}不是等差数列.

第二章

2.2

第1课时

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课堂巩固训练

第二章

2.2

第1课时

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一、选择题 1. 在数列{an}中, a1=2,2an+1=2an+1, 则 a101 的值为( A.49 B.50 C.51 D.52 )

[答案]

D

第二章

2.2

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[解析]

1 由 2an+1=2an+1 得 an+1-an=2,

1 ∴{an}是首项 a1=2,公差 d= 的等差数列, 2 n+3 101+3 1 ∴an=2+2(n-1)= 2 ,∴a101= 2 =52.

第二章

2.2

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2.若一个三角形的三个内角成等差数列,且已知一个角 为 28° ,则其它两角的度数为( )

A.54° ,98° B.62° ,90° C.60° ,92° D.68° ,108°

[答案] C

第二章

2.2

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[解析]

由条件可知,28° 为最小角,设公差为 d,则 28°

+(28° +d)+(28° +2d)=180° , ∴d=32° ,∴其它两角为 60° ,92° .

第二章

2.2

第1课时

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二、填空题 3.在正整数 100 至 500 之间能被 11 整除的整数的个数是 __________.

[答案] 36

第二章

2.2

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[解析]

设 能 被 11 整 除 的 数 为 11x(x ∈ N*) , 由 题 设

100 500 100<11x<500,∴ <x< , 11 11 ∵x<N*,∴10≤x≤45,∴共有 45-10+1=36 个.

第二章

2.2

第1课时

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4.直角三角形三边长 a,b,c 成等差数列(c 为斜边),则 a:b:c=________.

[答案]

3:4:5

第二章

2.2

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[解析]

设公差为 d(d>0),∴a=b-d,c=b+d,

∵(b-d)2+b2=(b+d)2,∴b=4d, ∴a=3d,c=5d,因此 a:b:c=3:4:5.

第二章

2.2

第1课时

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三、解答题 5.数列{an}是等差数列,bn=kan+b(k,b 是常数 n∈N*), 求证数列{bn}也是等差数列.

第二章

2.2

第1课时

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[证明]

∵{an}是等差数列,∴an-an-1=d(n≥2),

bn = kan +b , bn -1 = kan - 1 + b ,∴ bn - bn -1 = k(an - an - 1) = kd.(n≥2)是常数,∴{bn}是等差数列.

第二章

2.2

第1课时

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第二章

2.2

第1课时


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