2019年浙江高三数学二轮复习_专题五 直线与圆_圆锥曲线第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系(二)_图文

第5讲 直线与圆锥曲线的位置关系(二)

核心突破
考点一 圆锥曲线上点的对称问题
【例 1】椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2在 x 轴上,离心率 e= 1 , 2
其中∠F1AF2 的平分线所在的直线 l 的方程为 y=2x-1. (1)求椭圆 E 的方程;

解:(1)设椭圆 E 的方程为 x2 + y 2 =1(a>b>0), a2 b2

由题意,可得

? 22 ????aa22

?

32 b2

? b2

? 1, ? c2,

解得

?a ? ?b

? ?

4, 2

3,

? ?

c

?

1,

??c ? 2,

?? a 2

所以椭圆 E 的方程为 x2 + y 2 =1. 16 12

(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出,若不存在, 说明理由.

解:(2)法一 (联立方程组)假设在椭圆上存在关于直线 l 对称的相异两点 M(x1,y1), N(x2,y2),设线段 MN 的中点为 P(x0,y0).
因为直线 MN 与直线 l 垂直,所以设直线 MN 的方程为 y=- 1 x+m,由此得 x=2m-2y,将其 2
代入椭圆方程,得 4y2-6my+3m2-12=0.

y1,y2 是此方程的两个根,所以 y1+y2= 3m . 2

所以 y0= 1 (y1+y2)= 3m .

2

4

又点 P 在直线 x=2m-2y 上,所以 x0=2m-2y0= m , 2

所以点 P 的坐标为( m , 3m ). 24

又点 P 在直线 y=2x-1 上,所以 3m =2· m -1,

4

2

解得 m=4,所以点 P 的坐标为(2,3).

因为点 P 的坐标满足椭圆方程,所以点 P 在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点.

法二 (点差法)假设在椭圆上存在关于直线 l 对称的相异两点 M(x1,y1),N(x2,y2), 设线段 MN 的中点为 P(x0,y0).因为 M,N 两点在椭圆上, 故有 3 x12 +4 y12 =48,3 x22 +4 y22 =48,两式相减,得 3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. 又 P 为线段 MN 的中点,则有 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,所以 3x0(x1-x2)+4y0(y1-y2)=0. 因为直线 l 与直线 MN 垂直,

所以 x1≠x2,所以 y1 ? y2 =- 3x0 =- 1 . x1 ? x2 4 y0 2

所以 3x0=2y0.



又点 P(x0,y0)在直线 y=2x-1 上,所以 y0=2x0-1.



由①②得点 P 的坐标为(2,3),

所以点 P 与 A 重合,在椭圆上,不在椭圆内,故不存在这样的两点.

方法技巧 (1)圆锥曲线上有M,N两点关于直线l对称问题,可转化为三个条件:①MN⊥l; ②MN的中点在直线l上;③M,N在圆锥曲线上. (2)解圆锥曲线上两点关于直线的对称问题主要有联立方程组法(注意Δ>0) 和点差法两种方法.

【题组训练】 1.已知两定点 A(-2,0)和 B(2,0),动点 P(x,y)在直线 l:y=x+3 上移动,椭圆 C 以 A,B 为
焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为( B )

(A) 26 13

(B) 2 26 13

(C) 2 13 13

(D) 4 13 13

解析:设点 A 关于直线 l 的对称点为 A1(x1,y1),

则有

? ?? ?

y1 x1 ?

2

?

?1,

解得 x1=-3,y1=1,则 A1(-3,1),

? ??

y1 2

?

x1 ? 2

2

?

3,

易知|PA|+|PB|的最小值等于|A1B|= 26 , 因此椭圆 C 的离心率 e= AB = 4 ≤ 4 = 2 26 .即椭圆 C 的离心率的最
PA ? PB PA ? PB 26 13

大值为 2 26 . 13

2.已知椭圆 x2 +y2=1 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 1 对称.

2

2

(1)求实数m的取值范围;

解:(1)由题意知 m≠0, 可设直线 AB 的方程为 y=- 1 x+b.
m



? x2

?? ?

2

?

y2

? 1,

? ??

y

?

?

1 m

x

?

b,

消去 y,得( 1 + 1 )x2- 2b x+b2-1=0.

2 m2

m

因为直线 y=- 1 x+b 与椭圆 x2 +y2=1 有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+ 4 >0,



m

2

m2

将线段 AB 中点 M( 2mb , m2b )代入直线方程 y=mx+ 1 ,解得 b=- m2 ? 2 .



m2 ? 2 m2 ? 2

2

2m2

由①②得 m<- 6 或 m> 6 .

3

3

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).

解:(2)令 t= 1 ∈(- 6 ,0)∪(0, 6 ),则|AB|=

m

2

2

t2 ?1·

?2t 4 ? 2t 2 ? 3 2,
t2 ? 1 2

t2 ? 1 且 O 到直线 AB 的距离为 d= 2 .设△AOB 的面积为 S(t),
t2 ?1

所以 S(t)= 1 |AB|·d= 1

2

2

?2

? ??

t

2

?

1 2

?2 ??

?

2



2 .当且仅当 t2= 1 时,等号成立.

2

2

故△AOB 面积的最大值为 2 . 2

考点二 轨迹问题
【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y=-3 上,M 点满足 MB ∥ OA , MA · AB = MB · BA ,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程;
解:(1)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )· AB =0, 即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
所以曲线 C 的方程为 y= 1 x2-2. 4

(2)P点为曲线C上的动点,l为曲线C在P点处的切线,求O点到l距离的最小值.

解:(2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= 1 x2-2 上一点, 4

因为 y′= 1 x,所以 l 的斜率为 1 x0,

2

2

因此直线 l 的方程为 y-y0= 1 x0(x-x0), 2
即 x0x-2y+2y0- x02 =0.

则 O 点到 l 的距离 d= 2 y0 ? x02 . x02 ? 4



y0=

1 4

x02

-2,

所以

d=

1 2

x02

?

4

=

1

(

x02 ? 4 2

x02 ? 4 +

4 )≥2. x02 ? 4

当且仅当 x02 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

方法技巧
求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系f(x,y)=0. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,先根据条件设出所求曲线的方程,再 由条件确定待定系数. (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直 接写出动点的轨迹方程. (4)相关点法:动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0, y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知 曲线得要求的轨迹方程.

(5)参数法:当动点P(x,y)的坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关点可 用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得 普通方程.

【题组训练】 1.如图,抛物线E:y2=2px(p>0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为 2.过劣弧AB上的动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为 切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M. (1)求p的值;
解:(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.

(2)求动点M的轨迹方程.

解:(2)由(1)知抛物线 E:y2=2x,



C(

y12

,y1),D(

y

2 2

,y2),y1≠0,y2≠0.

2

2

设切线 l1:y-y1=k(x- y12 ), 2
代入 y2=2x 得 ky2-2y+2y1-k y12 =0, 由Δ=0 解得 k= 1 ,
y1

所以 l1 的方程为 y= 1 x+ y1 , y1 2
同理,l2 的方程为 y= 1 x+ y2 . y2 2

联立

? ?? ?

y

? ??

y

? ?

1 y1 1 y2

x? x?

y1 , 2 y2 , 2

解得

?
?? ?
? ??

x y

? ?

y1 y2 , 2 y1 ? y2 2

① .

因为直线 CD 的方程为 x0x+y0y=8,其中 x0,y0 满足 x02 + y02 =8,x0∈[2,2 2 ],



?? y2 ?

?

2x,

得 x0y2+2y0y-16=0,

??x0x ? y0 y ? 8,



? ?? ? ? ??

y1 y1

? y2

y2 ?

?? ? 16
x0

2 y0 x0
.

,



由①②可得

???x

?

? ??

y

? ?

? ?

8 x0 y0 x0

, ,



? ?? ? ? ??

x0 y0

? ?

?8 x
8y x

, ,

代入

x02

+

y02 =8,得

x2 8

-y2=1.

考虑到 x0∈[2,2 2 ],则 x∈[-4,-2 2 ], 所以动点 M 的轨迹方程为 x2 -y2=1,x∈[-4,-2 2 ].
8

2.已知椭圆 C: x2 + a2

y2 =1(a>b>0)的一个焦点为( b2

5 ,0),离心率为 5 . 3

(1)求椭圆 C 的标准方程;

解:(1)依题意得,c= 5 ,e= c = 5 , a3
因此 a=3,b2=a2-c2=4, 故椭圆 C 的标准方程是 x2 + y 2 =1.
94

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点 P的轨迹方程.

解:(2)若两切线的斜率均存在,设过点 P(x0,y0)的切线方程是 y=k(x-x0)+y0,



? ? ? ?

y?k x2 ?

?x
y2

? ?

x0 1,

?

?

y0 ,

?9 4

解得

x2

+

??k ? x ? x0 ? ?

2
y0 ??

=1,

9

4

即(9k2+4)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,

Δ=[18k(y0-kx0)]2-36(9k2+4)[(y0-kx0)2-4]=0,

整理得( x02 -9)k2-2x0y0k+ y02 -4=0.

又所引的两条切线相互垂直,

设两切线的斜率分别为 k1,k2,

于是有

k1k2=-1,即

y02 x02

?4 ?9

=-1,

即 x02 + y02 =13(x0≠±3).

若两切线中有一条斜率不存在,

则易得

? ? ?

x0 y0

? ?

3, 2,



? ? ?

x0 y0

? ?

?3, 2,



? ? ?

x0 y0

? ?

3, ?2,



? ? ?

x0 y0

? ?

?3, ?2,

经检验知均满足 x02 + y02 =13.

因此,动点 P(x0,y0)的轨迹方程是 x2+y2=13.

考点三 圆锥曲线与三角函数交汇

【例 3】如图,已知椭圆 x2 + y2 =1(a>b>0)的左顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B.若 a2 b2

∠BAO+∠BFO=90°,则该椭圆的离心率是

.

解析:因为∠BAO+∠BFO=90°,所以∠BFO=∠ABO,

所以 tan ∠BFO=tan ∠ABO,即 b = a . cb
所以 b2=ac, 所以 a2-c2=ac, 即 c2+ac-a2=0.

所以( c )2+ c -1=0,即 e2+e-1=0, aa

解得 e= 5 ?1 或 e= ?1? 5 (舍去),所以 e= 5 ?1 . 答案: 5 ?1

2

2

2

2

方法技巧
解圆锥曲线与三角函数交汇问题关键是建立所求问题与三角函数的关系,把 所求问题用三角函数表示或把三角函数转化为圆锥曲线参数的式子.

【题组训练】

1.已知双曲线

x2 a2

-

y2 b2

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

F1,F2,点

P

在双曲线的右支

上,若 tan∠PF1F2= 1 ,tan∠PF2F1=-2,则双曲线的离心率为( C )
2

(A) 2 5 5

(B) 5

(C) 3 5 5

(D) 5 5

解析:依题意,设点 P 的坐标为(x,y),因为点 P 在双曲线的右支上,所以 x>0,因为

tan ∠PF1F2= y = 1 ,① x?c 2

tan∠PF2F1=- y =-2,②,联立①②,可解得 x= 5 c,y= 4 c 或 y=- 4 c,

x?c

3

3

3

所以 P( 5 c,± 4 c),将 P 点坐标代入双曲线方程,又因为双曲线满足 b2=c2-a2,所以 33

25 c2 9-

16 c2 9

=1,整理可得 25e4-50e2+9=0,由于双曲线的离心率 e>1,故 e= 3

5.

a2 c2 ? a2

5

故选 C.

2.α ∈(0, π ),方程 x2sin α +y2cos α =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则α 的取值范 2

围解是析:标准方程为. x2 + y2 =1,

1

1

sin? cos?

它表示焦点在 y 轴上的椭圆,

则 1 > 1 >0, cos? sin?

即 sin α>cos α,得α∈( π , π ).

答案:( π , π )

42

42

阅卷评析

轨迹问题

【典例】 (12 分)已知抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2

2

),椭圆

x2 a2

+

y2 b2

=1 的右焦点恰为

抛物线的焦点,且椭圆的离心率为 1 . 2
(1)求抛物线与椭圆的方程;

解:(1)因为抛物线 y2=2px 经过点 M(2,-2 2 ), 所以(-2 2 )2=4p,解得 p=2. 所以抛物线的方程为 y2=4x, 其焦点为 F(1,0),即椭圆的右焦点为 F(1,0),得 c=1.
又椭圆的离心率为 1 ,所以 a=2, 2
可得 b2=4-1=3,
故椭圆的方程为 x2 + y 2 =1.…………………………3 分 43

(2)若 P 为椭圆上一个动点,Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点, OP =λ (λ ≠0), OQ
试求 Q 的轨迹.

解:(2)设 Q(x,y),其中 x∈[-2,2], 设 P(x,y0),因为 P 为椭圆上一点, 所以 x2 + y02 =1,
43

解得

y02

=3-

3 4

x2.

由 OP =λ可得 OP 2 =λ2,

OQ

OQ 2

x2 ? 3? 3 x2



4 =λ2,

x2 ? y2

得(λ2- 1 )x2+λ2y2=3,x∈[-2,2]. ………………………6 分 4

①当λ2= 1 ,即λ= 1 时,得 y2=12,点 Q 的轨迹方程为 y=±2 3 ,x∈[-2,2],

4

2

此轨迹是两条平行于 x 轴的线段; ……………………8 分

②当λ2< 1 ,即 0<λ< 1 时,得到 x2 + y2 1,

4

2

3

3

?2 ? 1 ?2
4

此轨迹表示实轴在 y 轴上的双曲线满足 x∈[-2,2]的部分;…………………………10 分

③当λ2> 1 ,即λ> 1 时,得到

x2 3

y2 + 3 =1.

4

2

?2 ? 1 ?2

4

此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x∈[-2,2]的部分.……………………………12 分

【答题启示】 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时,关键是确定分类标准,一 般情况下,根据x2,y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论. (2)等价变换是解题的关键:即必须分三种情况讨论轨迹方程. (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题.

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