山东省济宁市曲阜师大附中2015-2016学年高二(下)4月月考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016 学年山东省济宁市曲阜师大附中高二(下)4 月月考 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.设函数 f(x)在 x0 处可导,则 A.f′(x0) B.f′(﹣x0) 2.已知某物体的运动方程是 s= C.﹣f′(x0) 等于( D.﹣f(﹣x0) ) )

+t,则当 t=3s 时的瞬时速度是(

A.2m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s 3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 假设正确的是 ( A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 4.下列推理过程是演绎推理的是( ) A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B.某校高二 1 班有 55 人,2 班有 52 人,由此得高二所有班人数都超过 50 人 C.两条直线平行,同位角相等;若∠A 与∠B 是两条平行直线的同位角,则∠A=∠B D.在数列{an}中,a1=2,an=2an﹣1+1(n≥2) ,由此归纳出{an}的通项公式 5.已知双曲线 方程为( A.y=± ) x B.y=± x C.y= x D.y= x ﹣



=1 的一个焦点与抛物线 x2=12y 的焦点相同,则此双曲线的渐近线

6.在平面几何里有射影定理:设三角形 ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影, 则 AB2=BD?BC.拓展到空间,在四面体 A﹣BCD 中,CA⊥面 ABD,点 O 是 A 在面 BCD 内的射影,且 O 在面 BCD 内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( ) 2 2 A.S△ABC =S△BOC?S△BDC B.S△ABD =S△BOD?S△BDC C.S△ADC2=S△DOC?S△BDC D.S△DBC2=S△ABD?S△ABC 7.已知定义在实数集 R 的函数 f(x)满足 f(1)=4,且 f(x)导函数 f′(x)<3,则不等 式 f(lnx)>3lnx+1 的解集为( ) A. B. (1,+∞) (e,+∞)C. (0,1) D. (0,e) 8.定义 min{a,b}= ,设 f(x)=min{x2, ) },则由函数 f(x)的图象与 x 轴、

直线 x=2 所围成的封闭图形的面积为( A. B. C. D.

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9.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 的离心率之积为 A. x±y=0

+

=1,双曲线 C2 的方程为 )



=1,C1 与 C2

,则 C2 的渐近线方程为( B.x± y=0

C.2x±y=0 D.x±2y=0 有三个不同的零点 x1,x2,x3(其中 x1<x2<x3) ,

10.已知函数 f(x)=ax+lnx﹣

则(1﹣

)2(1﹣

) (1﹣

)的值为(



A.1﹣a B.a﹣1 C.﹣1 D.1 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则函数 f(x)单调递增区间是 . 12. f =0 是 x0 为 f (x) 是定义在 R 上的可导函数, 则 f′ (x0) (x) 的极值点的 充分不必要,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要) 13.用数学归纳法证明某命题时,左式为 从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为 14.过椭圆 + . .

条件. (填

(n 为正偶数) ,

=1 上一点 P(x0,y0) (y0≠0)的切线的斜率为

15.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴 旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V 圆锥= π( )2dx= | = 据此类比:将

曲线 y=x2(x≥0)与直线 y=2 及 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋 转体的体积 V= .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.观察下列等式: 1=1 第一个式子 2+3+4=9 第二个式子 3+4+5+6+7=25 第三个式子 4+5+6+7+8+9+10=49 第四个式子
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照此规律下去: (Ⅰ)写出第五个等式; (Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想. 17.已知 a>0,用综合法或分析法证明: ﹣ ≥a+ ﹣2.

18.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图 中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的等腰直角三 角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm) . (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.

19.已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣2y﹣2=0. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 20.设函数 f(x)=lnx﹣ ax2﹣2x,其中 a≤0. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=2x+b,求 a﹣2b 的值; f x (Ⅱ)讨论函数 ( )的单调性; (Ⅲ)设函数 g(x)=x2﹣3x+3,如果对于任意的 x,t∈(0,1],都有 f(x)≤g(t)恒 成立,求实数 a 的取值范围. 21.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2, =0 相切,

离心率为

,以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+

过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 =3 ,求直线 l 的方程;

(3)求△F1MN 面积的最大值.

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参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.设函数 f(x)在 x0 处可导,则 等于( )

A.f′(x0) B.f′(﹣x0) C.﹣f′(x0) D.﹣f(﹣x0) 【考点】导数的几何意义. 【分析】根据导数的几何意义,以及导数的极限表示形式 f'(x0) = 进行化简变形,得到结论.

【解答】 解: 故选 C.

=﹣

=﹣f ′ x0) ( ,

2.已知某物体的运动方程是 s=

+t,则当 t=3s 时的瞬时速度是(



A.2m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s 【考点】导数的几何意义. 【分析】求出位移的导数,将 t=3 代入,利用位移的导数值为瞬时速度,求出当 t=3s 时的 瞬时速度. 【解答】解:根据题意,s= 将 t=3 代入得 s′(3)=4m/s, 故选 C. 3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 假设正确的是 ( A.假设三内角都不大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 ) +t,则 s′=1+ t2

【考点】反证法与放缩法. 【分析】一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定: “不都是”; “至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多有 n 个” 的否定:“至少有 n+1 个”;
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“任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”;“所有的”的否定:“某些”. 【解答】解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定:“一 个也没有”;即“三内角都大于 60 度”. 故选 B 4.下列推理过程是演绎推理的是( ) A.由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质 B.某校高二 1 班有 55 人,2 班有 52 人,由此得高二所有班人数都超过 50 人 C.两条直线平行,同位角相等;若∠A 与∠B 是两条平行直线的同位角,则∠A=∠B D.在数列{an}中,a1=2,an=2an﹣1+1(n≥2) ,由此归纳出{an}的通项公式 【考点】演绎推理的基本方法. 【分析】根据三种推理的定义及特点,逐一分析四个答案中的推理过程,可得结论. 【解答】解:A 中,由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理; B 中,某校高二 1 班有 55 人,2 班有 52 人,由此得高二所有班人数都超过 50 人,是归纳 推理; C 中,两条直线平行,同位角相等;若∠A 与∠B 是两条平行直线的同位角,则∠A=∠B, 是演绎推理; D 中,在数列{an}中,a1=2,an=2an﹣1+1(n≥2) ,由此归纳出{an}的通项公式,是归纳推理. 故选:C

5.已知双曲线 方程为( A.y=± )



=1 的一个焦点与抛物线 x2=12y 的焦点相同,则此双曲线的渐近线

x B.y=±

x

C.y=

x

D.y=

x

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求得抛物线的焦点,由题意可得 3= ,解方程可得 m,可得双曲线的方程,再 将其中的“1”换为“0”,进而得到所求渐近线方程. 【解答】解:抛物线 x2=12y 的焦点为(0,3) , 由双曲线 ﹣ =1 的一个焦点与抛物线 x2=12y 的焦点相同,

可得 3= , 解得 m=4, 即有双曲线的方程为 ﹣ =1,

可得渐近线方程为 y=± 故选:C.

x.

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6.在平面几何里有射影定理:设三角形 ABC 的两边 AB⊥AC,D 是 A 点在 BC 上的射影, 则 AB2=BD?BC.拓展到空间,在四面体 A﹣BCD 中,CA⊥面 ABD,点 O 是 A 在面 BCD 内的射影,且 O 在面 BCD 内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( ) 2 2 A.S△ABC =S△BOC?S△BDC B.S△ABD =S△BOD?S△BDC C.S△ADC2=S△DOC?S△BDC D.S△DBC2=S△ABD?S△ABC 【考点】类比推理. 【分析】这是一个类比推理的题,在由平面图形到空间图形的类比推理中,一般是由点的性 质类比推理到线的性质,由线的性质类比推理到面的性质,由已知在平面几何中, (如图所 2 示)若△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC,D 是垂足,则 AB =BD?BC,我们可以类比这一性 质,推理出若三棱锥 A﹣BCD 中,AD⊥面 ABC,AO⊥面 BCD,O 为垂足,则(S△ABC) 2 =S△BOC.S△BDC. 【解答】解:由已知在平面几何中, 若△ABC 中,AB⊥AC,AE⊥BC,E 是垂足, 则 AB2=BD?BC, 我们可以类比这一性质,推理出: 若三棱锥 A﹣BCD 中,AD⊥面 ABC,AO⊥面 BCD,O 为垂足, 则(S△ABC)2=S△BOC.S△BDC. 故选:B. 7.已知定义在实数集 R 的函数 f(x)满足 f(1)=4,且 f(x)导函数 f′(x)<3,则不等 式 f(lnx)>3lnx+1 的解集为( ) A. B. (1,+∞) (e,+∞)C. (0,1) D. (0,e) 【考点】导数的运算;其他不等式的解法. 【分析】构造函数 g(x)=f(x)﹣2x﹣1,求函数的导数,判断函数的单调性 即可得到结 论 【解答】解:设 t=lnx, 则不等式 f(lnx)>3lnx+1 等价为 f(t)>3t+1, 设 g(x)=f(x)﹣3x﹣1, 则 g′(x)=f′(x)﹣3, ∵f(x)的导函数 f′(x)<3, ∴g′(x)=f′(x)﹣3<0,此时函数单调递减, ∵f(1)=4, ∴g(1)=f(1)﹣3﹣1=0, 则当 x>1 时,g(x)<g(1)=0, 即 g(x)<0,则此时 g(x)=f(x)﹣3x﹣1<0, 即不等式 f(x)>3x+1 的解为 x<1, 即 f(t)>3t+1 的解为 t<1, 由 lnx<1,解得 0<x<e, 即不等式 f(lnx)>3lnx+1 的解集为(0,e) , D 故选: .

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8.定义 min{a,b}=

,设 f(x)=min{x2, )

},则由函数 f(x)的图象与 x 轴、

直线 x=2 所围成的封闭图形的面积为( A. B. C. D.

【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】根据题目给出的函数定义,写出分段函数 f(x)=min{x2, 所求面积的区域,然后直接运用定积分求解阴影部分的面积. 【解答】解:由 =x2,得:x=1, 又当 x<0 时, <x2, },由图象直观看出

所以,根据新定义有 f(x)=min{x2,

}=



图象如图, 所以,由函数 f(x)的图象与 x 轴、x=2 直线所围成的封闭图形为图中阴影部分, 其面积为 S= 故选:C. x2dx+ dx= | +lnx| = +ln2,

9.已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 的离心率之积为 A.

+

=1,双曲线 C2 的方程为 )



=1,C1 与 C2

,则 C2 的渐近线方程为(

x±y=0 B.x± y=0 C.2x±y=0 D.x±2y=0 【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 【分析】求出椭圆与双曲线的离心率,根据离心率之积的关系,然后推出 a,b 关系,即可 求解双曲线的渐近线方程.
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【解答】解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,C1 的离心率为:



双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为: ,



∵C1 与 C2 的离心率之积为 ∴





= ,

=

, ,即 x± y=0

C2 的渐近线方程为:y= 故选:B

10.已知函数 f(x)=ax+lnx﹣

有三个不同的零点 x1,x2,x3(其中 x1<x2<x3) ,

则(1﹣

)2(1﹣

) (1﹣

)的值为(



A.1﹣a B.a﹣1 C.﹣1 D.1 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】先分离参数得到 a= ﹣ ,令 h(x)= ﹣ .求导后得其极值 ﹣μ,

点,h(x)在(0,1) , (e,+∞)上为减函数,在(1,e)上为增函数.再令 a= μ1μ2=1﹣a<0, 转化为关于 μ 的方程后由根与系数关系得到 μ1+μ2=1﹣a<0, 再结合 μ= 的图象可得到(1﹣ )2(1﹣ ) (1﹣

)的值.

【解答】解:令 f(x)=0,分离参数得 a= 令 h(x)= ﹣ ,





由 h′(x)=

=0,得 x=1 或 x=e.

当 x∈(0,1)时,h′(x)<0;当 x∈(1,e)时,h′(x)>0;当 x∈(e,+∞)时,h′ (x)<0. 即 h(x)在(0,1) , (e,+∞)上为减函数,在(1,e)上为增函数.
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∴0<x1<1<x2<e<x3, a= ﹣ = ﹣ ,令 μ= ,

则 a=

﹣μ,即 μ2+(a﹣1)μ+1﹣a=0,

μ1+μ2=1﹣a<0,μ1μ2=1﹣a<0, 对于 μ= ,μ′=

则当 0<x<e 时,μ′>0;当 x>e 时,μ′<0.而当 x>e 时,μ 恒大于 0. 画其简图, 不妨设 μ1<μ2,则 μ1= ,μ2= = =μ3,

∴(1﹣

)2(1﹣

) (1﹣

)=(1﹣μ1)2(1﹣μ2) (1﹣μ3)

=[(1﹣μ1) (1﹣μ2)]2=[1﹣(1﹣a)+(1﹣a)]2=1. 故选:D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设 f(x)=x2﹣2x﹣4lnx,则函数 f(x)单调递增区间是 [2,+∞) . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】先求函数的定义域,再求导数,令导数大于 0,解得 x 的范围即为函数的单调增区 间. 【解答】解:函数 f(x)=x2﹣2x﹣4lnx 的定义域为(0,+∞) , f′(x)=2x﹣2﹣ = ,

令 f′(x)>0,∵x>0,解得,x>2, ∴函数的单调增区间为[2,+∞) ,
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故答案为:[2,+∞) . 12.f(x)是定义在 R 上的可导函数,则 f′(x0)=0 是 x0 为 f(x) 的极值点的 必要不充 分 条件. (填充分不必要,必要不充分,充要条件或既不充分也不必要) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】结合极值的定义可知必要性成立,而充分性中除了要求 f′(x0)=0 外,还的要求在 两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化) ,通过反例可知充分性不成立. 3 2 【解答】解:如 y=x ,y′=3x ,y′|x=0=0,但 x=0 不是函数的极值点. 若函数在 x0 取得极值,由定义可知 f′(x0)=0, 所以 f′(x0)=0 是 x0 为函数 y=f(x)的极值点的必要不充分条件, 故答案为:必要不充分.

13.用数学归纳法证明某命题时,左式为 从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为 .

(n 为正偶数) ,

【考点】数学归纳法. 【分析】分析 n=2k、n=2k+2 时,左边的式子,即可得到结论. 【解答】解:∵n=2k 时,左式为 n=2k+2 时,左式为 ∴从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为 故答案为: + , ,

14.过椭圆

+

=1 上一点 P(x0,y0) (y0≠0)的切线的斜率为 ﹣



【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用复合函数求导法则,可知: + =0,求得 y′=﹣ ,利用导数的几

何意义可知:切线的斜率为:k=y′

=﹣



【解答】解:由椭圆方程可知:

+

=1,

利用复合函数求导法则可知:

+

=0,

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∴y′=﹣



y0) 由导数的几何意义可知: 过点 P (x0, (y0≠0) 的切线的斜率 k=y′

=﹣



故答案为:﹣



15.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,将直线 y= 与直线 x=1 及 x 轴所围成的图形绕 x 轴 旋转一周得到一个圆锥,圆锥的体积 V 圆锥= π( )2dx= | = 据此类比:将

曲线 y=x2(x≥0)与直线 y=2 及 y 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周得到一个旋转体,该旋 转体的体积 V= 2π .

【考点】用定积分求简单几何体的体积. 【分析】根据类比推理,结合定积分的应用,即可求出旋转体的体积. 【解答】解:根据类比推理得体积 V= 故答案为:2π 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.观察下列等式: 1=1 第一个式子 2+3+4=9 第二个式子 3+4+5+6+7=25 第三个式子 4+5+6+7+8+9+10=49 第四个式子 照此规律下去: (Ⅰ)写出第五个等式; (Ⅱ)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想. 【考点】数学归纳法;归纳推理. 【分析】 (Ⅰ)利用条件直接写出第 5 个等式. (Ⅱ)猜测第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…(3n﹣2)=(2n﹣1)2,然后利用数学归纳 法的证明步骤证明即可. 【解答】解: (Ⅰ)第 5 个等式 5+6+7+…+13=92; (Ⅱ)猜测第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…(3n﹣2)=(2n﹣1)2, )
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=

πydy=



再用数学归纳法加以证明如下: (1)当 n=1 时显然成立; ) (2)假设 n=k(k≥1,k∈N+)时也成立, 即有 k+(k+1)+(k+2)+…(3k﹣2)=(2k﹣1)2, 那么当 n=k+1 时左边=(k+1)+(k+2)+…(3k﹣2)+(3k﹣1)+(3k)+(3k+1) , =(k+1)+(k+2)+…(3k﹣2)+(2k﹣1)+(3k)+(3k+1) , 2 =(2k﹣1) +(2k﹣1)+3k+3k+1, =4k2﹣4k+1+8k, =[2(k+1)﹣1]2, 而右边=[2(k+1)﹣1]2 这就是说 n=k+1 时等式也成立. 根据(1) (2)知,等式对任何 n∈N+都成立.

17.已知 a>0,用综合法或分析法证明: 【考点】综合法与分析法(选修) . 【分析】根据分析证明不等式的步骤完成即可 【解答】证明:要证明: ﹣



≥a+ ﹣2.

≥a+ ﹣2.

只要证

+2≥a+ +



∵a>0,故只要证(

+2)2≥(a+ +

)2 .

即 a2+

+4

+4≥a2+2+

+2

(a+ )+2,

从而只要证 2 只要证 4(a2+ 即 a2+ ≥2,



(a+ ) ,

)≥2(a2+

+2) ,

而上述不等式显然成立,故原不等式成立. 18.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图 中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上,是被切去的等腰直角三 角形斜边的两个端点,设 AE=FB=x(cm) . 2 (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值?

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(2)若广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.

【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)可设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,写出 a,h 与 x 的关系式, 并注明 x 的取值范围.再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积 S 关于 x 的函数解析式,最 后求出何时它取得最大值即可; (2)利用体积公式表示出包装盒容积 V 关于 x 的函数解析式,最后利用导数知识求出何时 它取得的最大值即可. 【解答】解:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,则 a= x,h= (30﹣x) , 0<x<30. (1)S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800, ∴当 x=15 时,S 取最大值. (2)V=a2h=2 (﹣x3+30x2) ,V′=6 x(20﹣x) , 由 V′=0 得 x=20, 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0; ∴当 x=20 时,包装盒容积 V(cm3)最大, 此时, .

即此时包装盒的高与底面边长的比值是 .

19.已知函数 f(x)=alnx+bx(a,b∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣2y﹣2=0. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立,求实数 k 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求导数得 f′(x)= +b,由导数几何意义得曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线斜率为 k=f′(1)= ,且 f(1)= ,联立求得 a=1,b=﹣ ,从而确定 f(x)的 解析式; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,不等式等价于 lnx﹣ + <0,参变分离为 k< 右侧函数的最小值即可. ﹣xlnx,利用导数求

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【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=alnx+bx,∴f′(x)= +b. ∵直线 x﹣2y﹣2=0 的斜率为 ,且曲线 y=f(x)过点(1,﹣ ) ,





解得 a=1,b=﹣ .

所以 f(x)=lnx﹣ x; (Ⅱ)由(Ⅰ)得当 x>1 时,f(x)+ <0 恒成立即 lnx﹣ + <0,等价于 k< 令 g(x)= ﹣xlnx,则 g′(x)=x﹣1﹣lnx. ﹣xlnx.

令 h(x)=x﹣1﹣lnx,则 h′(x)=1﹣ . 当 x>1 时,h′(x)>0,函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增,故 h(x)>h(1)=0. 从而,当 x>1 时,g′(x)>0,即函数 g(x)在(1,+∞)上单调递增, 故 g(x)>g(1)= . 因此,当 x>1 时,k< ﹣xlnx 恒成立,则 k≤ .

∴k 的取值范围是(﹣∞, ].

20.设函数 f(x)=lnx﹣ ax2﹣2x,其中 a≤0. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y=2x+b,求 a﹣2b 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)设函数 g(x)=x2﹣3x+3,如果对于任意的 x,t∈(0,1],都有 f(x)≤g(t)恒 成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,得到 f′(1)=2,解得 a 的值,将 a 的值代入求出 f(1) , 将(1,f(1) )代入方程 y=2x+b 求出 b 的值,从而求出 a﹣2b 的值即可; (Ⅱ)二次函数根的讨论问题,分 a>0,a<0 情况进行讨论. ; (Ⅲ)问题转化为 f(x)max≤g(t)min,分别求出其最大值和最小值即可得到关于 a 的不 等式,解出即可. 【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)= ﹣ax﹣2,f′(1)=﹣1﹣a=2,解得:a=﹣3, ∴f(1)=﹣ a﹣2=﹣ , 将(1,﹣ )代入 y=2x+b,得:b=﹣ ,
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∴a﹣2b=﹣3+5=2; (Ⅱ)∵f′(x)= ﹣ax﹣2= 设 φ(x)=﹣ax2﹣2x+1(x>0,a≤0) , ①当 a=0 时,φ(x)=﹣2x+1, 令 φ′(x)>0,解得:0<x< ,令 φ′(x)<0,解得:x> , ∴f(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减; ②当 a<0 时,φ(x)对称轴为 x=﹣ >0,过点(0,1)开口向上, i)若 a≤﹣1,f′(x)≥0,则 f(x)在(0,+∞)上是增函数. ii) 若﹣1<a<0, 当 x∈ (0, 时,f′(x)≤0; 当 x∈( ∴f(x)在(0, 在( ,+∞)时,f'(x)≥0; )上是增函数,在( ,+∞)上是增函数. , )上是减函数, f( ′ x) ) 时, ≥0; 当 x∈ ( , ) ,

(Ⅲ)若任意的 x,t∈(0,1],都有 f(x)≤g(t)恒成立, 则只需 f(x)max≤g(t)min, 函数 g(x)=x2﹣3x+3 在(0,1]的最小值是 g(1)=1, 由(Ⅱ)得:a=0 时,f(x)=lnx﹣2x 在(0, )递增,在( ,1]递减, ∴f(x)max=f( )=﹣1﹣ln2<1,成立, ﹣1<a<0 时, ≥1,∴f(x)在(0,1]递增,

f(x)max=f(1)=﹣ a﹣2≤1,解得:a≥﹣6, a≤﹣1 时,f(x)在(0,1]上是增函数, f(x)max=f(1)=﹣ a﹣2≤1,解得:a≥﹣6, 综上,a∈[﹣6,0].

21.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2, =0 相切,

离心率为

,以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x﹣y+

过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点.
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(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 =3 ,求直线 l 的方程;

(3)求△F1MN 面积的最大值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)运用离心率公式和直线与相切的条件:d=r,结合 a,b,c 的关系,解得 a,进 而得到椭圆方程; (2)求得右焦点,设出 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,设直线 l:x=my+ ,代入椭圆方程, 运用韦达定理和向量共线的坐标表示,解方程可得 m,进而得到直线的方程; (3)运用弦长公式和换元法,运用三角形的面积公式可得 S= ?2c?|y1﹣y2|,化简整理运 用基本不等式,即可得到最大值. 【解答】解: (1)由题意可得 e= = 由直线 x﹣y+ =b=1, 又 a2﹣c2=1, 解得 a=2,c= ,

=0 与圆 x2+y2=b2 相切,可得

, +y2=1;

即有椭圆的方程为

(2)F2( ,0) , 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 设直线 l:x=my+ ,代入椭圆方程可得, (4+m2)y2+2 my﹣1=0, y1+y2=﹣ =3 ,y1y2=﹣ ,



,可得 y1=﹣3y2, , y+ ; ?

解方程可得 m=±

即有直线 l 的方程为 x=±

(3)△F1MN 面积为 S= ?2c?|y1﹣y2|= = =

?

?



令 1+m2=t(t≥1) ,则 S=4 当 t=3,即 m=±

?

≤4

?

=2,

时,S 取得最大值,且为 2.

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2016 年 10 月 28 日

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