高中数学培优练习之导数及其应用.板块三.导数的应用1-导函数图象及单调性.学生版

板块三.导数的应用

知识内容
1.利用导数判断函数的单调性的方法: 如果函数 y ? f ( x) 在 x 的某个开区间内,总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在这个区间上是增函数;如果函数 y ? f ( x) 在 x 的某个开区间内,总有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在这个区间上是减函数. 2.利用导数研究函数的极值: 已知函数 y ? f ( x) ,设 x0 是定义域内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x ,都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则称 函数 f ( x) 在点 x0 处取极大值,记作 y极大 ? f ( x0 ) .并把 x0 称为函数 f ( x) 的一个极大值点. 如果在 x0 附近都有 f ( x) ? f ( x0 ) ,则称函数 f ( x) 在点 x0 处取极小值,记作 y极小 ? f ( x0 ) .并把 x0 称 为函数 f ( x) 的一个极小值点. 极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点. 3.求函数 y ? f ( x) 的极值的方法: 第 1 步 求导数 f ?( x) ; 第 2 步 求方程 f ?( x) ? 0 的所有实数根; 第 3 步 考察在每个根 x0 附近,从左到右,导函数 f ?( x) 的符号如何变化.如果 f ?( x) 的符号由正变 负,则 f ( x0 ) 是极大值;如果由负变正,则 f ( x0 ) 是极小值.如果在 f ?( x) ? 0 的根 x ? x0 的 左右侧, f ?( x) 的符号不变,则 f ( x0 ) 不是极值. 4.函数 f ( x) 的最大(小)值是函数在指定区间的最大(小)的值. 求函数最大(小)值的方法: 第 1 步 求 f ( x) 在指定区间内所有使 f ?( x) ? 0 的点; 第 2 步 计算函数 f ( x) 在区间内使 f ?( x) ? 0 的所有点和区间端点的函数值,其中最大的为最大值, 最小的为最小值.

典例分析
题型一:原函数与导函数的图象
【例1】 函数 f ( x) 的导函数图象如下图所示,则函数 f ( x) 在图示区间上(
y



O

x

A.无极大值点,有四个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点

B.有三个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点
-1-

b) ,导函数 f ?( x) 在 (a , b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在 【例2】 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a , b) 内有极小值点( 开区间 (a , ) A.1 个 B.2 个 C.3 个
y

D.4 个

a

b O

x

【例3】 若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x) 的图象不过第几象限? 【例4】 若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ?( x) 的图象可能为(
y y y y



O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【例5】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程 ) s 看作时间 t 的函数,其图象可能是(
s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t

O D.

t

【例6】 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如下图所示,则 y ? f ( x) 的图象可能是(
y



O
-1

1

2

x

y

y

y

y

O

1 2

x

O

2 1

x

O

1

2

x

O

1

2

x

A.

B.
-2-

C.

D.

【例7】 已知函数 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的图象如右图所示, 那么函数 f ? x ? 的图象最有可能的是 (
y f '(x)



O -1

1

x

【例8】 已知函数 y ? xf ?( x ) 的图象如右图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数) ,下面四个图象中
y ? f ( x) 的图象大致是( y
1 -2
y



-1 O -1

1

2 x
y y y

2 1 -2 -1 -1 -2

2 1

2 1

2 1

O 1

2

x

-2 -1 -1 -2

O 1

2

x

-2 -1 -1 -2

O 1

2

x

-2 -1 -1 -2

O 1

2

x

A.

B.

C.

D.

【例9】 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数, f ?( x) 的图象如图所示,则 f ( x) 的图象只可能是(
y



O
y

2

x
y y y

O A.

2

x

O B.

2

x

O C.
-3-

2

x

O D.

2

x

【例10】 如果函数 y ? f ? x ? 的图象如图,那么导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是(
y y=f(x)



x

y

y

y

y

x

x

x

x

A

B

C

D

【例11】 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y ? f ( x) 和 y ? f ?( x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可

能正确的是(
y


y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

【例12】 如图所示是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 图象,则下列哪一个判断可能是正确的(
y



-2

3

O

2

4

x

0) 内 y ? f ( x) 为增函数 A.在区间 (?2 , 3) 内 y ? f ( x) 为减函数 B.在区间 (0 , ? ?) 内 y ? f ( x) 为增函数 C.在区间 (4 , D.当 x ? 2 时 y ? f ( x) 有极小值

-4-

【例13】 如果函数 y ? f ( x) 的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
y

3 -3 -2 -1 1 0 2 1 2 4 5 x

①函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?3 , ? ? 内单调递增; 2
? ? 1 ? , 3 ? 内单调递减; 2 ? ? ③函数 y ? f ( x) 在区间 (4 , 5) 内单调递增;

? ?

1?

②函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?

④当 x ? 2 时,函数 y ? f ( x) 有极小值; 1 ⑤当 x ? ? 时,函数 y ? f ( x) 有极大值; 2 则上述判断中正确的是___________.

【例14】 函数 f ( x) ? x3 ? x2 ?

1 的图象大致是 2




y y

y

y

x O x O

O

x O

1 x D

A

B

C

【例15】 已知函数的图像如下图所示,则其函数解析式可能是( A. f ? x ? ? x2 ? ln x B. f ? x ? ? x2 ? ln x



C. f ? x ? ? x ? ln x
y

D. f ? x ? ? x ? ln x

O

1

x

-5-

【例16】 函数 f ( x) ? ( x2 ? 2x)e x 的图象大致是
y y


y


y

O

x

O

x O O x C D x

A

B

【例17】 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水 面部分的图形面积为 S ?t ? ? S ? 0? ? 0? ,则导函数 y ? S ? ? t ? 的图像大致为( )

【例18】 函数 y ? 2x ? x2 的图像大致是(



【例19】 已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) 的图象如图所示,那么函数 f ( x) 的图象最有可能的是(



-6-

【例20】 已知 R 上可导函数 f ( x) 的图象如图所示,则不等式 ( x 2 ? 2x ? 3) f ?( x) ? 0 的解集为(



A. (?? , ? 2) ? (1 , ? ?) C. (?? , ? 1) ? (?1 , 0) ? (2 , ? ?) y

B. (?? , ? 2) ? (1 , 2) D. (?? , ? 1) ? (?1 , 1) ? (3 , ? ?)

1 -2 -1 O 2 x

【例21】 己知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? c ,其导数 f ?( x) 的图象如图所示,

则函数 f ? x ? 的极小值是( A. a ? b ? c
y

) C. 3a ? 2b D. c

B. 8a ? 4b ? c

O

1

2 x

题型二:函数的单调性
【例22】 函数 y ? 4 x 2 ?

1 的单调增区间为( x ?1 ? ? ?? ? ?) A. (0 , B. ? , 2 ? ?


? 1) C. (?? ,

? ? D. ? ?? , 2 ?

? ?

1?

? ?) 上为增函数的是( 【例23】 下列函数中,在区间 (1,

) D. y ? log 1 ( x ? 1)
2

A. y ? ?2x ? 1

B. y ?

x 1? x

C. y ? ?( x ? 1)2 .

【例24】 函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是

? ?) 内是减函数,则( 【例25】 三次函数 y ? f ( x) ? ax3 ? 1 在 (?? , ) a ? 1 a ? 2 a ≤ 0 a A. B. C. D. ? 0

【例26】 函数 f ( x) ? x2 ( x ? 1) 的单调递减区间是________. 【例27】 函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 是减函数的区间为(
? ?) A. (2 ,


2) D. (0 ,

2) B. (?? ,

0) C. (?? ,

【例28】 函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数(


3π) D. (2π ,

A. ? , ? 2 2

? π 3π ? ? ?

2π) B. ( π ,

C. ?

? 3π 5 π ? , ? ? 2 2 ?
-7-

【例29】 若 y ? ax 与 y ? ?

b 在 ?0, ? ? ? 上都是减函数,对函数 y ? ax3 ? bx 的单调性描述正确的是 x

( ) A.在 ? ?? , ? ? ? 上是增函数 C.在 ? ?? , ? ? ? 上是减函数

B.在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数 D.在 ? ?? , 0? 上是增函数,在 ? 0 , ? ? ? 上是减函数 )

【例30】 函数 f ? x ? ? ax3 ? ? a ? 1? x2 ? 48 ?b ? 3? x ? b 的图象关于原点中心对称,则 f ? x ? (
4 3? A.在 ? ? ?4 3 , ? 上为增函数 4 3? B.在 ? ? ?4 3 , ? 上为减函数 ? ? 上为增函数,在 ?? , ? 4 3? C.在 ? ?4 3 , ? 上为减函数 ? ? ? 上为减函数 ? 4 3? D.在 ?? , ? 上为增函数,在 ? 4 3 ,

?

?

?

?

【例31】 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 在 R 上是增函数,则(



A. b ? 4ac ≥ 0 C. b2 ? 3ac ≥ 0
2

B. b ? 4ac ≤ 0 D. b2 ? 3ac ≤ 0
2

1 ? ?) 上是减函数,则 b 的取值范围是( ) 【例32】 若 f ( x) ? ? x2 ? b ln( x ? 2) 在 (?1 , 2 ? ?) ? 1) ? ?) ? 1] A. [?1 , B. (?1 , C. (?? , D. (?? ,
【例33】 函数 f ? x ? ?

x2 ( ) x ?1 A.在 ? 0 , 2? 上单调递减

B.在 ? ?? , 0? 和 ? 2 , ? ? ? 上单调递增 D.在 ? ?? , 0? 和 ? 2 , ? ? ? 上单调递减 )

C.在 ? 0 , 2? 上单调递增
【例34】 若函数 f ? x ? ? ?

2x ,则 f ? x ? ( 1 ? x2 ? ?) 单调增加 A.在 (?? ,

? ?) 单调减少 B.在 (?? , ? 1) 与 (1, 1) 单调减少,在 (?? , ? ?) 上单调增加 C.在 (?1, ? 1) 与 (1, 1) 单调增加,在 (?? , ? ?) 上单调减少 D.在 (?1,

1 1) ,则 a 的值是 【例35】 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? 5 ,若 f ( x) 的单调递减区间是 (?3 , 3



1 ? ?) 上 是 单 调 增 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 【例36】 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? 5 , 若 f ( x) 在 [1 , 3 是 .

1 【例37】 已知 y ? x3 ? bx2 ? (b ? 2) x ? 3 是 R 上的单调增函数,则 b 的取值范围是( 3 A. b ? ?1 或 b ? 2 B. b ≤ ?1 或 b ≥ 2 C. ?1 ? b ? 2 D. ?1 ≤ b ≤ 2
【例38】 若函数 h( x) ? 2 x ?



A. [?2 , ? ?)

k k ) ? 在 (1 , ? ?) 上是增函数,则实数 k 的取值范围是( x 3 B. [2 , ? ?) C. (?? , ? 2] D. (?? , 2]

-8-

【例39】 已知 h( x) ? 2 x ?

k k ? , g ( x) ? h( x) ? ln x ,且 g ( x) 在 (1 , ? ?) 上是增函数,则此时实数 k 的取值 x 3 范围是______.

2) 内单调递减,则实数 a 的取值范围是( 【例40】 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1 在 (0 , ) A. a ≥ 3 B. a ? 3 C. a ≤ 3 D. 0 ? a ? 3 2) ,则实数 a 的取值范围是( 【例41】 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 1 的单调递区间为 (0 , ) A. a ≥ 3 B. a ? 3 C. a ≤ 3 D. 0 ? a ? 3

2 【例42】 已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax2 ? x3 在区间 ? ?1 , 1? 上是增函数,则实数 a 的取值范围为______. 3

2 ? ?) 上都是减函数, ? 2) 与 (2 , 【例43】 若函数 f ( x) ? 4 x ? ax2 ? x3 在区间 (?? , 则实数 a 的取值范围为 3 ______.
【例44】 函数 y ? 4 x 2 ?

1 的单调增区间为( x ?1 ? A. (0 , ? ?) B. ? , ? ? ? ?2 ?

) C. (?? , ? 1) D. ? ?? , ? ? 2
? ? ? 1?

【例45】 对于 R 上可导的函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ≥ 0 ,则必有(



A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ≥ 2 f (1)

B. f (0) ? f (2) ≤ 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) )

【例46】 已知函数 f ? x ? 是偶函数, 在 ? 0 , ? ? ? 上导数 f ? ? x ? ? 0 恒成立, 则下列不等式成立的是 (

A. f ? ?3? ? f ? ?1? ? f ? 2? C. f ? 2? ? f ? ?3? ? f ? ?1?

B. f ? ?1? ? f ? 2? ? f ? ?3? D. f ? 2? ? f ? ?1? ? f ? ?3?

【例47】 f ( x) 是定义在 (0 , ? ?) 上的非负可导函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ≤ 0 ,对任意正数 a , b ,

若 a ? b ,则必有( A. af (a) ≤ bf (b)

) B. bf (b) ≤ af (a)

C. af (b) ≤ bf (a)

D. bf (a) ≤ af (b)

【例48】 设 f ? x ? 、 g ? x ? 是 R 上 的 可 导 函 数 , f ? ? x ? 、 g ? ? x ? 分 别 是 f ? x ? 、 g ? x ? 的 导 函 数 , 且
f ? ? x? g? x ? 0 ,则当 a ? x ? b 时,有( ? ? f? ?x ?g ? ?x



A. f ? x ? g ? x ? ? f ?b ? g ?b ? C. f ? x ? g ?b ? ? f ?b ? g ? x ?

B. f ? x ? g ? a ? ? f ? a ? g ? x ? D. f ? x ? g ? x ? ? f ? a ? g ? a ? .

2? 上单调递增,则实数 a 的取值范围是 【例49】 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? ax 在 ?1,

? ? ? 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( 【例50】 已知函数 f ? x ? ? ? x3 ? ax2 ? x ? 1 在 ? ?? ,



? ? ? C. ? ?? ,? 3 ? ? ?
A. ?? ,? 3 ?

? 3, ? ??
3, ??

? B. ? ?? 3 , 3 ?

D. ? 3 , 3
-9-

?

?

【例51】 若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是(



A. ( , ? ? )

1 3

B. ( ?? , )

1 3

C. [ , ? ? )

1 3

D. ( ?? , ]

1 3

【例52】 已知对任意实数 x 有 f (? x) ? ? f ( x) , g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0

时( ) A. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0

B. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0

1 【例53】 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? 2x ? a ? 0? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围. 2

【例54】 设函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ?

1 ,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性. 2

b ? R) . 【例55】 已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a , 1) 上不单调 若函数 f ( x) 在区间 (?1 , ,求 a 的取值范围. ...

? ?) 上单调递增,求 a 的取值范围. 【例56】 函数 y ? ax3 ? x2 ? x ? 5 在区间 (?? ,

【例57】 已知函数 f ( x) ? 2ax ?

1 1] 上是增函数,求 a 的取值范围. , x ? (0 , 2] ,若 f ( x) 在 x ? (0 , x2

0? 和 ?1, ? ?? 都是增函数, 【例58】 设 a 为实数, 函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? a2 ? 1 x 在 ? ?? , 求 a 的取值范围.

?

?

【例59】 已知函数 f ( x) ?

ax ? 6 的图象在点 M (?1,f (?1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 . x2 ? b ⑴求函数 y ? f ( x) 的解析式;⑵求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

【例60】 已知函数 f ? x ? ? 2ln x ? x .

⑴写出函数 f ? x ? 的定义域,并求其单调区间;

⑵已知曲线 y ? f ? x ? 在点 ? x0 ,f ? x0 ?? 处的切线是 y ? kx ? 2 ,求 k 的值.

【例61】 已知函数 f ( x) ? ln x2 ?

2ax , (a ? R , e 为自然对数的底数) . e ⑴求函数 f ( x) 的递增区间; ⑵ 当 a ? 1 时 , 过 点 P ? 0, t ??t ? R ? 作 曲 线 y ? f ( x) 的 两 条 切 线 , 设 两 切 点 为
P 1 ? x1 , f ( x1 ) ? , P 2 ? x2 , f ( x2 ) ?? x1 ? x2 ? ,求证: x1 ? x2 ? 0 .

- 10 -

【例62】 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 1 ? ln x . ⑴当 a ? 3 时,求函数 f ? x ? 的单调递增区间;

⑵若 f ( x) 在区间 ? 0 ,

? ?

1? ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围. 2?

【例63】 已知函数 f ? x ? ?

ln x . x ⑴判断函数 f ? x ? 的单调性; 1 ⑵若 y ? xf ? x ? ? 的图像总在直线 y ? a 的上方,求实数 a 的取值范围; x 1 m 2 ⑶若函数 f ? x ? 与 g ? x ? ? x ? ? 的图像有公共点,且在公共点处的切线相同, 6 x 3 求实数 m 的值.

【例64】 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ?

k 2 . x (k≥0) 2 ⑴当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 ?1 , f ?1? ? 处的切线方程;

⑵求 f ( x) 的单调区间.

【例65】 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9 x ? 1(a ? 0) ,若曲线 y ? f ( x) 的斜率最小的切线与直线12 x ? y ? 6 平行,

求:⑴ a 的值;⑵函数 f ( x) 的单调区间.

【例66】 设 a ? R ,函数 f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 2 ? a ? 1? ln ? x ? 1? .
2

⑴若函数 f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程为 y ? 4 x ? 1 ,求 a 的值; ⑵当 a ? 1 时,讨论函数 f ? x ? 的单调性.

【例67】 已知函数 f ( x) ?

a 3 a ?1 2 x ? x ? x ? b ,其中 a , b ? R . 3 2 ⑴若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2 ,f (2)) 处的切线方程为 y ? 5 x ? 4 ,求函数 f ( x) 的解析式;

⑵当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性.
【例68】 设函数 f ? x ? ? xekx ? k ? 0? .

⑴ 求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程; ⑵ 求函数 f ? x ? 的单调区间;
1? 内单调递增,求 k 的取值范围. ⑶ 若函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,

- 11 -

【例69】 已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 是定义在 R 上的函数, 其图象交 x 轴于 A ,B ,C 三点, 若点 B 的
0) ,且 f ( x) 在 [?1, 0] 和 [4 , 5] 上有相同的单调性,在 [0 , 2] 和 [4 , 5] 上有相反的单 坐标为 (2 ,

调性. ⑴求 c 的值; ⑵在函数 f ( x) 的图象上是否存在一点 M ( x0 , y0 ) ,使得 f ( x) 在点 M 处的切线的斜率为 3b ?若 存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

【例70】 已知函数 f ( x) ?

2x ? b ,求导函数 f ?( x) ,并确定 f ( x) 的单调区间. ( x ? 1) 2

- 12 -


相关文档

导数及其应用.板块三.导数的应用1-导函数图象及单调性.学生版
导数及其应用.板块三.导数应用导函数图象及单调性.学生(高中数学选修题库)
导数及其应用.板块三.导数的应用1-导函数图象及单调性.学生版(已修改)
高中数学培优练习之导数及其应用.板块三.导数的应用3-最值.学生版
高中数学完整讲义——导数及其应用3.导数的应用1-导函数图象及单调性
高中数学培优练习之导数及其应用.板块三.导数的应用2-极值.学生版
2019年高中数学第三章导数及其应用导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数优化练习
高中数学培优练习之导数及其应用.板块二.导数的运算.学生版
配套K12高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数优化练习
高中数学培优练习之导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义.学生版
学霸百科
新词新语
电脑版 | 学霸百科