四川省泸州泸县第五中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

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四川省泸县第五中学高 2017 级期中考试

数学

第 I 卷(选择题)

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.已知集合U ? ?1, 2,3, 4,5?, A ? ?2,3, 4?, B ? ?1,2,5?,则 A??CU B? ?

A.?3, 4?

B.?3?

C.?4?

D.?2, 3, 4?

2.如果集合 A ={x|x≤ 5 }, a ? 2 ,那么

A?a? A

B ??a?? A

C ??a?? A

3.下列各组中的两个函数为相等函数的是

A? f (x) ? x ? 2 ? x ? 2



D.a ? A
g(x) ? ? x ? 2?? x ? 2?

B ? f (x) ? ( x ? 3)2, g(x) ? x ? 3

C

f (x) ? 1? x , g(x) ? 1? x

x2 ?1

x2 ?1

?

?4
x

D . f (x) ?



x

g(t)

?

? ?

?

t ?2

t

? ?

? ? 4.设 A ? x ?1? x ? 3?, B ? x x ? a?,若 A ? B ,则 a 的取值范围是

A .?a a ? 3?

B .?a a ? ?1?

C .?a a ? 3?

D .?a a ? ?1?

5.在区间(-∞,0)上为增函数的是

A . A? f (x) ? ?3x ? 2

B. f (x) ? 3 x

6.函数 f (x) ? ex ? 4 的零点所在区间为 x

A . (0, 1) e

B . (1 ,1) e

C?y? x C . (1,2)

7.函数 f ? x? ? a2x?4 ? 5?a ? 0,且a ? 1? 的图象恒过定点

D ? f (x) ? ?2x2 ? 4 D . (2, e)

A.? 2, ?3?

B.?3, ?3?

C.? 2, ?4?

D.?3, ?2?

? ? 8.函数 y ? log1 x2 ? 2x ? 3 的单调递减区间为
2

A . ???,1?

B . ?3,? ??

C . ???, ?1?

D . ?1,? ??

3

3

9.已知实数

a

?

? ??

3 2

? ??

2



b

?

? ??

2 3

? ??

2



c

?

log 2
3

3 2

,则 a,b, c 的大小关系是

A.b ? a ? c

B.a ? b ? c

C.c ? a ? b

D.c ? b ? a

10.函数 y ? f ? x? 在 ?0, 2? 上是增函数,函数 y ? f ? x ? 2? 是偶函数,则下列结论正确的是

A.

f

?1? ?

f

? ??

5 2

? ??

?

f

?7? ?? 2 ??

B.

f

? ??

7 2

? ??

?

f

?1?

?

f

?5? ?? 2 ??

C.

f

? ??

7 2

? ??

?

f

? ??

5 2

? ??

?

f

?1?

D.

f

? ??

5 2

? ??

?

f

?1? ?

f

?7? ?? 2 ??

11 . 已 知 函 数

f

?

x?

?

??3a
? ?

?1? x ? 4a, x
loga x, x ? 1

?1

满 足 对 任 意 的 实 数 x1 ? x2 都 有

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,则实数 a 的取值范围为
x2 ? x1

A .(0,1)

B

.

? ??

0,

1 3

? ??

C

.

? ??

1 7

,1???

D

.

? ??

1 7

,

1 3

? ??

12.已知 f ? x? 是定义域为 R 的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? x2 ? 4x ,则 f ? x ? 2? ? 5 的

解集为( )

A.???,?5? ??5,???

B.???,?5? ??3,???

C.? ??, ?7? ? ?3, ???

D.???,?7? ??3,???

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每个小题 5 分,共 20 分)

13.若函数

f(x)=

3
mx2

x ?1 ?x?

3

的定义域为

R

,则

m

的取值范围为________.

14.函数 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x? ? ?x ?1 ,则当 x ? 0 时,

f ? x? ? _______.

15.奇函数 f (x) 是定义在 (?1,1) 上减函数,且 f (a) ? f (a2 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围



.

16.若函数 f ? x? ? x2 ? mx ? 2 在区间?1, 2? 上有零点,则实数 m 的取值范围是

.

三、解答题
? ? 17.已知全集为 R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 4} , B ? {x | 3x ? 7 ? 8 ? 2x}, C ? x x ? a .
(1)求 A? B ; (2)求 A (CR B) ; (3)若 A ? C ,求 a 的取值范围.

? ? ? ? 18.设全集U ? R ,集合 A ? x|2x?1 ?1 , B ? x|x2 ? 4x ? 5 ? 0 .
(Ⅰ)求 A? B, ?CU A? ??CU B?; (Ⅱ)设集合 C ? ?x|m ?1? x ? 2m ?1 ? ,若 B ?C ? C ,求实数 m 的取值范围.

19.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时, f (x) ? x2 ? 2x . (1)现已画出函数 f (x) 在 y 轴左侧的图象,如图所示,请补全函数 f (x) 的图象,并根据图 象写出函数 f (x) ( x ? R )的递增区间; (2)写出函数 f (x) ( x ? R )的值域; (3)写出函数 f (x) ( x ? R )的解析式.
20.已知函数 f(x)= x ? b 为奇函数. 1? x2
(1)求 b 的值; (2)证明:函数 f (x) 在区间(1,+∞)上是减函数; (3)解关于 x 的不等式 f (1? x2 ) ? f (?x2 ? 2x ? 4) ? 0 .
21.旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为 15000 元.旅游团中的每人的飞 机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数不超过 35 人时,飞机票每张收费 800 元;若

旅游团的人数多于 35 人,则给予优惠,每多 1 人,机票费每张减少 10 元,但旅游团的人数
最多有 60 人.设旅行团的人数为 x 人,飞机票价格为 y 元,旅行社的利润为 Q 元. (1)写出飞机票价格 y 元与旅行团人数 x 之间的函数关系式; (2)当旅游团的人数 x 为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.
22.已知函数 f (x) ? loga (1? x) ? loga (1? x) ( a ? 0 ,且 a ? 1). (1)求函数 f (x) 的定义域; (2)判断 f (x) 的奇偶性; (3)求满足不等式 f (x) ? 0的 x 的取值范围.

四川省泸县第五中学高 2017 级期中考试数学参考答案 1.A 2.B 3.D 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.B 10.B 11.D 12.C

13.

? ??

1 12

,

??

? ??

14. ?x ?1 15. (0,1)

16. ??2 2,3??

? ? 16. 解 析 : 若 函 数 在 区 间 1, 2 上 有 一 个 零 点 , 则

f ?1?? ?f ?2 ?? 3??? m ?6 ? ?m2 ??2 2 ,m?3m ? 3 ;? 0
? ? m2 ?8 ? 0
若函数在区间?1, 2? 上有两个零点,则{ f ?1? ? 3 ? m ? 0 ,解得: 2 2 ? m ? 3 ,综上
f ?2? ? 6 ? 2m ? 0
? 可知实数 m 的取值范围是 2 2,3?? .
17.解:(1)∵A={x|2≤x<4}, B={x|3x﹣7≥8﹣2x}={x|x≥3}, ∴A∩B={x|2≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x< 4}............................................3 分 (2)∵CRB={x|x<3}, ∴A∪(CUB)={x|2≤x<4}∪{x|x<3}={x|x<4}......................................6 分

(3)∵集合 A={x|2≤x<4},C={x|x<a},且 A? C, ∴a≥ 4.............................................................................. ...............................10 分
18.试题解析:(Ⅰ)∵ A ? ?x|x ?1 ?, B ? ?x| ?1 ? x ?5 ? ..........................2 分

∴ A? B ? ?x|1? x ? 5 ?,......................................................3 分

? ? ?CU A? ??CU B? ? x|x ?1或x ? 5 ..............................................5


(Ⅱ)1.当 C ? ? 时; 2m ?1 ? m ?1..............................................6



即: m ? 2 ..............................................................7 分

2.当 C ? B 时;

?m ?1 ? 2m ?1

? ?

m ?1 ? ?1

解之得: 2 ? m ? 3..............................................10

?? 2m ?1 ? 5



? ? 综上所述: m 的取值范围是 ??,3 ..............................................12



19.解:(1)根据偶函数的图象关于 y 轴对称,作出函数在 R 上的图

象,.....................................2 分 结合图象可得函数的增区间为(﹣1,0)、减区间为(1, +∞)................................................4 分. (2)结合函数的图象可得,当 x=1,或 x=﹣1 时,函数取得最小值为﹣1, 函数没有最大值,故函数的值域为[﹣1, +∞).........................................................................7 分 (3)当 x>0 时,﹣x<0,再根据 x≤0 时,f(x)=x2+2x, 可得 f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)=x2﹣2x.

再根据函数 f(x)为偶函数,可得 f(x)=x2﹣ 2x.................................................................10 分 综上可得,f(x)

=

.............................................................

.....................12 分

20.解:(1)∵函数 f ? x?=1x??xb2 为定义在 R 上的奇函数, ? f ?0?=b=0. .............3


(2)由(1)可得 ? x?

?

x 1? x2

,下面证明函数

f

? x? 在区间(1,+∞)上是减函数.

证明设 x2 ? x1 ? 1,





? ?? ? ? ?? ? f

? x1 ? ?

f

?

x2

?

?

1

x1 ? x12

?

1

x2 ? x22

?

x1 ? x1x22 ? x2 ? x2 x12 1? x12 1? x22

?

? x1 ? x2 ??1? x1x2 ?
1? x12 1? x22

, ...........

.......5 分

再根据 x2 ? x1 ? 1,可得 1? x12 ? 0 , 1? x22 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , 1? x1x2 ? 0

? ?? ? ? ? x1 ? x2 ??1? x1x2 ? ? 0 1? x12 1? x22

;



f ? x1 ? ? f ? x2 ? .............................................6 分

? 函 数 f ? x? 在 区 间 (1 , + ∞ ) 上 是 减 函

数...............................................7 分

? ? ? ? (3)由不等式 f 1? x2 ? f x2 ? 2x ? 4 ? 0

可 得 f(1 + x2) > - f( - x2 + 2x - 4) = f(x2 - 2x +

4),.....................................9 分

? ? 再 根 据 函 数 f x 在 区 间 (1 , + ∞ ) 上 是 减 函 数 , 可 得 1 + x2 < x2 - 2x + 4 , 且
x>1,..............11 分 解 得 1 ? x ? 3 , 故 不 等 式 的 解 集 为 (1 ,
2

)...............................................12 分

21.解:(I)依题意得,当 1≤x≤35 时,y=800,当 35<x≤60 时,y=800﹣10(x﹣35)=﹣

10x+1150 , 由 此 能 求 出 飞 机 票 价 格 元 与 旅 行 团 人 数 x 之 间 的 函 数 关 系 式

为:...............................................3 分

y

?

? 800(1 ? x ? 35且x ? N) ???10x ?1150(35 ? x ? 60且x ?

N

)

............................................

......5 分



2











Q





? 800x ?15000(1 ? x ? 35且x ? N) Q ? xy ?15000 ? ???10x2 ?1150x ?15000(35 ? x ? 60且x ? N)

...........8 分



1? x ? 35



x?N





Qmax ? 800 ? 35 ?1

? 1 5 ......3.....0.......0.....0........0.....0.9 分 0



35 ? x ? 60



x?N



Qmax ? ?10(x ? 12 )2 ? 3 2 1 ......6....5........1............2.......11 分 5

∴ x ? 57 或 58 时 , 可 获 最 大 利 润 为

元..................................................12 分

, 18060

22.



:(

1





?1? x ? 0 ??1? x ? 0







1



x



1;..................................................2 分

∴f(x)的定义域为(﹣1,1);.......................................................3



(2)f(﹣x)=log(a 1+x)﹣log(a 1﹣x)=﹣f(x);......................................4 分

∴f(x)为奇函数;................................................................5 分

(3)由 f(x)<0 得,loga(1﹣x)<loga(1+x); ①若 a>1,则:

;..................................................................7





0



x



1;........................................................................8 分

即 f(x)<0 的 x 的取值范围为(0,1);

②若 0<a<1,则:

; . . ...............................................................

.....10 分





1



x



0;.......................................................................11 分

即 f(x)<0 的 x 的取值范围为(﹣1,

0)...................................................12 分


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