林州市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

林州市第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案 班级__________ 一、选择题
1. 函数 f(x)=21﹣|x|的值域是( A.(0,+∞) ) D.[ ,2] ) B.(﹣∞,2] C.(0,2]

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 已知 A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9},则 a 的值是( A.a=3
2 2

B.a=﹣3

C.a=±3

D.a=5 或 a=±3

x y ? ? 1 的左右顶点分别为 A1 , A2 ,点 P 是 C 上异于 A1 , A2 的任意一点,且直线 PA1 斜率的 4 3 取值范围是 ?1, 2? ,那么直线 PA2 斜率的取值范围是( )
3. 椭圆 C : A. ? ?

? 3 1? ,? ? 4 2? ?

B. ? ?

? 3 3? ,? ? 4 8? ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识,意在考查函数与方程思想和 基本运算能力. 4. 设等比数列 {an } 的前项和为 S n ,若 A.2 B.

S6 S ? 3 ,则 9 ? ( S3 S6

) C.

7 3

8 3 4 ? log 3 x 在区间 x

D.3

5. 已知在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,? n) , B (0, n) ( n ? 0 ).命题 p :若存在点 P 在圆

( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上,使得 ?APB ?
(3,4) 内没有零点.下列命题为真命题的是(
A. p ? (?q ) 6. 设 0<a<1,实数 x,y 满足 B. p ? q

?
2

,则 1 ? n ? 3 ;命题:函数 f ( x) ? ) C. (?p ) ? q

D. (?p ) ? q )

,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是(

A.

B.

C.

D.

7. 若命题 p:?x0∈R,sinx0=1;命题 q:?x∈R,x2+1<0,则下列结论正确的是( A.¬p 为假命题 B.¬q 为假命题 C.p∨q 为假命题 D.p∧q 真命题   8. 执行如图所示的程序框图,若输出的 S=88,则判断框内应填入的条件是(





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A.k>7 B.k>6 C.k>5 D.k>4   9. 已知复合命题 p∧(¬q)是真命题,则下列命题中也是真命题的是( A.(¬p)∨q B.p∨q C.p∧q D.(¬p)∧(¬q) )

  10.一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形,那么原四边形的面积是 ( A.2+ ) B.1+ C. D. )

11.下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字模糊不清,在图中 以 m 表示.若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分,那么 m 的可能取值集合为(

A.

B. C. D. 12.已知函数 f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当 x<0 时,函数的部分图象如图所示,则不等 式 xf(x)<0 的解集是( )

A.(﹣2,﹣1)∪(1,2)

B.(﹣2,﹣1)∪(0,1)∪(2,+∞)

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C.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(1,2)D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)  

二、填空题
13.直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为   . 14.(lg2)2+lg2?lg5+ 的值为      .

? 15.命题“ ?x ? (0, ) , sin x ? 1 ”的否定是 ▲ . 2 16.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若﹣1<a3<1,0<a6<3,则 S9 的取值范围是      .
  17.设实数 x,y 满足

,向量 =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).若 ∥ ,则实数 m 的最大值为    

.   18. B、 C、 D 四点, 在半径为 2 的球面上有 A、 若 AB=CD=2, 则四面体 ABCD 的体积的最大值为      .  

三、解答题
19.(本小题满分 12 分)某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查,下表是在某单位 得到的数据: 赞同 男 女 合计 50 30 80 反对 150 170 320 合计 200 200 400

(Ⅰ)能否有能否有 97.5% 的把握认为对这一问题的看法与性别有关? (Ⅱ)从赞同“男女延迟退休”的 80 人中,利用分层抽样的方法抽出 8 人,然后从中选出 3 人进行陈述 发言,设发言的女士人数为 X ,求 X 的分布列和期望. 参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 , (n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

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20.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 外接于圆, AC 是圆周角 ?BAD 的角平分线,过点 C 的切线与 AD 延长线交于点 E ,

AC 交 BD 于点 F .
(1)求证: BD A CE ; (2)若 AB 是圆的直径, AB ? 4 , DE ? 1 ,求 AD 长

21.如图,已知椭圆 C

,点 B 坐标为(0,﹣1),过点 B 的直线与椭圆 C 的另外一个交

点为 A,且线段 AB 的中点 E 在直线 y=x 上. (1)求直线 AB 的方程; (2)若点 P 为椭圆 C 上异于 A,B 的任意一点,直线 AP,BP 分别交直线 y=x 于点 M,N,直线 BM 交椭圆 C 于另外一点 Q. ①证明:OM?ON 为定值; ②证明:A、Q、N 三点共线.

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22.已知一个几何体的三视图如图所示. (Ⅰ)求此几何体的表面积; (Ⅱ)在如图的正视图中,如果点 A 为所在线段中点,点 B 为顶点,求在几何体侧面上从点 A 到点 B 的最短 路径的长.

23.已知数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p?3n(n∈N*,p 为常数),a1,a2+6,a3 成等差数列.
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(1)求 p 的值及数列{an}的通项公式; (2)设数列{bn}满足 bn=   ,证明 bn≤ .

24.如图,在四棱锥 的中点, 为 的中点,且

中,等边

所在的平面与正方形

所在的平面互相垂直,



(Ⅰ)求证: 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的余弦值; (Ⅲ)在线段 上是否存在点 ,使线段 求出 的长,若不存在,请说明理由.



所在平面成

角.若存在,

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林州市第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:由题意:函数 f(x)=21﹣|x|, ∵令 u=1﹣|x|的值域为[1,﹣∞), 则:f(x)=2u 是单调增函数, ∴当 u=1 时,函数 f(x)取得最大值为 2, 故得函数 f(x)=21﹣|x|的值域(0,2]. 故选 C. 【点评】本题考查了复合函数的值域求法.需分解成基本函数,再求解.属于基础题.   2. 【答案】B 【解析】解:∵A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},且 A∩B={9}, ∴2a﹣1=9 或 a2=9, 当 2a﹣1=9 时,a=5,A∩B={4,9},不符合题意; 当 a2=9 时,a=±3,若 a=3,集合 B 违背互异性; ∴a=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了交集及其运算,考查了集合中元素的特性,是基础题.   3. 【答案】B

4. 【答案】B 【 解 析 】

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考 点:等比数列前项和的性质. 5. 【答案】A 【解析】 试题分析:命题 p :? ?APB ?

?
2

,则以 AB 为直径的圆必与圆 x ? 3

?

? ? ? y ? 1?
2

2

? 1 有公共点,所以

n ? 1 ? 2 ? n ? 1 ,解得 1 ? n ? 3 ,因此,命题 p 是真命题.命题:函数 f ? x ? ?

4 4 x ,? f ?4 ? ? 1 ? log 3 ? 0 , ? log 3 x

4 ? log 3 3 ? 0 ,且 f ? x ? 在 ?3,4? 上是连续不断的曲线,所以函数 f ? x ? 在区间 ?3,4 ? 内有零点,因此,命题是 3 假命题.因此只有 p ? (?q ) 为真命题.故选 A. f ?3? ?
考点:复合命题的真假. 【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关 系和函数零点存在定理 , 属于综合题 . 由于点 P 满足 ?APB ?

?
2

, 因此在以 AB 为直径的圆上 , 又点 P 在圆

( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上,因此 P 为两圆的交点 , 利用圆心距介于两圆半径差与和之间 , 求出的范围 . 函数 4 f ( x) ? ? log 3 x 是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点. x
6. 【答案】A 【解析】解:0<a<1,实数 x,y 满足 轴对称, 在(0,+∞)上单调递增,且函数的图象经过点(0,1), 故选:A. 【点评】本题主要指数式与对数式的互化,函数的奇偶性、单调性以及特殊点,属于中档题.   7. 【答案】A 【解析】解: ∴?x0∈R,sinx0=1; ∴命题 p 是真命题; 时,sinx0=1; ,即 y= ,故函数 y 为偶函数,它的图象关于 y

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由 x2+1<0 得 x2<﹣1,显然不成立; ∴命题 q 是假命题; ∴¬p 为假命题,¬q 为真命题,p∨q 为真命题,p∧q 为假命题; ∴A 正确. 故选 A. 【点评】考查对正弦函数的图象的掌握,弧度数是个实数,对?∈R 满足 x2≥0,命题¬p,p∨q,p∧q 的真假和 命题 p,q 真假的关系.   8. 【答案】 C 【解析】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表: K 循环前 1 第一圈 2 第二圈 3 第三圈 4 第四圈 5 第五圈 6 S 0 2 7 18 41 88 是 是 是 是 否 是否继续循环

故退出循环的条件应为 k>5? 故答案选 C. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的 ①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的 考试题型,这种题考试的重点有 : 概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.   9. 【答案】B 【解析】解:命题 p∧(¬q)是真命题,则 p 为真命题,¬q 也为真命题, 可推出¬p 为假命题,q 为假命题, 故为真命题的是 p∨q, 故选:B. 【点评】本题考查复合命题的真假判断,注意 p∨q 全假时假,p∧q 全真时真.   10.【答案】A 【解析】解:∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为 45°,腰和上底的长均为 1 的等腰梯形, ∴原四边形为直角梯形, 且 CD=C'D'=1,AB=O'B= ,高 AD=20'D'=2,

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∴直角梯形 ABCD 的面积为 故选:A.



  11.【答案】C 【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知: 所以 m 可以取:0,1,2. 故答案为:C 12.【答案】D 【解析】解:根据奇函数的图象关于原点对称,作出函数的图象,如图 则不等式 xf(x)<0 的解为: 或

解得:x∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0)∪(0,1)∪(2,+∞) 故选:D.

 

二、填空题
13.【答案】1 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得实数 a 的值.

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【解答】解:直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行, ∴ ,解得 a=1.

故答案为 1. 14.【答案】 1 . 【解析】解:(lg2)2+lg2?lg5+ 故答案为:1.   =lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1,

15.【答案】 ?x ? 0, 【解析】

? ?2 ?

, sin ≥1

? ? 试题分析:“ ?x ? (0, ) , sin x ? 1 ”的否定是 ?x ? 0, , sin ≥1 2 2
考点:命题否定 【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合 命题的含义加上量词,再进行否定;②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“?x∈M,p(x)”是 真命题,需要对集合 M 中的每个元素 x,证明 p(x)成立;要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合 M 中的一个特殊值 x0,使 p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个 x =x0,使 p(x0)成立即可,否则就是假命题. 16.【答案】 (﹣3,21) . 【解析】解:∵数列{an}是等差数列, ∴S9=9a1+36d=x(a1+2d)+y(a1+5d)=(x+y)a1+(2x+5y)d, 由待定系数法可得 ∵﹣3<3a3<3,0<6a6<18, ∴两式相加即得﹣3<S9<21. ∴S9 的取值范围是(﹣3,21). 故答案为:(﹣3,21). 【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法,属于 中档题.   17.【答案】 6 . 【解析】解:∵ =(2x﹣y,m), =(﹣1,1).
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? ?

,解得 x=3,y=6.

若 ∥ , ∴2x﹣y+m=0, 即 y=2x+m, 作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 y=2x+m, 由图象可知当直线 y=2x+m 经过点 C 时,y=2x+m 的截距最大,此时 z 最大. 由 解得 , ,代入 2x﹣y+m=0 得 m=6.

即 m 的最大值为 6. 故答案为:6

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 m 的几何意义结合数形结合,即可求出 m 的最大值.根据向量 平行的坐标公式是解决本题的关键.   18.【答案】   .

【解析】解:过 CD 作平面 PCD,使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P, 设点 P 到 CD 的距离为 h, 则有 V= ×2×h× ×2, 当球的直径通过 AB 与 CD 的中点时,h 最大为 2 则四面体 ABCD 的体积的最大值为 故答案为: . . ,

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【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识,考查运算求解能力,考查空间 想象力.属于基础题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】【命题意图】本题考查统计案例、超几何分布、分层抽样等基础知识,意在考查统计思想和基本运算 能力.

X 的分布列为: X P
0 1 2 3

5 28

15 28

15 56

1 56

X 的数学期望为 5 15 15 1 9 E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ………………12分 28 28 56 56 8

20.【答案】 【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识,意在考 查逻辑推证能力、转化能力、识图能力.

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DE DC BC 2 ? ? ,则 BC ? AB ? DE ? 4 ,∴ BC ? 2 . BC BA AB 1 ∴在 Rt?ABC 中, BC ? AB ,∴ ?BAC ? 30? ,∴ ?BAD ? 60? , 2 1 ∴在 Rt?ABD 中, ?ABD ? 30? ,所以 AD ? AB ? 2 . 2
∴ 21.【答案】 【解析】(1)解:设点 E(t,t),∵B(0,﹣1),∴A(2t,2t+1), ∵点 A 在椭圆 C 上,∴ 整理得:6t2+4t=0,解得 t=﹣ ∴E(﹣ ,﹣ ),A(﹣ 或 t=0(舍去), ,﹣ ), ,

∴直线 AB 的方程为:x+2y+2=0; (2)证明:设 P(x0,y0),则 ,

①直线 AP 方程为:y+

=

(x+

),

联立直线 AP 与直线 y=x 的方程,解得:xM= 直线 BP 的方程为:y+1= , ,



联立直线 BP 与直线 y=x 的方程,解得:xN= ∴OM?ON= |xM| |xN|

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=2?|

| ?|

|

=

|

|

=

|

|

= =

| .

|

②设直线 MB 的方程为:y=kx﹣1(其中 k=

=

),

联立

,整理得:(1+2k2)x2﹣4kx=0,

∴xQ=

,yQ=



∴kAN=

=

=1﹣

,kAQ=

=1﹣



要证 A、Q、N 三点共线,只需证 kAN=kAQ,即 3xN+4=2k+2, 将 k= 代入,即证:xM?xN= , ,

由①的证明过程可知:|xM|?|xN|= 而 xM 与 xN 同号,∴xM?xN= 即 A、Q、N 三点共线. ,

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题,考查 运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.   22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由三视图知:几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体,且圆锥与圆柱的底面半径为 2,母 线长分别为 2 、4,

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其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和. S 圆锥侧= ×2π×2×2 S 圆柱底=π×22=4π. ∴几何体的表面积 S=20π+4 则 AB= = π; =2 , . (Ⅱ)沿 A 点与 B 点所在母线剪开圆柱侧面,如图: ∴以从 A 点到 B 点在侧面上的最短路径的长为 2 =4 π;

S 圆柱侧=2π×2×4=16π;

  23.【答案】 【解析】(1)解:∵数列{an}满足 a1=3,an+1=an+p?3n(n∈N*,p 为常数), ∴a2=3+3p,a3=3+12p, ∵a1,a2+6,a3 成等差数列.∴2a2+12=a1+a3,即 18+6p=6+12p 解得 p=2. ∵an+1=an+p?3n, ∴a2﹣a1=2?3,a3﹣a2=2?32,…,an﹣an﹣1=2?3n﹣1, 将这些式子全加起来 得 an﹣a1=3n﹣3, ∴an=3n. (2)证明:∵{bn}满足 bn= 设 f(x)= ,则 f′(x)= ∈(1,2) ,+∞)时,f′(x)<0, ,∴bn= . ,x∈N*,

令 f′(x)=0,得 x= 当 x∈(0,

)时,f′(x)>0;当 x∈(

且 f(1)= ,f(2)= , ∴f(x)max=f(2)= ,x∈N*.

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∴bn≤ . 【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.   24.【答案】 【解析】【知识点】空间的角利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题垂直 【试题解析】(Ⅰ) 平面 平面 (Ⅱ)取 分别以 则 , , 的中点 平面 . , 底面 是正方形, , 两两垂直. 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系, , 是等边三角形, , 是交线, 为 平面 的中点,

设平面

的法向量为





, 平面 的法向量即为平面

, 的法向量 .

由图形可知所求二面角为锐角, (Ⅲ)设在线段 使线段 平面 与 上存在点 所在平面成 , ,解得 在线段 上存在点 ,当线段 , 角, , ,适合 时,与 所在平 面成 角. ,

的法向量为

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