2014年全国高考试卷其他部分汇编

2014 年全国高考试卷其他部分汇编
1. (2014 北京理 8) (概率与统计?简易逻辑?平面几何与推理证明?) 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀” “合格” “不合格”.若学生甲的 语文、 数学成绩都不低于同学乙, 且至少有一门成绩高于乙, 则称 “学生甲比同学乙成绩好.” 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同,数学成绩也 相同的两位学生.那么这组学生最多有( ) A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人 【解析】 B 用 ABC 分别表示优秀、及格和不及格. 显然语文成绩得 A 的学生最多只有 1 个,语文成绩得 B 的也最多只有 1 个,得 C 的也最多只 有 1 个,因此学生最多只有 3 个. 显然, (AC) (BB) (CA)满足条件,故学生最多 3 个 2. (2014 北京理 20) (数列?) 对于数对序列 P : ? a1 ? b1 ? ? ? a2 ? b2 ? ? ? ? an ? bn ? ,记 T1 ? P ? ? a1 ? b1 ,
Tk ? P? ? bk ? max ?Tk ?1 ? P ? ? a1 ? a2 ? ? ak ?? 2 ≤ k ≤ n? ,

其中 max ?Tk ?1 ? P ? ? a1 ? a2 ?

? ak ? 表示 Tk ?1 ? P ? 和 a1 ? a2 ?

? ak 两个数中最大的数,

⑴对于数对序列 P : ? 2 ? 5? ? ? 4 ? 1? ,求 T1 ? P ? ? T2 ? P ? 的值. ⑵记 m 为 a 、 b 、 c 、 d 四个数中最小的数,对于由两个数对 ? a ? b ? ? ? c ? d ? 组成的数对 序列 P : ? a ? b? ? ? c ? d? 和 P? : ? c ? d ? ? ? a ? b ? ,试分别对 m ? a 和 m ? d 两种情况比较
T2 ? P ? 和 T2 ? P?? 的大小.

⑶在由五个数对 ?11 ? 8? , ? 5 ? 2? , ?16 ? 11? , ?11 ? 11? , ? 4 ? 6? 组成的所有数对序列中, 写出一个数对序列 P 使 T5 ? P ? 最小,并写出 T5 ? P ? 的值.(只需写出结论). 【解析】 ⑴ T1 ? P ? ? 2 ? 5 ? 7 , T2 ? P? ? 1 ? max ?T1 ? P ? ? 2 ? 4? ? 1 ? max ?7 ? 6? ? 8 ; ⑵ 当 m ? a 时:
T1 ? P ? ? a ? b , T2 ? P ? ? d ? max ?a ? b ? a ? c? ? a ? d ? max ?b ? c? ; T1 ? P?? ? c ? d , T2 ? P?? ? b ? max ?c ? d ? c ? a? ? b ? c ? max ?a ? d ? ? b ? c ? d ;

因为 a 是 a ? b ? c ? d 中最小的数,所以 a ? max ?b ? c? ≤ b ? c ,从而 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? ; 当 m ? d 时, T1 ? P ? ? a ? b , T2 ? P ? ? d ? max ?a ? b ? a ? c? ? a ? d ? max ?b ? c? ;
T1 ? P?? ? c ? d , T2 ? P?? ? b ? max ?c ? d ? c ? a? ? b ? c ? max ?a ? d ? ? a ? b ? c ;

因为 d 是 a ? b ? c ? d 中最小的数,所以 d ? max ?b ? c? ≤ b ? c ,从而 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? . 综上,这两种情况下都有 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? . ⑶ 数列序列 P : ? 4,6 ? , ?11,11? , ?16,11? , ?11,8 ? , ? 5, 2 ? 的 T5 ? P ? 的值最小;
T1 ? P ? ? 10 , T2 ? P ? ? 26 , T3 ? P ? ? 42 , T4 ? P ? ? 50 , T5 ? P ? ? 52 .

3.

(2014 北京文 14) (不等式?概率与统计?简易逻辑?平面几何与推理证明?) 顾客请一位工艺师把 A,B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任 务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后 交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:

时 原 料 原料 A 原料 B

工 间



粗加工

精加工

9 6

15 21

则最短交货期为____________个工作日. 【解析】 42 4. (2014 福建理 10) (概率与统计?) 用 a 代表红球, b 代表蓝球, c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个篮球中 取出若干个球的所有取法可由 ?1 ? a ??1 ? b ? 的展开式 1 ? a ? b ? ab 表示出来,如: “1”表示一 个球都不取、 “ a ”表示取出一个红球,而“ ab ”则表示把红球和篮球都取出来.以此类推, 下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑 球中取出若干个球,且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( ) A. 1 ? a ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 1 ? b5 ?1 ? c ? B. 1 ? a5 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ?1 ? c ?
5

?

??

C. ?1 ? a ? 1 ? b ? b2 ? b3 ? b4
5

?

? ? ?? ? b ??1 ? c ? D. ?1 ? a ? ?1 ? b? ?1 ? c ? c
5 5 5 5

?

5

2

? c3 ? c4 ? c5 ?

【解析】 A 5. (2014 福建理 15) (概率与统计?集合?简易逻辑?平面几何与推理证明?) 2, 3, 4}, 若集合 {a,b,c,d} ? {1, 且下列四个关系: ① a ? 1 ;② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组 (a,b,c,d ) 的个数是_________. 【解析】 6 6. (2014 福建文 12) (解析几何?) 在平面直角坐标系中,两点 P 1 ? x1,y1 ?,P 2 ? x2,y2 ? 间的“ L ? 距离”定义为 PP 1 2 = x1 ? x2 “ L ? 距离” 之和等于定值 (大于 F1 F ) + y1 ? y2 . 则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1,F2 的 的点的轨迹可以是(
y


y y y

F1

F2

x

F1

F2

x

F1

F2

x

F1

F2

x

A

B

C

D

【解析】 A 7. (2014 福建文 16) (概率与统计?集合?简易逻辑?平面几何与推理证明?) 已知集合 ?a,b,c? ? ?0,, 且下列三个关系: ① a ? 2 ② b ? 2 ③ c ? 0 有且只有一个正确, 1 2? , 则 100a ? 10b ? c ? ________ 【解析】 201 8. (2014 广东理 8) (不等式?概率与统计?集合?) 设 集 合 A ? { (x ? ?{ 1 , ,0 ,1} ? i 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 )i |x “ 1≤ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 3 ”的元素个数为() A.60 B.90 【解析】 D 9. (2014 湖北理 13) (算法。?) C.120 D.130

那5} 么集合 A 中满足条件 1 , 2, , 3, ,4

设 a 是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成 a 的 3 个 数字按从小到大排成的三位数记为 I ? a ? ,按从大到小排成的三位数记为 .阅读如图所示的程序 D ? a ? (例如 a ? 815 ,则 I ? a ? ? 158 , D ? a ? ? 851 ) 框图,运行相应的程序,任意输入一个 a ,输出的结果 b ? ________.
开始 输入a

b=D(a) I(a)

a=b 否

b=a? 是 输出b

结束

【解析】 495 设组成数 a 的三个数字是 m 、、 ∴ b ? D(a) ? I (a) ? 100 p ? 10n ? n p ,其中 1 ≤ m<n<p ≤ 9 ,
m ? 100m ? 10n ? p ? 99( p ? m) ? 100( p ? m) ? ( p ? m) ? 100( p ? m ? 1) ? 90 ? (10 ? p ? m) ,即数
b 的十位数字一定是 9.

由题意可知,程序循环到最后一次, a 的十位数字就是 9,设 a 的另两个数字是 x 、 y ,其中
1 ≤ y<x ≤ 8 ,此时, D(a ) = 900 ? 10 x ? y , I (a) ? 100 y ? 10 x ? 9 , b ? 891 ? 99 y ,

若 891 ? 99 y ? 100 x ? 90 ? y , 则 801 ? 100( x ? y) ,无解.
y ? 4 .所以 b ? 495 . 若 891 ? 99 y ? 100 y ? 90 ? x ,则 801 ? 199 y ? x ,解得 x ? 5 ,

10. (2014 湖北理 14) (函数?解析几何?) 设 f ? x? 是 定 义 在 ?0 , ? ?? 上 的 函 数 , 且 f ? x ? ? 0 , 对 任 意 a ? 0 , b ? 0, 若 经 过 点
0? ,则称 c 为 a , b 关于函数 f ? x ? 的平均数, ? a , f ? a ? , ?b , ? f ?b??? 的直线与 x 轴的交点为 ?c ,

记为 M f ? a , b? ,例如, 当 f ? x ? ? 1? x ? 0? 时,可得 M f ? a , b? ? c ? 的算术平均数. ⑴当 f ? x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a , b) 为 a , b 的几何平均数; ⑵当 f ? x ? ? _____( x ? 0) 时, M f (a , b) 为 a , b 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 【解析】 ⑴ x ⑵x
f (a) ? 0 a ? ab 0 ? f (b) ab ? b
f (a) a f (b ) b

a?b b ,即 M f ?a , b ? 为a, 2

2ab ; a?b

b 的几何平均数,则 c ? ab .由题意知, (a , ⑴若 M f (a , b) 是 a , f (a)) , ( ab , 0) , (b , ? f (b))

共线,∴

?

,∴

?

,∴可取 f ( x) ? x .

b 的调和平均数, b) 是 a , ⑵若 M f (a , 则c ?

2ab ? 2ab ? f (a)) , , 0? , (b , ? f (b)) 由题意知,(a , , ? a?b ?a?b ?

f (a) f (b) f ( x) f (b) ? ,化简得 ,∴可取 f ( x) ? x . ? 2ab 2ab a b a? ?b a?b a?b 11. (2014 湖北理 22) (导数。函数?) 为自然对数的底数. π 为圆周率, e ? 2.71828 ln x ⑴求函数 f ( x)= 的单调区间 x

共线,∴

⑵求 e3 , 3e , eπ ,πe , 3π , π3 这 6 个数中的最大数与最小数; ⑶将 e3 , 3e , eπ ,πe , 3π , π3 这 6 个数从小到大的顺序排列,证明你的结论.
? ?) . 【解析】 ⑴ 函数 f ( x) 的定义域为 (0 , ln x l ? ln x 因为 f ( x) ? 所以 f ?( x) ? . , x x2 0 ,即 0<x<e ,函数 f ( x) 单调递增; 当 f ?( x)> 0 ,即 x<e ,函数 f ( x) 单调递减. 当 f ?( x)<
??) 故函数 f ( x) 的单调递增区间为(0 , ,单调递减区间为( e , . e)

πlne<πln3 ,即 ln 3e <ln πe , ⑵ 因为 e < 3 ? π ,所以 eln3<elnπ , ln eπ<ln 3π .

于是根据函数 y ? ln x , y ? ex , y ? π x 在定义域上单调递增,可得 3e<πe<π3 , e3<eπ< 3π . 故这 6 个数的最大数在 π3 与 3 π 之中,最小数在 3 e 与 e 3 之中. ln π ln 3 ln e 3<π 及⑴的结论,得 f ( π)<f (3)<f (e) , 由 e< 即 . < < π 3 e ln π ln 3 由 得 ln π3<ln 3π ,所以 3π >π3 ; < , π 3 ln 3 ln e 由 ,得 ln 3e <ln e3 ,所以 3e< e3 . < 3 e 综上,6 个数中的最大数是 3 π ,最小数是 3 e . ⑶ 由⑵知, 3e <πe<π3< 3π , 3e <e3 . 又由⑵知,
ln π lne < 得 πe<eπ . π e

故只需比较 e 3 与 πe 和 e π 与 π3 的大小. 1 ln x 1 由⑴知,当 0<x<e 时, f ( x)<f (e)= , 即 < . e x e

e2 e2 e2 e e e 又 <e ,则 ln < ,从而 2 ? ln π< , 即得 ln π> , 2? . π π π π π π e? 2.72 ? ? ? 由①得, e ln π>e ? 2 ? ?>2.7 ? ? 2 ? ? >2.7 ? (2 ? 0.88) ? 3.024 ? 3 ,即 e ln π>3 ,亦即 π 3.1 ? ? ? ?
在上式中,令 x ?
ln πe>ln e3 ,所以 e3<πe .

又由①得, 3ln π> 6?

3e > 6 ? e>π ,即 3ln π>π ,所以 eπ>π3 . π

3π . 综上可得, 3e <e3<πe<eπ<π3<

即 6 个数从小到大的顺序为 3e , e3 , πe , eπ , π3 , 3π . 评析 本题考查了函数和导数的结合应用;考查了不等式求解的能力;考查了分析问题、解 决问题的综合能力.充分考查了考生的综合素质在平时的学习过程中应充分培养综合解决问 题的能力. 12. (2014 湖北文 21) (导数。函数?)

π 为圆周率, e ? 2.718 28

为自然对数的底数.

⑴求函数 f ( x) ?

ln x 的单调区间; x

⑵求 e 3 , 3 e , e π , πe , 3 π , π3 这 6 个数中的最大数与最小数. ln x 1 ? ln x 【解析】 ⑴ 函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ,所以 f ?( x) ? . ? ? ? .因为 f ( x) ? x x2 当 f ?( x) ? 0 ,即 0 ? x ? e 时,函数 f ( x) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? e 时,函数 f ( x) 单调递减. 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? 0, e ? ,单调递减区间为 ? e, ? ?? . ⑵ 因为 e ? 3 ? π ,所以 e ln 3 ? e ln π , π ln e ? π ln 3 ,即 ln 3e ? ln π e , ln e π ? ln 3π . 于是根据函数 y ? ln x , y ? e x , y ? π x 在定义域上单调递增,可得
3e ? πe ? π3 , e3 ? e π ? 3π .

故这 6 个数的最大数在 π3 与 3 π 之中,最小数在 3 e 与 e 3 之中. ln π ln 3 ln e 由 e ? 3 ? π 及⑴的结论,得 f (π) ? f (3) ? f (e) ,即 . ? ? π 3 e ln π ln 3 由 ,得 ln π3 ? ln 3π ,所以 3π >π 3 ; ? π 3 ln 3 ln e 由 ,得 ln 3e ? ln e3 ,所以 3e ? e3 . ? 3 e 综上,6 个数中的最大数是 3 π ,最小数是 3 e . 13. (2014 湖南理 8) (数列?) 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这两 年生产总值的年平均增长率为( A. 【解析】 D 设两年的平均增长率为 x ,则有 ?1 ? x ? ? ?1 ? p ??1 ? q ? ? x ?
2

) C. pq D.

p?q 2

B.

? p ? 1?? q ? 1? ? 1
2

? p ? 1?? q ? 1? ? 1

?1 ? p ??1 ? q ? ? 1 ,故选 D.

14. (2014 江苏理 18) (函数?平面几何与推理证明?三角函数与解三角形?) 如图,为保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新 桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线 北 段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆 B 上任意一点的距离均不少于 80 m.经测量,点 A 位于 A 点 O 正北方向 60 m 处点 C 位于点 O 正东方向 170m 60m M 4 处( OC 为河岸) , tan ?BCO ? . C 3 东 O 170m ⑴求新桥 BC 的长; ⑵当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? (第18题) 【解析】 ⑴ 过 B 作 BE ? OC 于 E ,过 A 作 AF ? BE 于 F , ∵?ABC ? 90? , ?BEC ? 90? ∴?ABF ? ?BCE 4 ∴tan ?ABF ? tan ?BCO ? 3 设 AF ? 4 x(m) ,则 BF ? 3x(m) ∵?AOE ? ?AFE ? ?OEF ? 90? ∴ 四边形 AOEF 为矩形

∴OE ? AF ? 4 x(m) , EF ? AO ? 60m ∴BE ? (3x ? 60)m ∵tan ?BCO ?
3 4 ?9 ? ,∴CE ? BE ? ? x ? 45 ? m 4 4 3 ? ?

9 ? ? ∴OC ? ? 4 x ? x ? 45 ? m 4 ? ?

9 ∴4 x ? x ? 45 ? 170 4 ∴x ? 20 ,∴BE ? 120m , CE ? 90m . ∴BC ? 150m ⑵ 设 BC 与 M 切于 Q ,延长 QM 、CO 交于 P

∵?POM ? ?PQC ? 90? ∴?PMO ? ?BCO 设 OM ? x m ,则 OP ?
?4 ? ∴PC ? ? x ? 170 ? m 3 ? ?
? 16 ? ∴PQ ? ? x ? 136 ? m ,设 M 半径 R 15 ? ? 5 ? 3 ? ? 16 ? ∴R ? MQ ? ? x ? 136 ? x ? m ? ?136 ? x ? m 3 ? 5 ? ? 15 ?

4 5 x m , PM ? x m 3 3

∵A、 O 到 O 上任一点距离不少于 80 m 则 R ? AM ≥ 80 , R ? OM ≥ 80 3 3 ∴136 ? x ? ? 60 ? x ? ≥ 80 , 136 ? x ? x ≥ 80 5 5 ∴10 ≤ x ≤ 35 ∴R 最大当且仅当 x ? 10 时取到 ∴OM ? 10 m 时,保护区面积最大 15. (2014 江西文 21) (概率与统计?集合?) 将连续正整数 1 , 2 , … , n ? n ? N *? 从小到大排列构成一个数 123…n,F ? n ? 为这个数的位数 (如 n ? 12 时,此数为 123456789101112 ,共有 15 个数字, f (12) ? 15 ) ,现从这个数中随机 取一个数字, p(n) 为恰好取到 0 的概率. ⑴求 p(100) ; ⑵当 n ≤ 2014 时,求 F (n) 的表达式; ⑶令 g (n) 为这个数字 0 的个数, f (n) 为这个数中数字 9 的个数, h(n) ? f (n) ? g (n) ,
S ? {n | h(n) ? 1 , n ≤100 , n ? N*} ,求当 n ? S 时 p(n) 的最大值.

【解析】 ⑴当 n ? 100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11, 所以恰好取到 0 的概率为 p ?100? ?
1≤ n ≤ 9 ?n , ?2n ? 9 , 10 ≤ n ≤ 99 ? ⑵ F ?n? ? ? ?3n ? 108 , 100 ≤ n ≤ 999 , ? 1000 ≤ n ≤ 2014. ?4n ? 1107 ,

11 . 192

⑶当 n ? b ?1≤ b ≤ 9 , b ? N? ? 时, g ? n ? ? 0 ;

当 n ? 10k ? b ?1≤ k ≤ 9 , 0 ≤b ≤9 , k ? N? , b ? N? 时, g ? n ? ? k ; 当 n ? 100 时, g ? n ? ? 11 ,
?0 , 1 ≤ n ≤ 9 , ? 即 g ? n ? ? ?k , n ? 10k ? b , 1 ≤ k ≤ 9 ,0 ≤ b ≤ 9 ,k ? N? ,b ? N , ?11 ,n ? 100. ?

1≤ n ≤ 8 , ?0 , ? k, n ? 10k ? b ? 1 , 1 ≤ k ≤ 8 ,0 ≤ b ≤ 9 ,k ? N? , b?N, 同理有 f ? n ? ? ? ? n ? 80 , 89 ≤ n ≤ 98 , ? ? n ? 99 , 100. ?20 ,
19 ,29 ,39 ,49 ,59 ,69 ,79 , 89 ,90. 由 h ? n ? ? f ? n ? ? g ? n ? ? 1,可知 n ? 9 ,

所以当 n ≤ 100 时, s ? ?9 , 19 , 29 , 39 , 49 , 59 , 69 , 79 , 89 , 90?. 当 n ? 9 时, p ? 9? ? 0 ; 当 n ? 90 时, p ? 90 ? ?
F ? 90 ? g ? 90 ? ? 9 1 ? 171 19
F ?n? g ?n? ? k k k ,由于 y ? 关于 k ? 2n ? 9 20k ? 9 20k ? 9

当 n ? 10k ? 9 ?1≤ k ≤ 8 , k ? N? ? 时, p ? n ? ?

单调递增,故当 n ? 10k ? 9 ?1≤ k ≤ 8 , k ? N? ? 时, p ? n ? 的最大值为 p ?89? ? 又
8 1 1 ? ,所以当 n ? S 时, p ? n ? 的最大值为 . 169 19 19

8 . 169

16. (2014 山东理 15) (函数?解析几何?) 已知函数 y ? f ( x)( x ? R ) .对函数 y ? g ( x)( x ? I ) ,定义 g ( x) 关于 f ( x) 的“对称函数”为
y ? h( x)( x ? I ) ,y ? h( x) 满足: f ( x)) 对称. h( x)) , ( x, g ( x)) 关于点 ( x, 对任意 x ? I , 两个点 ( x, 若 h( x) 是 g ( x) ? 4 ? x2 关于 f ( x) ? 3x ? b 的“对称函数”,且 h( x) ? g ( x) 恒成立,则实数 b 的取

值范围是________.
+? 【解析】 2 10,

?

?

由已知得

h ? x ? ? 4 ? x2 2 ? 3x ? b ,所以 h ? x ? ? 6x ? 2b ? 4 ? x , 2

h ? x ? ? g ( x) 恒成立即 6 x ? 2b ? 4 ? x2 ? 4 ? x2 , 3x ? b ? 4 ? x 2 恒成立,
+? . 在同一坐标系内,画出直线 y ? 3x ? b 及半圆 y ? 4 ? x2 ,故答案为 2 10,
y 2 10

?

?

O

x

17. (2014 陕西理 14) (立体几何?平面几何与推理证明?) 观察分析下表中的数据:

多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 【解析】 F ? V ? E ? 2

面数( F ) 5 6 6

顶点数( V ) 6 6 8

棱数( E ) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F , V , E 所满足的等式是________________. 观察表中数据,并计算 F ? V 分别为 11,12,14,又其对应 E 分别为 9,10,12,容易观察 并猜想 F ? V ? E ? 2 . 18. (2014 陕西文 14) (函数?平面几何与推理证明?) x 已 知 f ( x) ? 则 f 2014 ( x) 的 表 达 式 f n?1 ( x) ? f ( f n ( x)) , n ? N?, ,x ≥ 0 , 若 f1 ( x) ? f ( x) , 1? x ____________. x 【解析】 f2014 ? x ? ? 1 ? 2014x 19. (2014 新课标 1 理 14 文 14) (简易逻辑?平面几何与推理证明?) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B , C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 【解析】 A 由三人过去同一城市,且甲没去过 B 城市、乙没去过 C 城市知,三人去过的同一城市为 A. 因此可判断乙去过的城市为 A. 20. (2014 重庆理 22) (平面几何与推理证明?数列?)
2 设 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2a ? 2 ? b ? n ? N? ?

⑴若 b ? 1, 求 a2, a3 及数列 ?an ? 的通项公式;
, ⑵若 b ? ?1 问:是否存在实数 c 使得 a2n ? c ? a2 n ?1 对所有 n ? N? 成立?证明你的结论.

【解析】 ⑴解法一:

a2 ? 2, a3 ? 2 ? 1.
再由题设条件知 ? an?1 ? 1? ? ? an ? 1? ? 1.
2 2

从而 ? an ? 1? 是首项为 0,公差为 1 的等差数列,
2

?

?

故 ? an ? 1? ? n ? 1 ,即 an ? n ? 1 ? 1(n ? N? ) .
2

解法二:

a2 ? 2 ? a3 ? 2 ? 1 ,
可写为 a1 ? 1 ? 1 ? 1, a2 ? 2 ? 1 ? 1 , a3 ? 3 ? 1 ? 1. 因此猜想 an ? n ? 1 ? 1(n ? N? ) . 下面数学归纳法证明上式: 当 n ? 1 时结论显然成立. 假设 n ? k 时结论成立,即 ak ? k ? 1 ? 1 .则
ak ?1 ?

? ak ? 1?

2

?1 ?1 ?

? k ? 1? ? 1 ? 1 ? ? k ? 1? ? 1 ? 1 ,

这就是说,当 n ? k ? 1 时结论成立.

所以 an ? n ? 1 ? 1(n ? N? ) . ⑵解法一: 设 f ? x? ?

? x ? 1?

2

? 1 ? 1 ,则 an?1 ? f ? an ? .

1 . 4 下面用数学归纳法证明加强命题 a2n ? c ? a2n?1 ? 1 .

令 c ? f ? c ? ,即 c ?

? c ? 1?

2

? 1 ? 1 ,解得 c ?

当 n ? 1 时, a2 ? f ?1? ? 0, a3 ? f ? 0? ? 2 ? 1 ,所以 a2 ? 假设 n ? k 时结论成立,即 a2k ? c ? a2k ?1 ? 1 . 易知 f ? x ? 在 ? ?? ? 1? 上为减函数. 从而 c ? f ? c ? ? f ? a2k ?1 ? ? f ?1? ? a2 ,即 1 ? c ? a2k ? 2 ? a2

1 ? a3 ? 1 ,结论成立. 4

再由 f ? x ? 在 ? ?? ? 1? 上为减函数得 c ? f ? c ? ? f ? a2k ?2 ? ? f ? a2 ? ? a3 ? 1 . 故 c ? a2 k ?3 ? 1 ,因此 a2? k ?1? ? c ? a2? k ?1??1 ? 1. 这就是说,当 n ? k ? 1 时结论成立. 综上,符合条件的 c 存在,其中一个值为 c ? 解法二: 设 f ? x? ?
1 . 4

? x ? 1?

2

? 1 ? 1 ,则 an?1 ? f ? an ? .

先证: 0 ≤ an ≤1

? n ? N ? .①
*

当 n ? 1 时,结论明显成立. 假设 n ? k 时结论成立,即 0 ≤ ak ≤1 . 易知 f ? x ? 在 ? ??, 1? 上为减函数,从而 0 ? f ?1? ≤ f ? ak ? ≤ f ? 0? ? 2 ? 1 ? 1. 即 0 ≤ ak ?1 ≤1 .这就是说,当 n ? k ? 1 时结论成立.故① 成立. 再证: a2n ? a2n?1

? n ? N ? .②
*

当 n ? 1 时, a2 ? f ?1? ? 0, 成立. a3 ? f ? a2 ? ? f ? 0? ? 2 ? 1 ,有 a2 ? a3 ,即 n ? 1 时② 假设 n ? k 时,结论成立,即 a2 k ? a2 k ?1 . 由①f ? x ? 在 ? ??, 1? 上为减函数,得 a2k ?1 ? f ? a2k ? ? f ? a2k ?1 ? ? a2k ? 2 ,
a2? k ?1? ? f ? a2k ?1 ? ? f ? a2k ?2 ? ? a2? k ?1?+ 1 .

这就是说,当 n ? k ? 1 时② 成立.所以② 对一切 n ? N* 成立.
2 由② 得 a2n ? a2 , n ? 2a2n ? 2 ? 1 2 即 ? a2n ? 1? ? a2 , n ? 2a2n ? 2 2

1 .③ 4 又由① 、② 及 f ? x ? 在 ? ??, 1? 上为减函数得 f ? a2n ? ? f ? a2n?1 ? ,

因此 a2 n ?

即 a2 n ?1 ? a2 n ? 2 .
2 所以 a2n?1 ? a2 ,解得 a2n?1 ? n?1 ? 2a2n?1 ? 2 ? 1

1 .④ 4

综上,由② 、③ 、④ 知存在 c ?

1 ,使 a2n ? c ? a2 n ?1 对一切 n ? N* 成立. 4


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