2018版高中数学(人教B版)必修五学案:第二章 习题课 数列求和 Word版含答案

习题课 数列求和 [学习目标] 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式.2.掌握数列求和的几种基本方法. [预习导引] 1.基本求和公式 n?a1+an? n?n-1? (1)等差数列的前 n 项和公式:Sn= =na1+ d. 2 2 a1?1-qn? a1-anq (2)等比数列前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 2.数列{an}的 an 与 Sn 的关系 ? ?S1,n=1, 数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+?+an,则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ? 3.拆项成差求和经常用到下列拆项公式 1 1 1 (1) = - . n?n+1? n n+1 1 1 1 1 (2) = ( - ). ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 (3) 1 n+ n+1 = n+1- n. 要点一 分组分解求和 1 1 1 例 1 求和:Sn=(x+ )2+(x2+ 2)2+?+(xn+ n)2. x x x 1 1 1 解 当 x≠± 1 时,Sn=(x+ )2+(x2+ 2)2+?+(xn+ n)2 x x x 1 1 1 =(x2+2+ 2)+(x4+2+ 4)+?+(x2n+2+ 2n) x x x 1 1 1 =(x2+x4+?+x2n)+2n+( 2+ 4+?+ 2n) x x x = = x2?x2n-1? x 2?1-x 2n? + +2n - x2-1 1-x 2 - - ?x2n-1??x2n 2+1? +2n; x2n?x2-1? + 当 x=± 1 时,Sn=4n. 4n,x=± 1, ? ? 2n 综上知,Sn=??x -1??x2n+2+1? +2n,x≠± 1. 2n 2 ? ? x ?x -1? 规律方法 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等 差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和. 跟踪演练 1 求数列{an}:1,1+a,1+a+a2,?,1+a+a2+?+an 1,?的前 n 项和 Sn(其中 - a≠0). n?n+1? 解 当 a=1 时,则 an=n,于是 Sn=1+2+3+?+n= . 2 1-an 1 当 a≠1 时,an= = (1-an). 1-a 1-a a?1-an? a?1-an? 1 1 n ∴Sn= [n-(a+a2+…+an)]= [n- ]= - . 1-a 1-a 1-a 1-a ?1-a?2 n?n+1? ? ? 2 ,a=1, ∴S =? a?1-a ? n ? ?1-a- ?1-a? ,a≠1. n n 2 要点二 错位相减法求和 例 2 已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn 1(q≠0,n∈N+),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. - ?a1+a2+a3=6, ?3a1+3d=6, ? ? 解 (1)设{an}的公差为 d,则由已知得? 即? ? ? ?a1+a2+?+a8=-4, ?8a1+28d=-4, 解得 a1=3,d=-1,故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)知,bn=n· qn 1, - 于是 Sn=1· q0+2· q1+3· q2+?+n· qn 1, - 若 q≠1,上式两边同乘以 q. qSn=1· q1+2· q2+?+(n-1)· qn 1+n· qn, - 两式相减得:(1-q)Sn=1+q1+q2+?+qn 1-n· qn - = 1-qn -n· qn. 1-q + 1-qn n· qn 1-?n+1?qn+1 qn n· ∴Sn= = . 2- ?1-q? 1-q ?1-q?2 n?n+1? 若 q=1,则 Sn=1+2+3+?+n= , 2 n?n+1? ?q=1?, ? ? 2 ∴S =? nq -?n+1?q +1 ?q≠1?. ? ? ?1-q? n n+1 n 2 规律方法 用错位相减法求和时,应注意: (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2) 在写出“Sn” 与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ”以便下一步准确写出 “Sn-qSn”的表达式.若公比是个参数(字母),则应先对参数加以讨论,一般情况下分等于 1 和不等于 1 两种情况分别求和. 跟踪演练 2 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N+). (1)求数列{an}的通项 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 解 (1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn, ∴Sn+1=3Sn.又∵S1=a1=1, ∴数列{Sn}是首项为 1,公比为 3 的等比数列.∴Sn=3n 1(n∈N+). - 当 n≥2 时,an=2Sn-1=2· 3n 2,且 a1=1, - ?1,n=1, ? ∴an=? n-2 ?2· 3 ,n≥2. ? (2)Tn=a1+2a2+3a3+?+nan, 当 n=1 时,T1=1; 当 n≥2 时,Tn=1+4· 30+6· 31+?+2n· 3n 2, - ① ② -1 ∴3Tn=3+4· 31+6· 32+?+2n· 3n 1, - ①-②得-2Tn=2+2(31+32+?+3n 2)-2n· 3n - - 3?1-3n 2? - - =2+2· -2n· 3n 1=-1+(1-2n)· 3n 1, 1-3 1 1 - ∴Tn= +(n- )3n 1(n≥2), 2 2 又∵T1=a1=1 也满足上式, 1 1 - ∴Tn= +(n- )3n 1(n∈N+). 2 2 要点三 裂项相消求和 1 1 1 1 例 3 求和: 2 + 2 + 2 +?+ 2 ,n≥2. 2 -1 3 -1 4 -1 n -1

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