版高中数学第二章数列231等比数列一学案新人教B版必修5(数学教案)

2.3.1 学习目标 等比数列(一) 1.通过实例,理解等比数列的概念并学会简单应用.2.掌握等比中项的概念并会 应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 知识点一 等比数列的概念 思考 观察下列 4 个数列,归纳它们的共同特点. ①1,2,4,8,16,?; 1 1 1 1 ②1, , , , ,?; 2 4 8 16 ③1,1,1,1,?; ④-1,1,-1,1,?. 梳理 等比数列的概念和特点. (1)文字定义:一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的____一项的____都等于 ________常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的______,通常用字母 q(q≠0)表示. (2)递推公式形式的定义 an an+1 =q(n>1,n∈N+)(或 =q,n∈N+). an-1 an (3)等比数列各项均________为 0. 知识点二 等比中项的概念 思考 在 2,8 之间插入一个数,使之成等比数列.这样的实数有几个? 梳理 等差中项与等比中项的异同,对比如下表: 1 对比项 定义 等差中项 若 x,A,y 成等差数列,则 A 叫做 x 与 y 的等差中项 等比中项 若 x,G,y 成等比数列,则 G 叫做 x 与 y 的等比中项 定义式 公式 A-x=y-A x+y A= 2 G y = x G G=± xy x 与 y 的等比中项有____个,且互为 ______ 只有当 xy>0 时,x 与 y 才有等比中 项 个数 x 与 y 的等差中项唯一 备注 任意两个数 x 与 y 都有等差中项 知识点三 等比数列的通项公式 思考 等差数列通项公式是如何推导的?你能类比推导首项为 a1,公比为 q 的等比数列的通 项公式吗? 梳理 等比数列{an}首项为 a1,公比为 q,则 an=a1q n-1 . 类型一 证明等比数列 例 1 已知 f(x)=logmx(m>0 且 m≠1),设 f(a1),f(a2),?,f(an),?是首项为 4,公差 为 2 的等差数列, 求证:数列{an}是等比数列. 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义, 即 an+1 =q(与 n 无关的常数). an 1 跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (an-1)(n∈N+). 3 (1)求 a1,a2; (2)证明:数列{an}是等比数列. 2 类型二 等比数列通项公式的应用 命题角度 1 方程思想 例 2 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项. 反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值,求该数列的其他项或求该数列的通项常用方 程思想,通过已知可以得到关于 a1 和 q 的两个方程,从而解出 a1 和 q,再求其他项或通项. 跟踪训练 2 在等比数列{an}中. (1)已知 a1=3,q=-2,求 a6; (2)已知 a3=20,a6=160,求 an. 命题角度 2 等比数列的实际应用 例 3 某种放射性物质不断变化为其他物质, 每经过一年剩余的这种物质是原来的 84%, 这种 物质的半衰期为多长?(精确到 1 年, 放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的 半衰期) 3 反思与感悟 等比数列应用问题,在实际应用问题中较为常见,解题的关键是弄清楚等比数 列模型中的首项 a1,项数 n 所对应的实际含义. 跟踪训练 3 某制糖厂 2011 年制糖 5 万吨,如果从 2011 年起,平均每年的产量比上一年增 加 20%,那么到哪一年,该糖厂的年制糖量开始超过 30 万吨?(保留到个位,lg 6≈0.778, lg 1.2≈0.079) 类型三 等比中项 例 4 若 1,a,3 成等差数列,1,b,4 成等比数列,则 的值为( 1 A.± 2 C.1 B. 1 2 a b ) D.±1 反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项;(2)只有同号的两个实数才有实数 等比中项,且一定有 2 个. 跟踪训练 4 A.1 C.±1 2+1 与 2-1 的等比中项是( B.-1 D. 1 2 ) 1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=64,则 a3 等于( A.16 B.16 或-16 ) 4 C.32 D.32 或-32 ) 2.若等比数列的首项为 4,末项为 128,公比为 2,则这个数列的项数为( A.4 B.8 C.6 D.32 3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7 等于( A.64 B.81 C.128 D.243 4.45 和 80 的等比中项为________. ) 1.等比数列的判断或证明 (1)利用定义: an+1 =q(与 n 无关的常数). an 2 (2)利用等比中项:an+1=anan+2(n∈N+). 2.两个同号的实数 a、b 才有等比中项,而且它们的等比中项有两个(± ab),而不是一个 ( ab),这是容易忽视的地方. 3.等比数列的通项公式 an=a1q 个量. n-1 共涉及 a1,q,n,an 四个量,已知其中三个量可求得第四 5 答案精析 问题导学 知识点一 思考 从第 2 项起,每项与它的前一项的比是同一个常数. 梳理 (1)2 前 比 同一个 公比 (3)不能 知识点二 G 8 2 思考 设这个数为 G.则 = ,G =16,G=±4.所以这样的数有 2 个. 2 G 梳理 两 相反数 知识点三 思考 等差数列通项公式的推导是借助叠加消去中间项,等比数列则可用叠乘.根据等比数 列的定义得 a2 a3 a4 an =q, =q, =q,?, =q a1 a2 a3 an-1 (n≥2). 将上面 n-1 个等式的左、右两边分别相乘, 得 · · ·?· a2 a3 a4 a1 a2 a

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