闽侯县民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

闽侯县民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 函数 A.(3,4) B.(2,3) ) C.{x|﹣3≤x≤1} D.{x|x≤﹣3 或 x≥1} 的零点所在区间为( C.(1,2) ) D.(0,1)

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 不等式﹣x2﹣2x+3≤0 的解集为( A.{x|x≥3 或 x≤﹣1} ①若 = ,则 x=y. ②若 lgx 有意义,则 x>0. ③若 x=y,则 =
2

B.{x|﹣1≤x≤3}

3. 有以下四个命题:


2

④若 x>y,则 x <y . 则是真命题的序号为( A.①② B.①③ ) C.②③ D.③④ 的渐近线的距离为( C. ) D.

4. 抛物线 y2=8x 的焦点到双曲线 A.1 B.

5. 设函数 f(x)的定义域为 A,若存在非零实数 l 使得对于任意 x∈I(I?A),有 x+l∈A,且 f(x+l)≥f(x),
2 2 则称 f(x)为 I 上的 l 高调函数,如果定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数,当 x≥0 时,f(x)=|x﹣a |﹣a ,且

函数 f(x)为 R 上的 1 高调函数,那么实数 a 的取值范围为( A.0<a<1 B.﹣ ≤a≤ C.﹣1≤a≤1 D.﹣2≤a≤2



6. 若复数满足 A.1

1? i 7 ? i (为虚数单位),则复数的虚部为( z B . ?1


) C. ) D. ? i

7. 若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 A.﹣2 B.2
4

=1 的右焦点重合,则 p 的值为(

C.﹣4 D.4
2 1

8. a ? 2 3 , b ? 4 5 , c ? 253 ,则( A. b ? a ? c

) C. b ? c ? a D. c ? a ? b

B. a ? b ? c

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9. 已知点 P y) (x, 的坐标满足条件 A. B. C.﹣6 D.6

, (k 为常数) , 若 z=3x+y 的最大值为 8, 则 k 的值为 (



10.在正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为( A. B. C. D.



2 11. B 两点, 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, 点 O 是原点, 若|AF|=3, 则△ AOF 的面积为 (



A.

B.

C.

D.2

12.如果对定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 m ? n ,均有 mf (m) ? nf (n) ? mf (n) ? nf (m) ? 0 成立,则称 函数 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ①

f ( x) ? ln 2x ? 5 ;② f ( x) ? ? x3 ? 4x ? 3;③ f ( x) ? 2 2x ? 2(sin x ? cosx) ;④


?ln | x |, x ? 0 .其中函数是“ H 函数”的个数为( f ( x) ? ? ?0 , x ? 0
A.1 B.2 C.3 D. 4

【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要 有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大.

二、填空题
13.已知 sin ? ? cos ? ?

1 sin ? ? cos ? , ? ? (0, ? ) ,则 的值为 7? 3 sin 12
,则 cos(a1+a2+a6)= .



14.已知等差数列{an}中,a3=

15.运行如图所示的程序框图后,输出的结果是

16.【启东中学 2018 届高三上学期第一次月考(10 月)】已知函数 f ? x ?=-xlnx+ax 在 ? 0,e ? 上是增函

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数,函数 g ? x ?= e -a +
x

a2 3 ,当 x ??0,ln3? 时,函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 ,则 a 的值 2 2

为______. 17.曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线与曲线 y=ax+ln x 相切,则 a=________. 18.一个算法的程序框图如图,若该程序输出的结果为 ,则判断框中的条件 i<m 中的整数 m 的值 是 .

三、解答题
19.数列 {an } 中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0(n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ?? | an | ,求 Sn .

20.(文科)(本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟 确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超过的部分 按议价收费,为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水量(单位:吨), 将数据按照 ?0,0.5? , ?0.5,1? ,?, ?4,4.5? 分成 9 组,制成了如图所示的频率分布直方图.

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(1)求直方图中的值; (2)设该市有 30 万居民,估计全市居民中月均用量不低于 3 吨的人数,并说明理由; (3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.

21.对于定义域为 D 的函数 y=f(x),如果存在区间[m,n]?D,同时满足: ①f(x)在[m,n]内是单调函数; ②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n]. 则称[m,n]是该函数的“和谐区间”.
2 (1)证明:[0,1]是函数 y=f(x)=x 的一个“和谐区间”.

(2)求证:函数 (3)已知:函数 最大值.

不存在“和谐区间”. (a∈R,a≠0)有“和谐区间”[m,n],当 a 变化时,求出 n﹣m 的

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22.已知函数 f(x)=(ax2+x﹣1)ex,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (Ⅰ)若 a=0,求曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)若 ,求 f(x)的单调区间; 的图象仅有 1 个公共点,求实数 m 的取值范

(Ⅲ)若 a=﹣1,函数 f(x)的图象与函数 围.

23.在三棱锥 S﹣ABC 中,SA⊥平面 ABC,AB⊥AC. (Ⅰ)求证:AB⊥SC; (Ⅱ)设 D,F 分别是 AC,SA 的中点,点 G 是△ ABD 的重心,求证:FG∥平面 SBC; (Ⅲ)若 SA=AB=2,AC=4,求二面角 A﹣FD﹣G 的余弦值.

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24.(本小题满分 12 分)菜农为了蔬菜长势良好,定期将用国家规定的低毒杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防 止害虫的危害,待蔬菜成熟时将采集上市销售,但蔬菜上仍存有少量的残留农药,食用时可用清水清洗干净, 下表是用清水 x(单位:千克)清洗该蔬菜 1 千克后,蔬菜上残存的农药 y(单位:微克)的统计表: xi 1 2 3 4 5 yi 57 53 40 30 10 (1)在下面的坐标系中,描出散点图,并判断变量 x 与 y 的相关性;

(2)若用解析式 y=cx2+d 作为蔬菜农药残量与用水量的回归方程,求其解析式;(c,a 精确到 0.01); 附:设 ωi=x2 i ,有下列数据处理信息: ω =11, y =38, (ωi- ω )(yi- y )=-811, 计分别为 (ωi- ω )2=374,

对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程 y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘估

(3)为了节约用水,且把每千克蔬菜上的残留农药洗净估计最多用多少千克水.(结果保留 1 位有效数字)

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闽侯县民族中学 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B 【解析】解:函数的定义域为(0,+∞),易知函数在(0,+∞)上单调递增, ∵f(2)=log32﹣1<0,f(3)=log33﹣ >0, ∴函数 f(x)的零点一定在区间(2,3), 故选:B. 【点评】本题考查函数的单调性,考查零点存在定理,属于基础题. 2. 【答案】D
2 【解析】解:不等式﹣x ﹣2x+3≤0, 2 变形为:x +2x﹣3≥0,

因式分解得:(x﹣1)(x+3)≥0, 可化为: 或 ,

解得:x≤﹣3 或 x≥1, 则原不等式的解集为{x|x≤﹣3 或 x≥1}. 故选 D. 3. 【答案】A 【解析】解:①若 = ,则 ,则 x=y,即①对;

②若 lgx 有意义,则 x>0,即②对; ③若 x=y>0,则 =
2

,若 x=y<0,则不成立,即③错;
2

④若 x>y>0,则 x >y ,即④错. 故真命题的序号为①② 故选:A. 4. 【答案】A
2 【解析】解:因为抛物线 y =8x,由焦点公式求得:抛物线焦点为(2,0)

又双曲线

.渐近线为 y=

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有点到直线距离公式可得:d= 故选 A.

=1.

【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法.其中应用到点到直线的距离公式,包含知识 点多,属于综合性试题. 5. 【答案】 B 【解析】解:定义域为 R 的函数 f(x)是奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=|x﹣a2|﹣a2= 图象如图,

2 ∵f(x)为 R 上的 1 高调函数,当 x<0 时,函数的最大值为 a ,要满足 f(x+l)≥f(x),

1 大于等于区间长度 3a2﹣(﹣a2),
2 2 ∴1≥3a ﹣(﹣a ),

∴﹣ ≤a≤ 故选 B

【点评】考查学生的阅读能力,应用知识分析解决问题的能力,考查数形结合的能力,用图解决问题的能力, 属中档题. 6. 【答案】A 【解析】

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试题分析:?i 4 ? 1, i 2 ? ?1?i 7 ? i3 ? ?i ,因为复数满足 虚部为,故选 A.

i ?1 ? i ? 1? i 7 ? i ,所以 ? ?i? i,? z ? i ? 1 ,所以复数的 z z

考点:1、复数的基本概念;2、复数代数形式的乘除运算. 7. 【答案】D 【解析】解:双曲线 ﹣ =1 的右焦点为(2,0),

即抛物线 y2=2px 的焦点为(2,0), ∴ =2, ∴p=4. 故选 D. 【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 8. 【答案】A 【解析】 试题分析: a ? 4 3 , b ? 4 5 , c ? 5 3 ,由于 y ? 4x 为增函数,所以 a ? b .应为 y ? x 3 为增函数,所以 c ? a ,故
2 2 2 2

b ? a ? c.
考点:比较大小. 9. 【答案】 B 【解析】解:画出 x,y 满足的可行域如下图:z=3x+y 的最大值为 8, 由 ( ,解得 y=0,x= , ,0)代入 2x+y+k=0,∴k=﹣ ,

故选 B.

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【点评】如果约束条件中含有参数,可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪 两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组),代入另一条直线方程,消去 x,y 后,即可求出参数 的值. 10.【答案】C 【解析】解:正方体 8 个顶点中任选 3 个顶点连成三角形,所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上, 在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个, 所以共有 4×6=24 个,
3 而在 8 个点中选 3 个点的有 C8 =56,

所以所求概率为 故选:C

=

【点评】本题是一个古典概型问题,学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础,同时有利于理解概率的概 念,有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题. 11.【答案】B
2 【解析】解:抛物线 y =4x 的准线 l:x=﹣1.

∵|AF|=3, ∴点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴1+xA=3 ∴xA=2, ∴yA=±2 , = . ∴△AOF 的面积为 故选:B. 【点评】本题考查抛物线的定义,考查三角形的面积的计算,确定 A 的坐标是解题的关键.

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12.【答案】 B



二、填空题
13.【答案】 【解析】

17( 6 ? 2) 3

? sin

2? 6 7? ? ? ? ? ?? ? ? , ? sin ? ? ? ? sin cos ? cos sin ? 4 12 4 3 4 3 ?4 3?

?

17 sin ? ? cos ? 17 4 ? ? ? 7? 3 2? 6 sin 12


?

6? 2 3

? , 故答案为

17( 6 ? 2) . 3

考点:1、同角三角函数之间的关系;2、两角和的正弦公式. 14.【答案】

【解析】解:∵数列{an}为等差数列,且 a3=



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∴a1+a2+a6=3a1+6d=3(a1+2d)=3a3=3× ∴cos(a1+a2+a6)=cos 故答案是: . = .

=



15.【答案】 0 【解析】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 S=sin 由于 sin 所以 S=sin 周期为 8, +sin +…+sin =0. +sin +…+sin 的值,

故答案为:0. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用,属于基本 知识的考查. 16.【答案】

【 解 析 】 f ? ? x? ? ?1 ?lnx ? a, 因 为 f ? x ? 在 ? 0,e ? 上 是 增 函 数 , 即 f ? ? x ? ? 0 在 ? 0,e ? 上 恒 成 立 ,

5 2

? a ? lnx ? 1 ,则 a ? ? lnx ?1?max ,当 x ? e 时, a ? 2 ,

a2 a2 x , t ? ?1,3? , ,令 t ? e ,则 g ? t ? ? t ? a ? 2 2 a2 a2 (1)当 2 ? a ? 3 时, g ? t ?max ? g ?1? ? a ? 1 ? , g ? t ?min ? g ? a ? ? , 2 2 3 5 则 g ? t ?max ? g ? t ?min ? a ? 1 ? ,则 a ? , 2 2 a2 a2 a ? 3 (2)当 时, g ? t ?max ? g ?1? ? a ? 1 ? , g ? t ?min ? g ? 3? ? a ? 3 ? , 2 2 则 g ?t ?max ? g ?t ?min ? 2 ,舍。
又 g ? x? ? e ? a ?
x

?a ?

5 。 2

17.【答案】 【解析】由 y=x2+3x 得 y′=2x+3, ∴当 x=-1 时,y′=1, 则曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线方程为 y+2=x+1, 即 y=x-1,设直线 y=x-1 与曲线 y=ax+ln x 相切于点(x0,y0),
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1 由 y=ax+ln x 得 y′=a+ (x>0), x 1 a+ =1 x0
0 0 0 0 0

? ? ∴?y =x -1 ,解之得 x =1,y =0,a=0. ? ?y =ax +ln x
0 0

∴a=0. 答案:0 18.【答案】 6 . 【解析】解:第一次循环:S=0+ 第二次循环:S= + 第三次循环:S= + 第四次循环:S= + 第五次循环:S= + 故答案为:6. 【点评】本题考查程序框图,尤其考查循环结构.对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律.本题属于 基础题 = ,i=1+1=2;

= ,i=2+1=3; = ,i=3+1=4; = ,i=4+1=5; = ,i=5+1=6;输出 S,不满足判断框中的条件;

∴判断框中的条件为 i<6?

三、解答题
?9n ? n 2 (n ? 5) ? 19.【答案】(1) an ? 10 ? 2n ;(2) S n ? ? 2 . ? ?n ? 9n ? 40(n ? 5)
【解析】 试题分析:(1)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,所以 {an } 是等差数列且 a1 ? 8 , a4 ? 2 ,即可求解数列 {an } 的通 项公式;(2)由(1)令 an ? 0 ,得 n ? 5 ,当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 , 即可分类讨论求解数列 Sn .

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当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ?? | an | ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 9n ? n2 ∴ Sn ? ?

?9n ? n 2 (n ? 5) ? .1 2 n ? 9 n ? 40( n ? 5) ? ?

考点:等差数列的通项公式;数列的求和. 20.【答案】(1) a ? 0.3 ;(2) 3.6 万;(3) 2.9 . 【解析】

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(3)由图可得月均用水量不低于 2.5 吨的频率为:

0.5? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52? ? 0.73 ? 85% ;
月均用水量低于 3 吨的频率为:

0.5? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52 ? 0.3? ? 0.88 ? 85% ; 0.85 ? 0.73 ? 2.9 吨.1 则 x ? 2.5 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.5
考点:频率分布直方图. 21.【答案】
2 【解析】解:(1)∵y=x 在区间[0,1]上单调递增.

又 f(0)=0,f(1)=1, ∴值域为[0,1], ∴区间[0,1]是 y=f(x)=x 的一个“和谐区间”. (2)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]?(﹣∞,0)或[m,n]?(0,+∞), 故函数 在[m,n]上单调递增.
2

若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则 故 m、n 是方程 的同号的相异实数根.

2 ∵x ﹣3x+5=0 无实数根,

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∴函数

不存在“和谐区间”.

(3)设[m,n]是已知函数定义域的子集. ∵x≠0,[m,n]?(﹣∞,0)或[m,n]?(0,+∞), 故函数 若[m,n]是已知函数的“和谐区间”,则 故 m、n 是方程 ∵ ,
2 2 2 ,即 a x ﹣(a +a)x+1=0 的同号的相异实数根.

在[m,n]上单调递增.

2 ∴m,n 同号,只须△=a (a+3)(a﹣1)>0,即 a>1 或 a<﹣3 时,

已知函数有“和谐区间”[m,n], ∵ ∴当 a=3 时,n﹣m 取最大值 22.【答案】
x x x x 【解析】解:(Ⅰ)∵a=0,∴f(x)=(x﹣1)e ,f′(x)=e +(x﹣1)e =xe ,



∴曲线 f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=f(1)=e. 又∵f(1)=0,∴所求切线方程为 y=e(x﹣1), 即.ex﹣y﹣4=0
x 2 x 2 x x (Ⅱ)f′(x)=(2ax+1)e +(ax +x﹣1)e =[ax +(2a+1)x]e =[x(ax+2a+1)]e ,

①若 a=﹣ ,f′(x)=﹣ x2ex≤0,∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,+∞), ②若 a<﹣ ,当 x<﹣ 当﹣ 或 x>0 时,f′(x)<0;

<x<0 时,f′(x)>0. ],[0,+∞);单调递增区间为[﹣ ,0].

∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣

2 x (Ⅲ)当 a=﹣1 时,由(Ⅱ)③知,f(x)=(﹣x +x﹣1)e 在(﹣∞,﹣1)上单调递减,

在[﹣1,0]单调递增,在[0,+∞)上单调递减, ∴f(x)在 x=﹣1 处取得极小值 f(﹣1)=﹣ ,在 x=0 处取得极大值 f(0)=﹣1, 由
2 ,得 g′(x)=2x +2x.

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当 x<﹣1 或 x>0 时,g′(x)>0;当﹣1<x<0 时,g′(x)<0. ∴g(x)在(﹣∞,﹣1]上单调递增,在[﹣1,0]单调递减,在[0,+∞)上单调递增. 故 g(x)在 x=﹣1 处取得极大值 在 x=0 处取得极小值 g(0)=m, ∵数 f(x)与函数 g(x)的图象仅有 1 个公共点, ∴g(﹣1)<f(﹣1)或 g(0)>f(0),即. . ,

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题,考查函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,是一道中档题.

23.【答案】 【解析】(Ⅰ)证明:∵SA⊥平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴SA⊥AB,又 AB⊥AC,SA∩AC=A, ∴AB⊥平面 SAC, 又 AS?平面 SAC,∴AB⊥SC. (Ⅱ)证明:取 BD 中点 H,AB 中点 M, 连结 AH,DM,GF,FM, ∵D,F 分别是 AC,SA 的中点, 点 G 是△ABD 的重心, ∴AH 过点 G,DM 过点 G,且 AG=2GH, 由三角形中位线定理得 FD∥SC,FM∥SB, ∵FM∩FD=F,∴平面 FMD∥平面 SBC, ∵FG?平面 FMD,∴FG∥平面 SBC. (Ⅲ)解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AC 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, ∵SA=AB=2,AC=4,∴B(2,0,0),D(0,2,0),H(1,1,0), A(0,0,0),G( , ,0),F(0,0,1), =(0,2,﹣1), =( ),

设平面 FDG 的法向量 =(x,y,z), 则 ,取 y=1,得 =(2,1,2),

又平面 AFD 的法向量 =(1,0,0), cos< , >= = .

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∴二面角 A﹣FD﹣G 的余弦值为 .

【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要注意空 间思维能力的培养,注意向量法的合理运用. 24.【答案】 【解析】解:(1)

根据散点图可知,x 与 y 是负相关. (2)根据提供的数据,先求数据(ω1,y1),(ω 2,y2),(ω3,y3),(ω4,y4),(ω5,y5)的回归直线 方程,y=cω+d,

= ^ ^ a=y-cω =38-(-2.17)×11=61.87.

-811 ≈-2.17, 374

∴数据(ωi,yi)(i=1,2,3,4,5)的回归直线方程为 y=-2.17ω+61.87,

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又 ωi=x2 i, ∴y 关于 x 的回归方程为 y=-2.17x2+61.87. (3)当 y=0 时,x= 61.87 = 2.17 6187 ≈5.3.估计最多用 5.3 千克水. 217

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