浙江省湖州中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题

湖州中学 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题
参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

棱柱的体积公式
V ? Sh

如果事件 A、B 相互独立,那么
P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B )

其中 S 表示棱柱的底面积, 表示棱柱的高 h 棱锥的体积公式
V ? 1 3 Sh

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P,那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

其中 S 表示棱锥的底面积, 表示棱锥的高 h 球的表面积公式
S ? 4? R
2

( k ? 0 ,1, 2 , ? , n )

棱台的体积公式
V ? 1 3 h(S1 ? S1S 2 ? S 2 )

球的体积公式
V ? 4 3

其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底面积, h 表示棱台的高

?R

3

其中 R 表示球的半径

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.合集 U ? {0,1, 2, 3}, C U M ? {2} ,则集合 M= A.{0,1,3} B.{1,3} C.{0,3} ( )

D.{2} ( )

2.已知复数 z 满足 ( 2 ? i )(1 ? i ) ? i ? z (i 为虚数单位),则 z= A.-1+3i B.-1-3i 3.抛物线 y=-4x2 的焦点坐标是 A.(0,-1) B.(-1,0)
?
3

C.1+3i
1 16 1 16

D.1-3i ( ) D. ? ( ,0)

C.(0, ?



4.在△ ABC中,“ sin A ?

3 2

”是“ A ?

”的





A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6. 已知 ? , ? 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m 、 n 是异面直线,那么
n 与 ? 相交;

④若 ? ? ? ? m , n // m ,且 n ? ? , n ? ? ,则 n // ? 且 n // ? . 其中正确的命题是 ( A.①② ) B.②③
? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? ? 3 y ? 3 ? 0, ? y ? 1 ? 0. ?

C.③④

D.①④

7.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x

若目标函数 z ? ax ? y 仅在点

( 3 , 0 ) 处取到最大值,则实数 a 的取值范围为(

) D. ( ,1 )
3 1

A. ( 3 ,5 )
n

B. ( , ?? )
2

1

C. ( ? 1, 2 )

8.设 (1 ? 3 x ? 2 y ) 的展开式中含 y 的一次项为 ( a 0 ? a1 x ? ? ? a n x n ) y , 则 a 0 ? a1
? ? ? an ? (
n ?1 A. ? n 2

) B. n ( ? 2 )
x a
2 2
n

C. ? n ( ? 2 )

n

D. ? n ( ? 2 )

n ?1

9. F1 , F 2 分别是双曲线

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点, A 是其右顶点,过 F2 作 x 轴的垂线与

双曲线的一个交点为 P , G 是 ? P F1 F2 的重心,且 GA ? F1 F 2 ? 0 ,则双曲线的离心率 是( A.2 ) B. 2
2

C.3

D. 3

10.已知函数 f ( x ) ? x ( x ? 9 ) , x ? [ 0 , ?? ) 存在区间 [ a , b ] ? [0, ? ? ) ,使得函数 f ( x ) 在区 间 [ a , b ] 上的值域为 [ ka , kb ] ,则最小的 k 值为( A.36 B.9 C.4 D. 1 )

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知随机变量 ? 的分布列如下表所示, ? 的期望 E ? ? 1 .5 ,则 a 的值等于
?

。 3 0.2

0 0.1

1 a

2 b

P

12.已知数列 { a n } 是正项等比数列,若 a1 ? 32 , a 4 ? 4 ,则数列 { lo g 2 a n } 的前 n 项和 S n 的 最大值为 . 13.在长方形中,设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是 α,β,则有 cos2α +cos2β=1;类比到空间,在长方体中,一条对角线与从其一顶点出发的三条棱所成的 角分别为 α,β,γ,则正确的式子是________. 14.已知向量 a =(2cosα,2sinα), b =(2cosβ,2sinβ),且直线 2xcosα-2ysinα+1=0 与圆(x -cosβ)2+(y+sinβ)2=1 相切,则向量 a 与 b 的夹角为________.
y

15.设偶函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形 (其中 K,L 为图象与 x 轴的交点,M 为极小值点), ∠KML=90° ,KL=
1 2

x O K M L

,则 f ( ) 的值为_______
6

1

(第 15 题图)

16.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、清华和人大3所大学,若每所大学 至少保送1人, 且甲不能被保送到北大, 则不同的保送方案共有 种 (用数字作答)
1 ? f ( x) 17. 正实数 x1、 x 2 及函数 f ( x ) 满足 4 x ? , 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1, 则 f ( x1 ? x 2 ) 的 1 ? f ( x)

最小值为_____ 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18.(本题满分 14 分) 在 ? ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b,c,,且 cos A ? (1)求 sin ( (2)若 a ?
2

1 3

.

B ?C 2

) ? cos 2 A 的值;

3 ,求 bc 的最大值.

19.(本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,且 an+2SnSn-1=0(n≥2), (1)求数列{Sn}的通项公式; 1 1 (2)设 Sn= ,bn=f( n)+1.记 Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1,Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1, f(n) 2 1 试求 Tn,并证明 Pn< . 2

21.(本小题满分 15 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点 F ( ? c , 0 ) 是长轴的一个四等分点,点 A、B 分

别为椭圆的左、右顶点,过点 F 且不与 y 轴垂直的直线交椭圆于 C、D 两点,记直线 AD、BC 的斜率分别为 k 1 , k 2 . (1)当点 D 到两焦点的距离之和为 4,直线 l ? x 轴时,求 k 1 : k 2 的值; (2)求 k 1 : k 2 的值。

22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ?
e
2 x

x ? ax ? 1

(a ? 0) ,

(1) 试讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 若不等式 f ( x ) ? x 对于任意的 x ? [0, a ? 1] 恒成立,求 a 的取值范围。

数学(理)答案
一、选择题

二、填空题

? bc ?

3 4

a

2

----------11 分

又a ?
? bc ?

3
9 4

--------------------13 分
3 2

当且仅 b ? c ?

时, bc ?

9 4

,故 bc 的最大值是

9 4

. -----------14 分

19. (1)解:∵an+2SnSn-1=0(n≥2), ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0. ---------3 分 1 1 ∴ - =2.又∵a1=1 , ---------------5 分 Sn Sn-1 1 ∴Sn= (n∈N+). ---------------7 分 2n-1 1 (2)证明:∵Sn= ,∴f(n)=2n-1.--------------------------8 分 f(n) 1 1 - ∴bn=2( n)-1+1=( )n 1.---------------------------------------9 分 2 2 1 1 1 1 1 - 1 1 1 1 1 - Tn=( )0· )1+( )1· )2+…+( )n 1· )n=( )1+( )3+( )5+…+( )2n 1 ( ( ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1n = [1-( ) ].-------------------------------------------------------11 分 3 4

1 1 1 + +…+ ---------------13 分 1×3 3×5 (2n-1)(2n+1) 1 1 1 = ?1-2n+1?< .---------------------------------------------------14 分 2? ? 2 ∴Pn=

?

EC EH

?

3 ,? sin ? PCA ?

EH EC

?

3 3

,

? tan ? PCA ?

2 2

,

∴PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是

2 2

…………14 分

方法二解:以 A 为原点,AB,AD,PA 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐 标系如图所示, 设正方形 ABCD 的边长为 1,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0) D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0), E ( , (I) BD ? ( ? 1,1, 0 ), FG ? ( m ?
BD ? FG ? m ? 1 2 ?m ? 1 2 1 2 ?0 ? 0 ,m ? 1 2 ,? 1 1 2 2 a 2 ), , 0 ), F ( 1 1 a , , ), G ( m , m , 0 )( 0 ? m ? 2 2 2 2)

? BD ? FG

…………4 分
,? a ) ,

(II)要使 FG//平面 PBD,只需 FG//EP, 而 EP ? ( ,
1 1 2 2

1 1 ? ?m ? 2 ? 2 ? ? 由 FG ? ? EP 可得 ? ,解得 ? ? 1, a ?? ? ? a? ? 2 ?
m ? 3 4 ,

………7 分

? G(

3 3 3 , , 0 ), ? AG ? AC , 4 4 4

∴PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是 21.(Ⅰ)解:由题意椭圆的离心率 e ?

2 2
c a ?

…………14 分
1 2

, 2 a ? 4 ,所以 a ? 2, c ? 1, b ?

3,

? 6mc ? ? 6mc ? ? 6mc ? ? , ? y1 ? y 2 ? 2 2 2 2(4 ? 3m ) 2(4 ? 3m ) 4 ? 3m ? 所以 ? ┄┄┄┄┄┄8 分 2 6mc ? ? 6mc ? ? 9c ? y ?y ? ? ? ? , 2 2 2 ? 1 2 2(4 ? 3m ) 2(4 ? 3m ) 4 ? 3m ?

8c ? ? x1 ? x 2 ? m ( y 1 ? y 2 ) ? 2 c ? ? 3 m 2 ? 4 , ? 故? 2 2 2 ? x ? x ? m 2 y y ? m c ( y ? y ) ? c 2 ? 4 c ? 12 m c , 1 2 1 2 2 ? 1 2 3m ? 4 ?





k1 k2
k1 k2
2 2

?

y 2 ( x1 ? 2 c ) y1 ( x 2 ? 2 c )
2

2 ,及 y ?

3 4

(4c ? x ) ?
2 2

3( 2 c ? x )( 2 c ? x ) 4

,┄┄10 分



?

y 2 ( x1 ? 2 c ) y1 ( x 2 ? 2 c )
2

2 2

?

( 2 c ? x1 )( 2 c ? x 2 ) ( 2 c ? x1 )( 2 c ? x 2 )
16c
2 2 2

?

4 c ? 2 c ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2
2

4 c ? 2 c ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2
2
2 2 2



将①代入上式得

k1 k2

2 2

4c ?
2

? 4c ?
2

3m ? 4 2 16c 3m ? 4
2

? ?

4c ? 12m c

2 36c 3m ? 4 ? ? 9 ,┄┄13 分 2 2 2 2 4c ? 12m c 4c

3m ? 4
2

注意到 y1 ? y 2 ? 0, x1 ? 2 c ? 0, x 2 ? 2 c ? 0 ,得 所以 k 1 : k 2 ? 3 为所求. 22.

k1 k2

?

y 2 ( x1 ? 2 c ) y1 ( x 2 ? 2 c )

? 0 ,┄┄14 分

┄┄┄┄┄┄15 分

(2):由(1)可知当 a ? 2 时, x ? [ x1 , x 2 ] ? [0, a ? 1] 时,有 f ( x ) ? 0 即 f ( x ) ? x 不成 立,----------------------------------------8 分 当 a ? 0 时, f ( 0 ) ? 1, f (1) ?
e 2 ? 1, f (x )单调递增,所以 f ( x ) ? x 在 x ? [0, a ? 1] 上成立

---------------------------------------9 分 当 a ? (0, 2) 时, f (0 ) ? 1, f (1) ?
a ?1

e 2?a

? 1, f (1 ? a ) ?

e

a ?1

a?2



下面证明: f (1 ? a ) ?

e

a?2

? a ? 1 即证 e ? ( x ? 1) x ? 0 ( x ? a ? 1 ? (1, 3))
x

综上所述,当 a ? [0, 2 ) 时,不等式 f ( x ) ? x 对于任意的 x ? [0, a ? 1] 恒成立-------15 分


相关文档

浙江省湖州中学2013届高三上学期期中考试理科数学
浙江省湖州市菱湖中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题(无答案)
浙江省湖州市菱湖中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题及参考答案评分标准
浙江省诸暨中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题
浙江省龙游中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题
浙江省湖州中学2014届高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案
浙江省诸暨中学2013届高三第一学期期中考试数学(理)试题
浙江省湖州市菱湖中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题
2013届浙江省湖州中学高三上学期期中考试数学(理)试卷
浙江省温州中学2013届高三上学期期中考试1数学理试题
电脑版