§3.1不等关系与不等式第1课时不等关系与比较大小(人教A必修五) (1)_图文

§3.1

不等关系与不等式

第1课时

不等关系与比较大小

1.含有不等号 “≠”“>”“<”“≥”或“≤” 的式子叫不等式.若 a,b是两实数,那么a≥b即为 a>b或a=b ;a≤b即为 a<b或a=b . 2.数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应 的实数 大 .

3.若a,b∈R,则在a=b,a>b,a<b三种关系中, 有且仅
有一 种关系成立.

4.若a,b∈R,则 a-b>0 ?a>b, a-b=0
a-b<0 ?a<b.

?a=b,

1.设M=x2,N=x-1,则M与N的大小关系为 ( A.M>N B.M=N

)

C.M<N

D.与x有关

解析:∵M-N=x2-(x-1)=x2-x+1 1 3 =x -x+4+4
2

1 3 =(x-2)2+4>0. ∴M>N.
答案:A

2.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行

驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示为

A.v≤120 (km/h)或 d≥10 (m)
?v≤120 ?km/h? ? B.? ?d≥10 ?m? ?

(

)

C.v≤120 (km/h) D.d≥10 (m)
答案:B

3.某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个方案:方

案A为每年投资20万元;方案B为第一年投资5万元,以后每年都
比前一年增加10万元.要表示“经过n年之后方案B的投入不少于 方案A的投入”应列的不等式为________.(不用化简)

4.已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为________.

解析:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2).
∵x<1,∴x-1<0,x-2<0, ∴(x-1)(x-2)>0,∴x2+2>3x. 答案:x2+2>3x

5.在日常生活中,“糖水加糖更甜”,即加糖溶化后,糖

水的浓度变大了.若a克糖水中含b克糖,再加m克糖溶化后,则
糖水更甜,你能用一个不等式来表示这个关系吗?

b 解:加糖前糖水浓度为a, b+m 加糖后糖水浓度变为 , a+m b b+m 根据题意,有a< (a>b>0,m>0). a+m

[例1] 药片

两种药片的有效成分如下表所示. 成分 阿司匹林 (mg) 2 小苏打 (mg) 5 可待因 (mg) 1

A(1片)

B(1片)

1

7

6

若要求至少提供12 mg阿司匹林,70 mg小苏打,28 mg可待 因,则两种药片的数量应满足怎样的不等关系?用不等式的形式 表示出来.

[分析]

要注意“至少”的含义,同时还应保证两种药片的

数量均非负这一隐含条件.
[解] 设提供A药片x片、B药片y片.

由题意,得

迁移变式1

一个盒子中红、白、黑三种球分别有x个、y个、

z个,黑球个数至少是白球个数的一半,至多是红球个数的



白球与黑球的个数之和至少为55,试用不等式将题中的不等关系 表示出来.
解: 列不等式组, 涉及到“至少”、 “至多”问题, 要用到“≥” 或“≤”, 那么在处理“=”问题时要注意“=”成立的条件,

?y≤z≤x ? 3 (x,y,z∈N+). 据题意可得?2 ?y+z≥55 ?

[例 2]

比较 3+ 5与 4 的大小.

[分析]

要比较 3+ 5与 4 的大小, 直接作差后很难判定

差的符号,如果把两数平方后作差,差式中仍含一无理式,可 第二次平方相减判断符号.
[解] ∵( 3+ 5)2-42=3+5+2 15-16=2( 15-4),

又( 15)2-42=-1<0, ∴2( 15-4)<0,则 3+ 5<4.

[点评] 要比较大小的两个实数中有无理数,不能直接作差,

可作它们的平方差.

迁移变式 2

比较 3+ 7与 2 5的大小.

解:( 3+ 7)2-(2 5)2=(10+2 21)-20=2( 21-5). ∵( 21)2-52=21-25=-4<0, ∴2( 21-5)<0,∴ 3+ 7<2 5.

[例3]
小.

(1)设m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大

(2)已知a>0且a≠1,p=loga(a3+1),q=loga(a2+1),比较p与
q的大小. [分析] 本题考查两数(式)大小的比较,可作差比较,并注意

(2)中须分类讨论.

[解] (1)x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4) =m3(m-n)-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2), ∵m≠n,∴(m-n)2>0. n 2 3n2 又∵m +mn+n =(m+ ) + >0, 2 4
2 2

∴(m-n)2(m2+mn+n2)>0. ∴x-y>0.∴x>y.

a3+1 (2)p-q=loga(a3+1)-loga(a2+1)=loga 2 , a +1 当 a>1 时,a3+1>a2+1, a3+1 a3+1 ∴ 2 >1.∴loga 2 >0; a +1 a +1 当 0<a<1 时,a3+1<a2+1, a3+1 a3+1 ∴ 2 <1.∴loga 2 >0. a +1 a +1 综上可得 p-q>0,∴p>q.

[评析]

(1)中是通过因式分解和配方法来判断差的符号,(2)

中是通过分类讨论来判断差的符号.这三种方法都是判断差的符
号的常用方法.

迁移变式3

比较下面两个代数式的大小:

(1)x2+3与3x;
(2)已知a、b为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2.

32 3 3 解:(1)(x +3)-3x=x -3x+3=(x- ) + ≥ >0, 2 4 4
2 2

∴x2+3>3x. (2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a -b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.

[例4]

建筑设计规定,民用住宅的窗户面积必须小于地板面

积.但按采光标准,窗户面积与地板面积的比值应不小于10%, 且这个比值越大,住宅的采光条件就越好,试问:同时增加相等 的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好了,还是变坏了? 请说明理由.

[分析] 可先设出住宅窗户、地板面积分别为a、b,根 a 据问题要求a<b且 ≥10%,然后同时增加的面积为m, b a+m a 得到a+m<b+m,用比较法判断 与 的大小即可. b+m b

[解] 设住宅窗户面积、地板面积分别为a、b,同时增 a 加的面积为m,根据问题的要求a<b,且 ≥10%.由于 b a+m a m?b-a? a+m a a - = >0,于是 > .又 ≥10%,因此 b b+m b b?b+m? b+m b a+m a > b ≥10%.所以,同时增加相等的窗户面积和地板面 b+m 积后,住宅的采光条件变好了.

[点评]

实数大小比较的依据,给我们提供了比较两个实数

大小的方法,同时也是我们解决有些实际问题的有效途径.

迁移变式4
如图1,y=f(x)反映了某公司产品

的销售收入y万元与销售量x吨的函数关
系,y=g(x)反映了该公司产品的销售成 本与销售量的函数关系,试问: (1)当销售量为多少时,该公司赢 利(收入大于成本); (2)当销售量为多少时,该公司亏 损(收入小于成本)?

解 : (1) 当 销 售 量 大 于 a 吨 时 , 即 x>a 时 , 公 司 赢 利 , 即

f(x)>g(x);
(2) 当 销 售 量 小 于 a 吨 时 , 即 0≤x<a 时 , 公 司 亏 损 , 即 f(x)<g(x).

1.比较实数大小的依据. 实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系.那些表 示实数的点在数轴上有次序地(无缝隙地)排列.数轴上的一个动点 向着数轴的正方向运动时,它所对应的实数越来越大,由此可以 得到下面两个结论:

(1)数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的

实数大;
(2)对于任意两个实数a和b,在a=b,a>b,a<b三种关系中, 有且仅有一种关系成立.

2.比较两个实数大小的方法.

如果a-b是正数,那么a>b;如果a>b,那么a-b是正数.
如果a-b是负数,那么a<b;如果a<b,那么a-b是负数. 如果a-b等于零,那么a=b;如果a=b,那么a-b等于零.


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