【推荐精选】2018届高考数学二轮复习 第一部分 专题三 三角函数及解三角形 1.3.2 三角恒等变换与解三角形限

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限时规范训练 三角恒等变换与解三角形

限时45分钟,实际用时 分值81分,实际得分

一、选择题(本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

sin 1.若sin

α α

+cos -cos

α α

1 =2,则 sin

α

cos

α

=(

)

A.-34

B.-130

4

4

C.-3

D.3

解析:选

B.解法一:由ssiinn

α α

+cos -cos

α α

=12,得

2(sin

α

+cos

α

)=sin

α

-cos

α

,即

tan α =-3.又 sin α cos α =ssiinn2αα+cocsosα2α =1+tatnanα2α =-130,故选 B.

1+2sin 解法二:由题意得1-2sin

α α

cos cos

α α

1 =4,即

4+8sin α cos α =1-2sin α cos α

∴10sin α cos α =-3

即 sin α cos α =-130,故选 B.

2.已知向量 a=???sin???α +π6 ???,1???,b=(4,4cos α - 3),若 a⊥b,则 sin???α +4π3 ???=(

)

A.-

3 4

B.-14

C.

3 4

D.14

解析:选 B.∵a⊥b,

∴a·b=4sin???α +π6 ???+4cos α - 3

=2 3sin α +6cos α - 3

=4 3sin???α +π3 ???- 3=0,

∴sin???α +π3 ???=14.

∴sin???α +43π ???=-sin???α +π3 ???=-14.

3.在△ABC 中,若 3cos2A-2 B+5sin2A+2 B=4,则 tan A·tan B=(

)

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A.4

B.14

C.-4

D.-14

解析:选 B.由条件得 3×

A-B 2

+1 cos C+1 +5× 2 =4,即

3cos(A-B)+5cos

C=0,

所以 3cos(A-B)-5cos(A+B)=0,所以 3cos Acos B+3sin Asin B-5cos Acos B+5sin Asin

B=0,即 cos

Acos

B=4sin

Asin

B,所以 tan

A·tan

B=csoisn

Asin Acos

B1 B=4.

4.已知 sin???π6 -α ???=13,则 cos???2???π3 +α ??????的值是(

)

7

1

A.9

B.3

C.-13

D.-79

解析:选 D.cos???2???π3 +α ??????=2cos2???π3 +α ???-1 =2sin2???π6 -α ???-1=2×19-1=-79. 5.已知在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A=π3 ,b=2acos B,c=1, 则△ABC 的面积等于( )

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 6

D.

3 8

解析:选 B.由正弦定理得 sin B=2sin Acos B,故 tan B=2sin A=2sin

π 3



3,又 B∈(0,

π

),所以

B=π3

,又

A=π3

,所以△ABC

是正三角形,所以

S△ABC=12bcsin

A=12×1×1×

3 2=

3 4.

6.已知△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos C+ 23c=b,若 a=1, 3 c-2b=1,则角 B 为( )

A.π4

B.π6

C.π3

D.π12

解析:选 B.因为 acos C+ 23c=b,所以 sin Acos C+ 23·sin C=sin B=sin(A+C)=sin

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Acos C+cos Asin C,所以 23sin C=cos Asin C,因为 sin C≠0,所以 cos A= 23,因为 A 为

△ABC 的内角,所以 A=π6 ,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,知 1=b2+c2- 3bc,

?1=b2+c2- 3bc, 联立?
? 3c-2b=1,

解得 c=

3,b=1,由sian

b A=sin

B,得 sin B=bsian

A 1×12 =1

=12,∵b<c,∴B<C,则 B=π6 ,故选 B.

二、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)

7.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为3 4 3,a=3,

B=π3 ,则 b=________.

解析:由题意可得 S=12acsin B,解得 c=1,由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=9+1

-3=7,故 b= 7.

答案: 7 2cos2x2-sin x-1
8.已知 tan(3π -x)=2,则 sin x+cos x =________.

解析:∵tan(3π -x)=tan(π -x)=-tan x=2,故 tan x=-2. 2cos2x2-sin x-1 cos x-sin x 1-tan x
所以 sin x+cos x =sin x+cos x=tan x+1=-3.

答案:-3

9.已知π2 <β

<α

<34π

,cos(α

-β

12 )=13,sin(α

+β

3 )=-5,则 sin

α

+cos

α

的值

为________. 解析:由π2 <β <α <34π 知 π <α +β <3π2 ,

??-3π4 <-β <-π2 ???π2 <α <34π

? ???-π4 <α -β <π4 ??α -β >0

? 0<α -β <π4 .

5

4

根据已知得 sin(α -β )=13,cos(α +β )=-5,所以 sin 2α =sin[(α +β )+(α -β )]

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=sin(α +β )cos(α -β )+cos(α +β )sin(α -β )=-35×1132+???-45???×153=-6556,所以(sin
α +cos α )2=1+sin 2α =1-5665=695.因为π2 <α <34π ,所以 sin α +cos α >0,所以 sin α

+cos α =3 6565.

答案:3

65 65

三、解答题(本题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分)

10.已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )为奇函数,且 f???π4 ???=0,其中 a∈R,θ ∈(0,
π ). (1)求 a,θ 的值;
(2)若 f???α4 ???=-25,α ∈???π2 ,π ???,求 sin???α +π3 ???的值. 解:(1)因为 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ )是奇函数,而 y1=a+2cos2x 为偶函数,所以 y2 =cos(2x+θ )为奇函数,由 θ ∈(0,π ),得 θ =π2 ,所以 f(x)=-sin 2x·(a+2cos2x),

由 f???π4 ???=0 得-(a+1)=0,即 a=-1.

(2)由(1)得 f(x)=-12sin

4x,因为 f???α4 ???=-12sin

α

2 =-5,

即 sin α =45,又 α ∈???π2 ,π ???,从而 cos α =-35,

所以 sin???α +π3 ???=sin α cosπ3 +cos α sinπ3

=45×12+???-35???× 23=4-130 3.

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a-c= 66b,sin B= 6sin C. (1)求 cos A 的值;

(2)求 cos???2A-π6 ???的值.

解:(1)在△ABC

b 中,由sin

c B=sin

C,及

sin B= 6sin C,可得 b= 6c.

由 a-c= 66b,得 a=2c.

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所以 cos A=b2+2cb2c-a2=6c2+2 c62-c2 4c2= 46.

(2)在△ABC 中,由 cos A= 46,可得 sin A= 410.

于是 cos 2A=2cos2A-1=-14,sin 2A=2sin A·cos A= 415.

所以 cos???2A-π6 ???=cos 2A·cosπ6 +sin 2A·sinπ6 =

15- 8

3.

12.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1, CD=3,cos B= 33.

(1)求△ACD 的面积;

(2)若 BC=2 3,求 AB 的长.

解:(1)因为∠D=2∠B,cos B= 33,

所以 cos D=cos 2B=2cos2B-1=-13.

因为 D∈(0,π ),

所以 sin D= 1-cos2D=2 3 2.

因为 AD=1,CD=3,

所以△ACD 的面积 S=12AD·CD·sin

D=12×1×3×2

3

2 =

2.

(2)在△ACD 中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D=12,

所以 AC=2 3. 因为 BC=2 3,siAnC B=sinA∠BACB,

23 所以sin B=

AB

AB

AB

AB

π -2B

=sin

2B=2sin

Bcos

B=2 3 3 sin

, B

所以 AB=4.

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