高一数学上学期周清 第15周 双曲线的标准方程和几何性质 理

理科第 15 周 双曲线的标准方程和几何性质

核心知识

1.双曲线的概念

平面内与两个定点 F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于 零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.

集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a、c 为常数且 a>0,c>0; (1)当 a<c 时,P 点的轨迹是双曲线;(2)当 a=c 时,P 点的轨迹是两条射线;

(3)当 a>c 时, P 点不存在.

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 a2-b2=1 (a>0,b>0)

y2 x2 a2-b2=1 (a>0,b>0)

图形

范围

x≥a 或 x≤-a,y∈R

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称性

对称轴:坐标轴 对称中心:原点

顶点
性 渐近线 质
离心率

A1(-a,0),A2(a,0) y=±bax

A1(0,-a),A2(0,a) y=±abx

e=ca,e∈ (1,+∞),其中 c= a2+b2

线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的 实虚轴 虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半
轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

自我测评 x2 y2
1.双曲线10- 2 =1 的焦距为

解析 由已知有 c2=a2+b2=12,∴c=2 3,故双曲线的焦距为 4 3. 2.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是

解析

双曲线

2x2-y2=8

x2 y2 的标准方程为 4 - 8 =1,所以实轴长

2a=4.

3.设双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为

解析 由题意得 b=1,c= 3.∴a= 2,∴双曲线的渐近线方程为 y=±bax,即 y=± 22x. 4.已知双曲线xa22-yb22=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双

曲线的右焦点为圆 C 的圆心,求该双曲线的方程

解 圆心的坐标是(3,0),圆的半径是 2,双曲线的渐近线方程是 bx±ay=0,根据已知得

3b

3b

a2+b2=2,即 3 =2,解得

b=2,则

a2=5,故所求的双曲线方程是x52-y42=1.


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