重庆市第一中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学文试题 含答案 精品

2017 年重庆一中高 2018 级高二下期半期考试 数学(文科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
2 1.若集合 A ? ?2, 4,6,8? , B ? x | x ? 9 x ? 18 ? 0 ,则 A

?

?

B?(



A. ?2,4? 2.若复数 A. ?3 3.函数 y ? A. (??, ?1) C. (?2, ?1]

B. ?4, 6?

C. ?6,8?

D. ?2,8? ) D. 3 )

a?i (a ? R) 为纯虚数,其中 i 为虚数单位,则 a ? ( 1 ? 2i
B. ?2 C. 2

x 2 ? 2 x ? 3 ? log 3 ( x ? 2) 的定义域为(

(3, ??)

B. (??, ?1)

[3, ??)

D. (?2, ?1] [3, ??)
3

4.已知直线 ax ? by ? 2 ? 0 与曲线 y ? x 在点 P(1,1) 处的切线互相垂直, 则 A.

a 的值为 ( b



1 3

B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

1 3


5.已知命题 p :

1 1 ? ,命题 q : ?x ? R , ax2 ? ax ? 1 ? 0 ,则 p 成立是 q 成立的( a 4
B.必要不充分条件C.充要条件

A.充分不必要条件 件

D.既不充分也不必要条

6.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图像大致是(
2



1 ln 1 ln x 7.若 x ? ( ,1) ,设 a ? ln x , b ? 2 x , c ? e ,则 a , b , c 的大小关系为( e



A. c ? b ? a

B. b ? a ? c

C. a ? b ? c

D. b ? c ? a )

8.某算法的程序框图如图所示,如果输出的结果为 26,则判断框内的条件应为(

A. k ? 5
2

B. k ? 4

C. k ? 3

D. k ? 4 )

9.若函数 f ( x) ? log a ( x ? ax ? ) 有最小值,则实数 a 的取值范围是( A. (0,1) B. (1, 2) C. (0,1)

1 2

(1, 2) D. ( 2, ??)

10.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说: “罪 犯在乙、丙、丁三人之中” ;乙说: “我没有作案,是丙偷的” ;丙说: “甲、乙两人中有一人 是小偷” ;丁说: “乙说的是事实” .经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说 的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( A.甲 B.乙 C.丙 ) D.丁

11.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 (??, 0) 上单调递增,若实数 a 满足

f (2|a?1| ) ? f (4) ,则 a 的取值范围是(
A. (??, ?1) B. (??,1)



(3, ??) C. (?1,3)

D. (3, ??)

?2 x ? 1, 0 ? x ? 1, ? g ( x) 为偶函数, 12.已知 f ( x) 为奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 1 当 x ? 0 时, ? , x ? 1, ?x
若存在实数 a , 使得 f (a) ? g (b) 成立, 则实数 b 的取值范围是 ( g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 4 , A. (?1,1) B. (? , ) )

1 1 3 3

C. (?3, ?1)

(1,3) D. (??, ?3) (3, ??)

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.设函数 f ( x ) ? ?

?log 3 x, 0 ? x ? 9, 则 f (13) 的值为 ? f ( x ? 4), x ? 9,



14.设函数 f ( x ) ? ? 围是 .

?log 2 x, x ? 0,
x ? 4 , x ? 0,

若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 存在两个零点, 则实数 k 的取值范

15.已知 x ? 0 , y ? 0 , lg 2x ? lg8 y ? lg 2 ,则

1 1 的最小值是 ? x 3y



16.已知函数 f ( x) ?| log 4 x | ,实数 m 、 n 满足 0 ? m ? n ,且 f (m) ? f (n) ,若 f ( x) 在

n 2 ? ?m , n? ? 的最大值为 2,则 m ?



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
q: x ? ( ) m ?1 , x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0( a ? 0 ) m ? (1, 2) . 17.设 p : 实数 x 满足: , 实数 x 满足:
(Ⅰ)若 a ?

1 2

1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; 4

(Ⅱ) q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
3 2 18.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导数 f '( x) 的图像经过点

(1, 0) , (2, 0) 两点,如图所示.

(Ⅰ)求 x0 的值; (Ⅱ)求 a , b , c 的值. 19.近年我国北方地区空气污染较为严重.现随机抽取去年(365 天)内 100 天的空气中

PM 2.5 指数的检测数据,统计结果如表:

PM 2.5
空气质量 天数

?0,50?
优 4

(50,100]
良 13

(100,150]
轻微污染 18

(150, 200]
轻度污染 30

(200, 250]
中度污染 9

(250,300]
中度重污染 11

? 300
重度污染 15

记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S (单位:元) , PM 2.5 指数为 x ,当 x 在区 间 ?0,100? 内时对企业没有造成经济损失;当 x 在区间 (100,300] 内时对企业造成经济损失

满足一次函数关系(当 PM 2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元,当 PM 2.5 指数为 200 时,造成的经济损失为 700 元) ;当 PM 2.5 指数大于 300 时造成的经济损失为 2000 元. (Ⅰ)试写出 S ( x) 的表达式; (Ⅱ)根据去年样本估计在今年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率; (Ⅲ)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染,完成列联表, 并判断是否有 95% 的把握认为北方去年空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 附: K 2 ? 100 重度污染 合计

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15 2.07 0.10 2.70 0.05 3.74 0.025 5.02 0.010 6.63 0.005 7.87

P(K 2 ? k0 )
k0

20.已知函数 f ( x) ? loga x , g ( x) ? loga (2 x ? t ? 2) ,其中 a ? 0 且 a ? 1 , t ? R . (Ⅰ)若 0 ? a ? 1 ,且 x ? ? , 2 ? 时,有 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 t 的取值范围; 4 (Ⅱ)若 t ? 4 ,且 x ? ? , 2 ? 时, F ( x) ? 2 g ( x) ? f ( x) 的最小值是 ?2 ,求实数 a 的值. 4 21.已知函数 f ( x ) ?

?1 ? ? ?

? ?

?1 ?

1 2 x , g ( x) ? e ln x . 2

(Ⅰ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 F ( x) 的单调区间并求最小值; (Ⅱ)若存在常数 k , m ,使得 f ( x) ? kx ? m 对 x ? R 恒成立,且 g ( x) ? kx ? m 对

x ? (0, ??) 恒成立,则称直线 y ? kx ? m 为函数 f ( x) 与 g ( x) 的“分界线” ,
试问: f ( x) 与 g ( x) 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请 说明理由.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程

? 1 3 x? ? t ? ? 2 2 已知圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?y ? 1 ? 1 t ? 2 2 ?
点 A 的极坐标为 (

2 ? , ) ,设直线与圆 C 交于点 P , Q . 2 4

(Ⅰ)写出圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)求 | AP | ? | AQ | 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | 2 x ? 2 | . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? a ( a ? R )的解集为空集,求 a 的取值范围.

2017 年重庆一中高 2018 级高二下期半期考试数学试题卷(文科)答案 一、选择题
1-5: BBDDA 6-10: ADCBB 11、12: CC

二、填空题
13. 2 14. (0,1] 15. 4 16. 16

三、解答题
17.解: (Ⅰ) p : a ? x ? 3a(a ? 0) ,当 a ? ∵ p ? q 为真,∴ p 真且 q 真,

1 1 3 1 时, p : ? x ? , q : ? x ? 1 , 4 4 4 2

3 ?1 ?x? , ? 1 3 ?4 4 故? 即 ?x? , 2 4 ? 1 ? x ? 1, ? ?2
所以实数 x 的取值范围为 ? x |

? ?

1 3? ? x? ?. 2 4?

(Ⅱ) q 是 p 的充分不必要条件. 记 A ? ?x |

? ?

1 ? ? x ? 1? , B ? ?x | a ? x ? 3a, a ? 0? ,则 A 是 B 的真子集, 2 ?

1 1 ? ? 1 1 ?a ? , ?a ? , 故? 2 或? 2 解得 ? a ? ,且等号不同时成立, 3 2 ? ?3a ? 1 ? ?3a ? 1,
所以 a 的取值范围为 ? , ? . 3 2 18.解: (Ⅰ)由 f '( x) 随 x 变化的情况

?1 1 ? ? ?

x
f ( x)

(??,1)

1

(1, 2)

2

(2, ??)

?

0

?

0

?

可知当 x ? 1 时 f ( x) 取到极大值 5,则 x0 ? 1 .
2 (Ⅱ) f '( x) ? 3ax ? 2bx ? c , (a ? 0) ,

2 由已知条件 x ? 1 , x ? 2 为方程 3ax ? 2bx ? c ? 0 的两根,

? ?a ? b ? c ? 5, ? ? 2b 因此 ? ? 解得 a ? 2 , b ? ?9 , c ? 12 . ? 3, ? 3a ?c ? 2, ? ? 3a
?0, x ? ? 0,100? , ? 19.解: (Ⅰ)可得 S ( x) ? ?4 x ? 100, x ? (100,300], ?2000, x ? (300, ??). ?
(Ⅱ) 设 “在本年内随机抽取一天, 该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元” 为事件 A , 由 500 ? S ? 900 ,得 150 ? ? ? 250 ,频数为 39, P ( A) ? (Ⅲ)根据以上数据得到如图列联表: 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计
2

39 . 100

重度污染 8 7 15

合计 30 70 100

22 63 85

100 ? (63 ? 8 ? 22 ? 7) 2 K 的观测值 k ? ? 4.575 ? 3.841 , 85 ?15 ? 30 ? 70
∴有 95% 的把握认为空气重度污染与供暖有关. 20.解: (Ⅰ) 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 2loga x ? loga (2x ? t ? 2) 恒成立, 即 loga x2 ? loga (2 x ? t ? 2) , 又因为 a ? (0,1) , x ? ? , 2 ? , 4 所以 x ? 2 x ? t ? 2 恒成立,即 t ? x ? 2 x ? 2 对 x ? ? , 2 ? 恒成立, 4
2 2

?1 ?

? ?

?1 ?

? ?

所以 t ? ( x2 ? 2x ? 2)max ? 2 ,故 t 的取值范围为 [2, ??) . (Ⅱ)∵ t ? 4 , ∴ F ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 2log a (2 x ? 2) ? log a x ? log a

4( x ? 1)2 1 ? log a 4( x ? ? 2) , x x

易知 h( x) ? 4( x ?

1 1 ?1 ? ? 2) 在 ? ,1? 单调递减,在 ?1, 2? 单调递增,且 h( ) ? h(2) , x 4 ?4 ?
1 4

所以 h( x)min ? h(1) ? 16 , h( x) max ? h( ) ? 25 , 所以当 a ? 1 时, F ( x)min ? loga 16 ,由 log a 16 ? ?2 ,即 a ? 当 0 ? a ? 1 时, F ( x)min 综上 a ?

1 (舍去) ; 4 1 ? loga 25 ,由 log a 25 ? ?2 ,即 a ? . 5

1 . 5

21.解: (Ⅰ)由于函数 f ( x ) ? 因此 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 则 F '( x) ? x ?

1 2 x , g ( x) ? e ln x , 2

1 2 x ? e ln x , 2

e ( x ? e )( x ? e ) , x ? (0, ??) , ? x x

当 x ? (0, e ) 时, F '( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 (0, e ) 是减函数; 当 x ? ( e , ??) 时, F '( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在 ( e , ??) 是增函数, 所以 F ( x)min ? F ( e ) ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 F ( x)min ? F ( e ) ? 0 ,则 f ( x) 与 g ( x) 在 x ? 则 f ( x) 与 g ( x) 存在分界线,则其必然过 ( e , ) ,

e e 处有公共点 ( e , ) , 2

e 2

e e ? k ( x ? e ) ,即 y ? kx ? ? k e , 2 2 e 2 由 f ( x) ? kx ? ? k e 对 x ? R 恒成立,则 x ? 2kx ? e ? 2k e ? 0 对 x ? R 恒成立, 2
设其方程为 y ? 所以 ? ? 4k 2 ? 4(2k e ? e) ? 4(k ? e )2 ? 0 , 解得 k ?

e e ,故分界线方程为 y ? ex ? . 2

2 22.解: (Ⅰ)因为圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? ,所以 ? ? 2? cos? ,

将其转化成直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ,即 ( x ?1) ? y ? 1 .
2 2 2 2

(Ⅱ)由点 A 的极坐标 (

1 1 2 ? , ) 得直角坐标为 A( , ) ? l , 2 2 2 4

? 1 3 x? ? t, ? ? 2 2 ( t 为参数)代入圆 C 的直角坐标方程 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 , 将直线 l 的参数方程 ? ?y ? 1 ? 1 t ? 2 2 ?
得t ?
2

3 ?1 1 t ? ? 0, 2 2
2

设 t1 , t 2 为方程 t ?

1 3 ?1 1 t ? ? 0 的两根,则 t1t2 ? ? , 2 2 2

由 t 的几何意义可知 | AP | ? | AQ |?| t1t2 |?

1 . 2

?3 x ? 1, x ? 1, ? 23.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? x ? 3, ?1 ? x ? 1, ? ?3 x ? 1, x ? ?1. ?
所以 f ( x) ? 5 的解集为 ? x | x ?

? ?

4 ? 或x ? ?2? . 3 ?

(Ⅱ) f ( x) ? [2, ??) , f ( x) ? a ( a ? R )的解集为空集,则 a ? (??, 2] .
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