高中数学 1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5_图文

高中数学高一年级必修五 第一章 第1.1.2节 余弦定理 学习目标 ? 继续探索三角形的边长与角度间的具体 量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式, 体会向量方法推导余弦定理的思想;通过 实践演算运用余弦定理解决“边、角、边” 及“边、边、边”问题;深化与细化方程 思想,理解余弦定理的本质。通过相关教 学知识的联系性,理解事物间的普遍联系 性。 正弦定理 [提出问题] 在△ABC中,若AB=2,AC=3,A=60° . 问题1:这个三角形确定吗? 提示:确定. 问题 2:你能利用正弦定理求出 BC 吗? 提示:不能 问题 3:能否利用平面向量求边 BC?如何求得? 提示:能. ? ??? ??? ? ??? ? ∵ BC = BA + AC ???? ? ???? ???? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 AC ∴ BC = BA + AC +2 BA · ???? ???? ???? ???? ? ? 2 2 = BA + AC -2 BA AC cos A =4+9-2×2×3cos 60° =7 ???? ? ∴ BC = 7 问题4:利用问题3的推导方法,能否推导出用 b,c,A表示a? 提示:能. [导入新知] 余弦定理 余弦 定理 公式 表达 a2= b2+c2-2bccos A 2 2 b2= a +c -2accos B , , a2+b2-2abcos C c2=_______________ 余弦 定理 其他两边的平方 语言 三角形中任意一边的平方等于______________ ___________________________________________________ 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 叙述 __ b2+c2-a2 2bc cos A= a2+c2-b2 , 2ac 推论 cos B= , a2+b2-c2 2ab cos C=____________ [化解疑难] 对余弦定理的理解 (1)适用范围:余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征:“平方”、“夹角”、“余弦”. (3)揭示的规律:余弦定理指的是三角形中三条边与其 中一个角的余弦之间的关系式,它描述了任意三角形中边 与角的一种数量关系. (4)主要功能:余弦定理的主要功能是实现三角形中边 角关系的互化. 已知三角形的三边解三角形 [例 1] B, C. 在△ABC 中, 若 a∶b∶c=1∶ 3∶2, 求 A, [ 解] 由于 a∶b∶c=1∶ 3∶2, 可设 a=x,b= 3x,c=2x. b2+c2-a2 由 余 弦 定 理 的 推 论 , 得 cos A = = 2bc 3x2+4x2-x2 3 = ,故 A=30° . 2 2× 3x×2x 1 同理可求得 cos B= ,cos C=0,所以 B=60° ,C= 2 90° . [类题通法] 已知三角形的三边解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出一个角的余弦,从而求出第一 个角;再利用余弦定理或由求得的第一个角,利用正弦定 理求出第二个角;最后利用三角形的内角和定理求出第三 个角. (2)利用余弦定理求三个角的余弦,进而求三个角. [活学活用] 1.边长为 5,7,8 的三角形中,最大角与最小角的和是________. 解析:设中间角为 θ,由于 8>7>5,故 θ 的对边的长 52+82-72 1 为 7,由余弦定理,得 cos θ= = .所以 θ= 2×5×8 2 60° ,故另外两角和为 180° -60° =120° . 答案:120° 已知三角形的两边及其夹角解三角形 [例 2] 在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,c=4( 3+1), 解此三角形. [解] 由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B=82+[4( 3 +1)]2-2×8×4( 3+1)· cos 60° 1 =64+16(4+2 3)-64( 3+1)× =96, 2 ∴b=4 6. b2+c2-a2 96+16? 3+1?2-64 2 法一:由cos A= = = , 2bc 2 2×4 6×4? 3+1? ∵0° <A<180° ,∴A=45° . 故C=180° -A-B=180° -45° -60° =75° . 法二:由正弦定理 a b 8 4 6 = ,∴ = , sin A sin B sin A sin 60° 2 ∴sin A= ,∵b>a,c>a, 2 ∴a最小,即A为锐角. 因此A=45° . 故C=180° -A-B=180° -45° -60° =75° . [类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边,其余角的求解有两种思路: 一是利用余弦定理的推论求出其余角;二是利用正弦定理(已 知两边和一边的对角)求解. 若用正弦定理求解,需对角的取值进行取舍,而用余弦 定理就不存在这些问题(在(0,π)上,余弦值所对角的值是唯 一的),故用余弦定理求解较好. [活学活用] 2.在△ABC,已知 a=2 2,b=2 3,C=15° ,解此三角形. 解: c2= a2+ b2- 2abcos C= (2 2)2+ (2 3)2 - 2×2 2×2 3 ×cos(45° -30° )=8-4 3=( 6- 2) 2 ∴c= 6- 2. 法一:由余弦定理的推论得 b2+c2-a2 ?2 3?2+? 6- 2?2-?2 2?2 2 cos A= = = . 2bc 2 2×2 3×? 6- 2? ∵0° <A<180° , ∴A=45° ,从而 B=120° . 法二:由正弦定理得 6- 2 2 2× 4 asin C 2 sin A= c = = . 2 6- 2 ∵a<b, ∴A<B, 又 0° <A<180° , ∴A 必为锐角, ∴A=45° ,从而得 B=

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